Richtungsvektor einer Tangente < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hey, ich habe eine Tangentengleichung aufgestellt:
[mm] $y=\wurzel{2}*b-\frac{b}{a}*x$
[/mm]
Wie kann ich von dieser den Richtungsvektor bestimmten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 So 26.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hey, ich habe eine Tangentengleichung aufgestellt:
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> [mm]y=\wurzel{2}*b-\frac{b}{a}*x[/mm]
>
> Wie kann ich von dieser den Richtungsvektor bestimmten?
Deine Tangente (eine Gerade der Form y=mx+n) hat hier die Steigung [mm] m=-\frac{b}{a}
[/mm]
Also musst du, um das Steigungsdreieck anzulegen a Einheiten nach rechts parallel zur x-Achse, und b Einheiten nach unten, ober besser -b Einheiten parallel zur y-Achse.
Also hast du für den "Steigungsvektor", der ja der Richtungsvektor [mm] \vec{v} [/mm] der Geraden wird:
[mm] \vec{v}=\vektor{a\\-b}
[/mm]
Marius
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Danke für deine Antwort, das ist natürlich ganz klar!
Ich hatte es jetzt noch einmal mit einem Beispiel herausbekommen, indem ich in f(x) zwei Punkte eingesetzt habe: [mm] $(\wurzel{2}a,-\wurzel{2}b)^T
[/mm]
Und davon dann einfach das Vielfache [mm] $\frac{1}{\wurzel{2}} \Rightarrow (a,-b)^T$
[/mm]
Diese Frage bezog sich auf einen Teil von dieser Aufgabe (a):
https://matheraum.de/read?t=967710&v=t
Vielleichst magst du mir hier nochmal helfen?
Für den Normalenheintsvektor muss ich ja nun "einfach" erst einmal einen Normalenvektoren $v$ zu dieser Tangente finden, ja?
Also ${a [mm] \choose [/mm] -b}*v=0$
Sehe ich das richtig?
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> Danke für deine Antwort, das ist natürlich ganz klar!
> Ich hatte es jetzt noch einmal mit einem Beispiel
> herausbekommen, indem ich in f(x) zwei Punkte eingesetzt
> habe: [mm](\wurzel{2}a,-\wurzel{2}b)^T[/mm]
> Und davon dann einfach das Vielfache [mm]\frac{1}{\wurzel{2}} \Rightarrow (a,-b)^T[/mm]
Hallo,
Du hast mithilfe zweier Punkte die Steigung und daraus den Richtungsvektor der Tangente ermittelt?
Oder was meinst Du?
Wenn dasselbe rausgekommen ist, kannst Du ja auf jeden Fall zufrieden sein.
>
> Diese Frage bezog sich auf einen Teil von dieser Aufgabe
> (a):
> https://matheraum.de/read?t=967710&v=t
>
> Vielleichst magst du mir hier nochmal helfen?
Vielleicht sagst Du hier lieber klar und deutlich, was Du noch wissen möchtest. .
>
> Für den Normalenheintsvektor muss ich ja nun "einfach"
> erst einmal einen Normalenvektoren [mm]v[/mm] zu dieser Tangente
> finden, ja?
>
> Also [mm]{a \choose -b}*v=0[/mm]
>
> Sehe ich das richtig?
Kannst Du so machen.
Oder Du hast Dir in der Schule gemerkt, daß jede zu y=mx+b senkrechte Gerade die Steigung [mm] -\bruch{1}{m} [/mm] hat.
LG Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:24 Mo 27.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Die Frage ist jetzt, wie man an der Ellipsengleichung den Richtungsvektor anliest, um dann den Normalenvektor zu berrechnen.
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> Die Frage ist jetzt, wie man an der Ellipsengleichung den
> Richtungsvektor anliest, um dann den Normalenvektor zu
> berrechnen.
Hallo,
irgendwie seid Ihr ganz schön spaßig.
Von welcher Ellipsengleichung wird hier denn gerade geredet?
(Nur mal so zum Verständnis: ich wurschtele mich jetzt nicht quer durchs Forum, um in diesem Thread Bezug auf eine in einem anderen Thread gestellte Frage zu nehmen. Das ist mir nämlich zu unbequem.)
Eine Ellipsengleichung (Mittelpunkt:Ursprung) sieht ja so aus:
[mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1.
[/mm]
Wikipedia kann man entnehmen, daß der Richtungsvektor der Tangente im Punkt [mm] P_B(x_B|y_B) [/mm] Vektor [mm] \vec{t}=\begin{pmatrix}-ay_{B}/b\\ bx_{B}/a \end{pmatrix} [/mm] ist (und natürlich jedes Vielfache),
der Normalenvektor ist halt orthogonal dazu.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mo 27.05.2013 | | Autor: | lol13 |
D.h. also, mit der Steigerung zur Senkrechten zu t: [mm] -1\m [/mm] erhalte ich zu derTangentengleichung oben den Normalenvekto $n=(a, b)$?
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Hallo,
> D.h. also, mit der Steigerung
Steigung?
> zur Senkrechten zu t: [mm]-1\m[/mm]
???
> erhalte ich zu derTangentengleichung oben
Wo? Im Eingangspost?
Dort war [mm] m=-\bruch{b}{a},
[/mm]
entsprechend ist die Steigung der Normalen [mm] =\bruch{a}{b}.
[/mm]
> den Normalenvekto
> [mm]n=(a, b)[/mm]?
Nö.
Es hatte Marius doch erklärt, wie man aus der Steigung den Richtungsvektor der Geraden bekommt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mo 27.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Also:
$t=-b/a [mm] x+\Wurzel{2}b$
[/mm]
$m=-b/a$
Fuer die Senkrechte zu t ist m dann $-1/m$
Also $s=-(-1/b/a)x+b=a/b x+b$
[mm] $\Rightarrow [/mm] m=a/b$
Also ist die senkrechte zu t, also der Normalenvektor
$n=(b,a)$?
Wo ist mein Fehler?
Was meinst du mit dem Punkt im Nenner von deinem m?
Was ist dann der Normalenktor zu deinem m?
Tut mir leid, ich stehe gerade auf den Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mo 27.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Also:
> [mm]t=-b/a x+\Wurzel{2}b[/mm]
> [mm]m=-b/a[/mm]
> Fuer die Senkrechte zu t ist m dann [mm]-1/m[/mm]
> Also [mm]s=-(-1/b/a)x+b=a/b x+b[/mm]
> [mm]\Rightarrow m=a/b[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{a\\b} [/mm] steht in der Tat senkrecht auf [mm] \vektor{-b\\a}
[/mm]
Dieses kannst du mit dem Skalarprodukt sehr fix prüfen.
> Also ist
> die senkrechte zu t, also der Normalenvektor
> [mm]n=(b/a)[/mm]?
Nein, die Tangente hat doch den Richtungsvektor [mm] \vektor{-b\\a}
[/mm]
Also hat die Normale den RV [mm] \vektor{a\\b}
[/mm]
Was meinst du mit Normalenvektoren im Zusammenhang mit Geraden?
> Wo ist mein Fehler?
Evtl liegt es nur daran, dass du den Begriff "Normalenvektor" für den Richtungsvektor der Normalen benutzt. Der Normalenvektor hat aber in der Mathematik eine andere Bedeutung, er ist ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene oder auf einer Geraden steht.
Ein Normalenvektor zur Tangente kann als Richtungsvektor der Normalen benutzt werden, in [mm] \IR^{2} [/mm] ist die Richtung eines Normalenvektores auf der Geraden (bis auf Spiegelung) eindeutig.
Marius
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> > Also:
> > [mm]t=-b/a x+\Wurzel{2}b[/mm]
> > [mm]m=-b/a[/mm]
> > Fuer die Senkrechte zu t ist m dann [mm]-1/m[/mm]
> > Also [mm]s=-(-1/b/a)x+b=a/b x+b[/mm]
> > [mm]\Rightarrow m=a/b[/mm]
>
> Nein, die Tangente hat doch den Richtungsvektor
> [mm]\vektor{-b\\a}[/mm]
> Also hat die Normale den RV [mm] \vektor{a\\b}.
[/mm]
Hallo,
irgendwie nicht:
Richtungsvektor der Tangente ist der Vektor [mm] \vektor{a\\-b} [/mm] oder ein Vielfaches. Das hattest Du oben ja auch richtig erklärt.
> Was meinst du mit Normalenvektoren im Zusammenhang mit
> Geraden?
Ich glaube wohl, daß er damit den Richtungsvektor der Normalen meint.
LG Angela
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