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| Aufgabe | Zeichnen sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung
[mm] $\frac{dy}{dt}=\frac{1}{4}(t^2+y^2(t))$
[/mm]
Zeichnen Sie angenähert die Integralkurve die durch den Koordinaten-Ursprung geht |
meine Umformungen sehen wie Folgt aus:
[mm] $\frac{dy}{dt}=\frac{1}{4}(t^2+y^2(t))$
[/mm]
[mm] $\frac{dy}{dt}$ [/mm] mit $y'$ ersetzen [mm] $y^2(t)$ [/mm] entspricht [mm] $y^2$
[/mm]
[mm] $y'=\frac{1}{4}(t^2+y^2)$
[/mm]
$y'$ mit $C$ ersetzen
[mm] $C=\frac{1}{4}(t^2+y^2)$
[/mm]
Umstellen nach $y$
[mm] $y=\sqrt{C\cdot4-t^2}$
[/mm]
diese Gleichung ergibt einen Halbkreis im ersten und zweiten Quadranten, wenn ich diese in WolframAlpha füttere.
Mir scheint das aber unvollständig. ich denke das auch der Halbkreis im dritten und vierten Quadranten existiert. nur weiß ich nicht wie ich das begründen soll. und ob das so ist.
Weiteres Vorgehen wäre dann eine Wertetabelle mit $C$ als den Anstiegen auf den Isoklienen (Kurven mit Gleichem Anstiegen) und den Radien für die Isoklienen.
dann die Radien Zeichnen und auf die Kreise die Entsprechenden Anstiege legen.
Zu guter Letzt, dann die Integralkurve zeichnen die am Besten durch den Mittelpunkt und die Anstiege passt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Fr 06.04.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Dass nur ein Halbkreis entsteht hängt vielleicht damit zusammen, dass nur die positiven Werte von C berücksichtigt werden. Wäre C negativ, gäbe es auch komplexe Lösungen der Kreisgleichung. Die Lösungskurven der Differentialgleichung sind auch stets positiv.
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> Zeichnen sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung
> [mm]\frac{dy}{dt}=\frac{1}{4}(t^2+y^2(t))[/mm]
> Zeichnen Sie angenähert die Integralkurve die durch den
> Koordinaten-Ursprung geht
> meine Umformungen sehen wie Folgt aus:
> [mm]\frac{dy}{dt}=\frac{1}{4}(t^2+y^2(t))[/mm]
>
> [mm]\frac{dy}{dt}[/mm] mit [mm]y'[/mm] ersetzen [mm]y^2(t)[/mm] entspricht [mm]y^2[/mm]
>
> [mm]y'=\frac{1}{4}(t^2+y^2)[/mm]
>
> [mm]y'[/mm] mit [mm]C[/mm] ersetzen
>
> [mm]C=\frac{1}{4}(t^2+y^2)[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow t^2+y^2=4C$
[/mm]
An dieser Gleichung sieht man, dass die Isoklinen Kreise sind. Durch das Wurzelziehen hast du den negativen Zweig "unterschlagen". Da die rechte Seite der Differentialgleichung immer [mm] \ge [/mm] 0 ist, gibt es nur Isoklinen für [mm] C\ge [/mm] 0.
> Umstellen nach [mm]y[/mm]
> [mm]y=\sqrt{C\cdot4-t^2}[/mm]
> diese Gleichung ergibt einen Halbkreis im ersten und
> zweiten Quadranten, wenn ich diese in WolframAlpha
> füttere.
> Mir scheint das aber unvollständig. ich denke das auch
> der Halbkreis im dritten und vierten Quadranten existiert.
> nur weiß ich nicht wie ich das begründen soll. und ob das
> so ist.
>
> Weiteres Vorgehen wäre dann eine Wertetabelle mit [mm]C[/mm] als
> den Anstiegen auf den Isoklienen (Kurven mit Gleichem
> Anstiegen) und den Radien für die Isoklienen.
> dann die Radien Zeichnen und auf die Kreise die
> Entsprechenden Anstiege legen.
> Zu guter Letzt, dann die Integralkurve zeichnen die am
> Besten durch den Mittelpunkt und die Anstiege passt.
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