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Hallo,
ich versuche mich gerade daran folgenden Satz zu beweisen:
Wenn eine Funktion f: [mm] \IR^m [/mm] nach [mm] \IR^n [/mm] total differenzierbar ist,
dann exisitieren die Richtungsableitungen und diese haben dann den Wert Ah. Dabei ist A die Funktionalmatrix.
Okay, so jetzt kommt der Beweis:
Ich verwende zunächst die epsilon-delta-Definition der totalen Differenzierbarkeit einer Funktion f. Allerdings sind sie leicht modifiziert.
Dies schränkt die Allgemeinheit aber nicht ein.
Wähle h so, dass [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel [/mm] = 1.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig aber fest gewählt.
[mm] \Rightarrow \exists \delta [/mm] mit 0 < |t| < [mm] \delta, [/mm] sodass für alle
[mm] th\in \IR^n [/mm] gilt:
[mm] \bruch{\parallel f(a+th) - f(a) - Ath \parallel}{ \parallel th \parallel} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Dies ist aber nach Defintion von der Norm von h identisch zu:
[mm] \bruch{\parallel f(a+th) - f(a) - Ath \parallel * \parallel h \parallel}{ \parallel th \parallel} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Jetzt ziehen wir das t aus der Nom im Nenner raus und kürzen die Norm von h. Dann schreiben wir alles "unter eine Norm".
[mm] \parallel \bruch{ f(a+th) - f(a) - Ath }{ t } \parallel [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Jetzt formen wir noch um:
[mm] \parallel \bruch{ f(a+th) - f(a)}{ t } [/mm] - Ah [mm] \parallel [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Und es steht eigentlich fast das da was ich zeigen wollte.
Das einzige was mich noch stört ist die Norm.
Die eigentliche Definition von der Richtungsableitung ist ja der Grenzwert
von [mm] \bruch{f(a+th)-f(a)}{t} [/mm] für t gegen 0. Und da stehen ja keine Normen.
Außerdem ist ja der Grenzwert für t-->0 gemeint...und ich bin mir nicht sicher ob ich das jetzt für [mm] t-->\infty [/mm] gezeigt habe.
Mir fehlt da irgendwie noch der Abschluss...könnt ihr mir helfen?
Ich bedanke mich bereits im voraus.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich versuche mich gerade daran folgenden Satz zu beweisen:
> Wenn eine Funktion f: [mm]\IR^m[/mm] nach [mm]\IR^n[/mm] total
> differenzierbar ist,
> dann exisitieren die Richtungsableitungen und diese haben
> dann den Wert Ah. Dabei ist A die Funktionalmatrix.
>
> Okay, so jetzt kommt der Beweis:
> Ich verwende zunächst die epsilon-delta-Definition der
> totalen Differenzierbarkeit einer Funktion f. Allerdings
> sind sie leicht modifiziert.
> Dies schränkt die Allgemeinheit aber nicht ein.
>
> Wähle h so, dass [mm]\parallel[/mm] h [mm]\parallel[/mm] = 1.
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig aber fest gewählt.
> [mm]\Rightarrow \exists \delta[/mm] mit 0 < |t| < [mm]\delta,[/mm] sodass für
> alle
> [mm]th\in \IR^n[/mm] gilt:
> [mm]\bruch{\parallel f(a+th) - f(a) - Ath \parallel}{ \parallel th \parallel}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
> Dies ist aber nach Defintion von der Norm von h identisch
> zu:
> [mm]\bruch{\parallel f(a+th) - f(a) - Ath \parallel * \parallel h \parallel}{ \parallel th \parallel}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
> Jetzt ziehen wir das t aus der Nom im Nenner raus und
> kürzen die Norm von h. Dann schreiben wir alles "unter eine
> Norm".
> [mm]\parallel \bruch{ f(a+th) - f(a) - Ath }{ t } \parallel[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
> Jetzt formen wir noch um:
> [mm]\parallel \bruch{ f(a+th) - f(a)}{ t }[/mm] - Ah [mm]\parallel[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
Damit ist gezeigt:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}$ \parallel \bruch{ f(a+th) - f(a)}{ t } [/mm] $ - Ah $ [mm] \parallel [/mm] = 0$
folglich
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}$ [/mm] ( [mm] \bruch{ f(a+th) - f(a)}{ t } [/mm] $ - Ah $)= 0$
und somit
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}$ \bruch{ f(a+th) - f(a)}{ t } [/mm] $ =Ah $$
FRED
> Und es steht eigentlich fast das da was ich zeigen wollte.
> Das einzige was mich noch stört ist die Norm.
> Die eigentliche Definition von der Richtungsableitung ist
> ja der Grenzwert
> von [mm]\bruch{f(a+th)-f(a)}{t}[/mm] für t gegen 0. Und da stehen ja
> keine Normen.
> Außerdem ist ja der Grenzwert für t-->0 gemeint...und ich
> bin mir nicht sicher ob ich das jetzt für [mm]t-->\infty[/mm]
> gezeigt habe.
> Mir fehlt da irgendwie noch der Abschluss...könnt ihr mir
> helfen?
> Ich bedanke mich bereits im voraus.
> Gruß
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Noch eine andere Frage:
Aus der Definition der totalen Ableitung, wie sie in meinem ersten Posting steht wird häufig folgendes gefolgert:
Wenn [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig aber fest gewählt ist,
dann folgt, dass ein [mm] \delta>0 \forall h\in R^n [/mm] existiert, sodass
wenn [mm] ||h||<\delta [/mm] gilt: [mm] a+h\inU [/mm]
Wobei U eine Teilmenge des [mm] R^n [/mm] ist und meine Funktion f
von [mm] R^n [/mm] nach [mm] R^m [/mm] geht.
Warum ist dieses a+h in U enthalten? Kann mir das jemand zeigen?
Vielen Dank im voraus!
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Noch eine andere Frage:
> Aus der Definition der totalen Ableitung, wie sie in
> meinem ersten Posting steht wird häufig folgendes
> gefolgert:
> Wenn [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig aber fest gewählt ist,
> dann folgt, dass ein [mm]\delta>0 \forall h\in R^n[/mm] existiert,
> sodass
> wenn [mm]||h||<\delta[/mm] gilt: [mm]a+h\inU[/mm]
Hier heißt es wohl: [mm]a+h \in U[/mm]
> Wobei U eine Teilmenge des [mm]R^n[/mm] ist und meine Funktion f
> von [mm]R^n[/mm] nach [mm]R^m[/mm] geht.
Ich kann nur raten: U wird wohl offen sein ?
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> Warum ist dieses a+h in U enthalten? Kann mir das jemand
> zeigen?
Wenn U offen ist und a [mm] \in [/mm] U, so ist auch a+h [mm] \in [/mm] U für ||h|| hinreichend klein.
FRED
> Vielen Dank im voraus!
> Gruß
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