Richtungsableitung? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
| Aufgabe | Die Temperatur in Celsius ist in einem Gebiet gegeben durch T(x; y; z) = [mm] 2x^2 [/mm] -xyz.
Ein Teilchen bewegt sich in dem Gebiet, wobei die Position zum Zeitpunkt t gegeben
ist durch x(t) = [mm] 2t^2; [/mm] y(t) = 3t und z(t) = [mm] -t^2. [/mm] Dabei wird die Zeit in Sekunden und die
Länge in Metern gemessen.
(a) Wie schnell ist die Temperatur¨anderung in ±C/m, die das Teilchen am Punkt P =
(8; 6; ¡4) verspürt? |
alos ich hab den gradienten schon und einfach mal P eingesetzt , weil ich normalerweise nur aufgaben kenn bei denen auch noch eine richtung gegeben ist für die ich die richtungsableitugne errechnen soll. hier hab ich aber keine richtung , es sind dafür aber diese 3 gleichungen gegeben, was genau soll ich mit denen machen?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Do 10.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
der grad gibt dir doch an, wie sin in x,y,z richtung die Temperatur zur festen Zeit t=t1 ndert.
du willst doch dT/dt wissen! kettenregel ist das Stichwort.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
kettenregel? du meinst die kettenregel beim ableiten? wenn ja wo soll ich die anwenden? der gradient ist doch schon das abgeleitete
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Hallo rml_,
> kettenregel? du meinst die kettenregel beim ableiten? wenn
> ja wo soll ich die anwenden? der gradient ist doch schon
> das abgeleitete
Die Funktion
[mm]T\left( \ x\left(t\right), \ y\left(t\right), \ z\left(t\right)\ \right)[/mm]
ist mit Hilfe der Kettenregel zu differenzieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
ah ok, aber wie?
einzeln? dann hab ich einfah nur wieder 3 lineare gleichungen, oder versteh ich da was falsch
danke
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Hallo rml_,
> ah ok, aber wie?
>
> einzeln? dann hab ich einfah nur wieder 3 lineare
> gleichungen, oder versteh ich da was falsch
Hier gehst Du wie hier vor.
>
> danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
danke für den link aber die kettenregel kann ich , meine frage hier ist:
ich habe 3 gleichungen alle abhängig von t, ich soll mit der kettenregel ableiten , ok, aber was genau?
[mm] T\left( \ x\left(t\right), \ y\left(t\right), \ z\left(t\right)\ \right) [/mm] das sagt mir nichts , soll ich \ [mm] x\left(t\right) [/mm] \ [mm] y\left(t\right) [/mm] und \ [mm] z\left(t\right) [/mm] einzeln ableiten? den einzeln abgeleitet brauch ich keine kettenregel,
also sry ich versteh das grade wirklich nicht:/
edit: braucht man da eine jakobi matrix?
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Hallo rml_
> danke für den link aber die kettenregel kann ich , meine
> frage hier ist:
>
> ich habe 3 gleichungen alle abhängig von t, ich soll mit
> der kettenregel ableiten , ok, aber was genau?
>
> [mm]T\left( \ x\left(t\right), \ y\left(t\right), \ z\left(t\right)\ \right)[/mm]
> das sagt mir nichts , soll ich \ [mm]x\left(t\right)[/mm] \
> [mm]y\left(t\right)[/mm] und \ [mm]z\left(t\right)[/mm] einzeln ableiten? den
> einzeln abgeleitet brauch ich keine kettenregel,
>
> also sry ich versteh das grade wirklich nicht:/
>
> edit: braucht man da eine jakobi matrix?
Du brauchst hier zwei Jakobi-Matrizen,
Die werden dann miteinander multipliziert.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
ok ich hab da paar probleme, wie komm ich denn auf die 2 jacobi matrizen?
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Hallo rml,
> ok ich hab da paar probleme, wie komm ich denn auf die 2
> jacobi matrizen?
Wenn Du so nicht darauf kommst,
dann kannst Du auch unmittelbar [mm]x\left(t\right), \ y\left(t\right), \ z\left(t\right)[/mm]
in [mm]T\left(x,y,z\right)[/mm] einsetzen, und dann nach t differenzieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
ok hab ich gemacht ergebnis : [mm] 56t^3 [/mm] und jetzt? jakobi matrix ist doch 1x2?
und wo krieg ich die zweite her?
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Hallo rml_,
> ok hab ich gemacht ergebnis : [mm]56t^3[/mm] und jetzt? jakobi
> matrix ist doch 1x2?
Damit hat sich wohl die Kettenregel erledigt.
> und wo krieg ich die zweite her?
>
Nun, setze formal x,y,z,als Funktion von t an und differenziere dann:
[mm]T\left(t\right)=2*x^{2}\left(t\right)-x\left(t\right)*y\left(t\right)*z\left(t\right)[/mm]
Setze hier nicht die Parametrisierung ein.
Das Ergebnis schreibts Du dann als ein Skalarprodukt.
Die beiden Vektoren, die da entstehen sind dann, die "Jacobi-Matrizen".
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
also ich soll nicht für x(t) = [mm] 2t^2 [/mm] einsetzen? aber wie kann ich x(t) dann differenzieren?
und übrigens vielen vielen dank für deine zeit:)
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Hallo rml_,
> also ich soll nicht für x(t) = [mm]2t^2[/mm] einsetzen? aber wie
Genau.
> kann ich x(t) dann differenzieren?
Ja, dann ist die Ableitung von [mm]x\left(t\right)[/mm]:
[mm]\bruch{d}{dt}x\left(t\right)=\dot{x}\left(t\right)[/mm]
>
> und übrigens vielen vielen dank für deine zeit:)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
naja sry aber das hilft mir nichts, darunter kann ich mir nichts vorstellen, ich meine wie soll ich denn damit rechnen? könntest du mir vll schnell reinschreiben wie deine jakobi matrizen aussehen?
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Hallo rml_,
> naja sry aber das hilft mir nichts, darunter kann ich mir
> nichts vorstellen, ich meine wie soll ich denn damit
> rechnen? könntest du mir vll schnell reinschreiben wie
> deine jakobi matrizen aussehen?
Nun die Ableitung von T nach der Zeit ergibt sich gemäß Kettenregel zu:
[mm]\bruch{d}{dt}T\left( \ x\left(t\right), \ z\left(t\right), \ z\left(t\right)\ \right)=\operatorname{grad}T\left( \ x\left(t\right), \ z\left(t\right), \ z\left(t\right)\ \right)*\bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}[/mm]
,wobei grad T die partiellen Ableitungen von T nach x,y,z sind.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
[mm] \operatorname{grad}T\left( \ 4x-yz, -xz, -xy)\ \right)\cdot{}\bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}
[/mm]
ich hab jetzt die ableitungen eingesetzt, nciht falsch oder?
ich würde jetzt den punkt einsetzten bzw. x(t) y(t) und z(t) und für t=2 da der punkt sich für t=2 ergibt.
soweit richtig?
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Hallo rml_,
> [mm]\operatorname{grad}T\left( \ 4x-yz, -xz, -xy)\ \right)\cdot{}\bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}[/mm]
>
> ich hab jetzt die ableitungen eingesetzt, nciht falsch
> oder?
grad T ist [mm]\pmat{4x-yz, -xz, -xy}[/mm]
> ich würde jetzt den punkt einsetzten bzw. x(t) y(t) und
> z(t) und für t=2 da der punkt sich für t=2 ergibt.
Für den Gradienten ist das richtig.
Die Ableitung
[mm]\bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}[/mm]
ist noch zu bilden, dann kannst Du hier t=2 setzen.
>
> soweit richtig?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
ok ich bin auf ein problem gestoßen:(
wenn ich [mm] \bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)} [/mm] ableite dann fällt bei y(t) das t weg sprich ich kann meine y-koordinate von dem punkt nicht einsetzen, mach ich was falsch oder ist das egal?
sprich [mm] \bruch{d}{dt}\pmat{4t \\3 \\ -2t}
[/mm]
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Hallo rml_,
> ok ich bin auf ein problem gestoßen:(
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> wenn ich [mm]\bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}[/mm]
> ableite dann fällt bei y(t) das t weg sprich ich kann
> meine y-koordinate von dem punkt nicht einsetzen, mach ich
> was falsch oder ist das egal?
Eine lineare Funktion abgegeleitet, gibt nun mal eine Konstante.
>
> sprich [mm]\bruch{d}{dt}\pmat{4t \\3 \\ -2t}[/mm]
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 10.06.2010 | | Autor: | rml_ |
ok ich hab jetzt beide matrizen multipliziert:
[mm] \pmat{32x -8yz\\ -3xz \\ 4yz}
[/mm]
dann P eingesetzt [mm] \pmat{448 \\ 96 \\ 96}
[/mm]
bin ich schon fertig, oder was sagt der vektor aus?
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Hallo rml_,
> ok ich hab jetzt beide matrizen multipliziert:
>
> [mm]\pmat{32x -8yz\\ -3xz \\ 4yz}[/mm]
>
> dann P eingesetzt [mm]\pmat{448 \\ 96 \\ 96}[/mm]
>
> bin ich schon fertig, oder was sagt der vektor aus?
Leider stimmt das nicht.
Die beiden Vektoren, die Du erhältst sind skalar miteinander zu multipliziren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Fr 11.06.2010 | | Autor: | rml_ |
ok, skalar multipliziert erhalte ich eine gleichung in abhängigkeit von t, x(t), y(t), z(t), eingesetzt erhalte ich einen wert.
inwiefern kann ich diesen interpretieren?
ist das mein temperaturänderung/ meter?
und wenn ich temperaturänderun/ sekunde haben will, was läuft dann anders?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Fr 11.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch die Abl. nach der Zeit an einem festen Punkt berechnet, also ist das die nderung pro Zeit. die Änderung pro Weg kannst du nur zu einem festen Zeitpunkt UND in einer gegebenen Richtung ausrechnen, aber das war ja hier nicht gefragtIn deinem ersten post stand [mm] z(t)=-t^2 [/mm] damit kann man ie Aufgabe nicht lösen, wenn der Punkt (..,..,+4) ist.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:19 Fr 11.06.2010 | | Autor: | rml_ |
nein der punkt ist P(8; 6 ; -4)
und wenn ich den in das skalarpdodukt einsetze mitsamt t=2 erhalte ich: 228.
und das ist wie du gerade gesagt hast die änderung pro meter. zumindest hätte ich das errechnen sollen.
in teil b der aufgabe soll ich jetzt die änderung pro sekunder errechnen, was muss ich dann hier tun?'ist das nich analog i.wie?
keiner der mir das erklären kann?:/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 13.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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