Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Di 18.07.2006 | | Autor: | Jonair |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Richtungsableitung der Funktion f in Richtung r an der Stelle a:
f(x,y)=[mm]\wurzel{9-x²-y³}[/mm]
a=[mm](1,2)^{T}[/mm] r=[mm](1,0)^{T}[/mm]
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Im Skript wird folgende Information zu Richtungsableitungen gegeben:
<grad f (a), r > = [mm]f_{x_{1}}[/mm](a) * [mm]r_{1}[/mm] + ... + [mm]f_{x_{n}}[/mm](a) * [mm]r_{n}[/mm]
Und weiter:
Die Richtungsableitung ist die "gewöhnliche" Ableitung der Funktion
g(t) := f(a+tr).
Jedoch weiß ich nicht wie ich diese Richtungsableitung der Funktion f praktisch in der obigen Aufgabe anwenden soll. Ich habe schon versucht den Gradienten zu bestimmen, dann a einzusetzen und bei der Additon der einen Ableitung mit der anderen diese jeweils mit r zu multiplizieren, kommt aber was total falsches bei raus, laut Lösung.
Dann habe ich die Tangentialebene bestimmt, diese mit r multipliziert und a dazu addiert und anschließend in die Gleiung eingesetzt und abgeleitet. Sieht so aus:
t= - x - 2y + 7
[mm]\wurzel{9-(a_{1}+tr_{1})²-(a_{2}+tr_{2})[/mm]
Das habe ich dann abgeleitet nach ([mm]a_{1}[/mm]+t[mm]r_{1}[/mm]) und nach ([mm]a_{2}[/mm]+t[mm]r_{2}[/mm]). Diese beiden Ableitungen addiert und dann a und r eingesetzt.
Stellte fest, dass unter der Wurzel dann etwas negatives stand, so dass ich zu den komplexen Zahlen hätte wechseln müssen. Da aber eine reelle Zahl heraus kommt, müsste dieses Ergebnis auch Blödsinn sein.
Bei der Lösung, welche es zu den Aufgaben gibt, ist auch kein Lösungsweg angegeben.
Also, was muss ich praktisch machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mi 19.07.2006 | | Autor: | Jonair |
Hey ich habe jetzt nochmal nen andere Möglichkeit ausprobiert, die folgendermaßen geht:
g(t)=f(a+tr)
a=(1,2)
r=(1,0)
g(t)=[mm] \wurzel{9-(a_{1}+tr_{1})²-(a_{2}+tr_{2})²}[/mm]
dann a einsetzen:
g(t)=[mm] \wurzel{9-(1+tr_{1})²-(2+tr_{2})²}[/mm]
dann ein wenig aus multiplizieren:
g(t)=[mm] \wurzel{4-2tr_{1}-(tr_{1})²-4tr_{2}-(tr_{2})²}[/mm]
Nun ableiten nach r :
[mm]\bruch{\partial g(t)}{\partial r}[/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{4-tr_{1}-(tr_{1})²-4tr_{2}-(tr_{2})²}[/mm] * (-2t-t*2t[mm]r_{1}[/mm]) + [mm] \bruch{1}{\wurzel{4-tr_{1}-(tr_{1})²-4tr_{2}-(tr_{2})²}[/mm] *
(-4t--t*2t[mm]r_{2}[/mm]
nun r einsetzen und kürzen:
[mm]\bruch{\partial g(t)}{\partial r}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{4-t-t²}}[/mm] * (-6t-4t²)
im Skript heißt es, dass g nur für hinreichend kleine t erklärt ist, also habe ich (-6t-4t²) auf -1 gesetzt und alle t unter der wurzel vernachlässigt. Nun komm ich auf folgendes:
= - [mm]\bruch{1}{\wurzel{4}}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
So komm ich auf das Ergebnis meiner Lösung, aber irgendwie stellt mich das nicht zufrieden, da wenn ich z.B. für t einfach ein relativ kleine Zahl einsetze ich nicht darauf komme.
Außerdem finde ich das mit dem t irgendwie ganz schön viel geraten und vermutet.
Ist was falsch an diesem Lösungsweg?
Darf man das so machen?
Gibt es einen eindeutigeren Lösungsweg ohne Raten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mi 19.07.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jonair,
Dein Weg über die Parametrisierung ist durchaus okay, mit der Formel aus dem Skript geht es aber etwas einfacher. Den Lösungsweg hierzu findest Du unter "Gradient".
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mi 19.07.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jonair,
die Richtungsableitung zu bestimmen, wie Du es über die Parametrisierung durch den Parameter t gemacht hast, ist durchaus okay, aber, wie Du ja selbst gemerkt hast, etwas umständlich.
Die Formel aus Deinem Skript ist hilfreicher, man muss sich nur klar machen, was sich dahinter verbirgt. Sie sagt nämlich nichts weiter aus, als dass Du die Ableitung der Funktion nach allen Variablen bildest, in Deinem Fall also nach x und y, den Koordinatenwert in dieses Ergebnis einsetzt und das Skalarprodukt berechnest zwischen den beiden so errechneten Komponenten und der vorgegebenen Richtung (bei Dir ist das die x-Richtung).
Also:
$$ f(x,y) = [mm] \sqrt{9-y^2-y^2} [/mm] $$ hat die partiellen Ableitungen
$$ [mm] f_x(x,y)= \bruch{-x}{\sqrt{9-x^2-y^2}} [/mm] $$ und
$$ [mm] f_y(x,y)= \bruch{-y}{\sqrt{9-x^2-y^2}} [/mm] . $$
Setzt man hier den Wert für a ein, erhält man
$$ [mm] f_x(1,2) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $$ und
$$ [mm] f_y(1,2) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] . $$
Die Ableitung an der Stelle a in x- und y-Richtung ist nun bekannt und man kann das Skalarprodukt berechnen, was in diesem Fall darauf hinausläuft, [mm] f_x(1,2) [/mm] mit 1 und [mm] f_y(1,2) [/mm] mit 0 zu multiplizieren, denn das sind die y- und y-Komponente Deines Richtungsvektors. Das Ergebnis verwundert Dich jetzt sicher nicht, es stimmt mit dem überein, dass Du über die Parametrisierung ausgerechnet hattest.
Jetzt must Du entscheiden, was einfacher ist  .
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Mi 19.07.2006 | | Autor: | chrisno |
da stand zu Beginn [mm] y^3 [/mm] und dann existiert die Ableitung an der Stelle a nicht. War das auch ein Tippfehler, wie das T bei a = (1;2) ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Do 20.07.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Chrisno,
Du hast mit Deinem Kommentar recht. Ich war von der zweiten Herleitungsmöglichkeit ausgegangen und da stand das Quadrat. Da dieses Ergebnis auch dem aus dem Lösungsheft entspricht, tippe ich wirklich auf einen Tippfehler beim Eingeben der Formel.
Das T soll wohl nur auf die eigentlich gebräuchliche Schreibweise dieses Punktes in Vektorform ( 2 Zeilen, 1 Spalte) hinweisen, - sonst lässt sich auch das Skalarprodukt nicht lösen -, und heisst hier wohl nichts weiter als "Transponiert".
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:19 Do 20.07.2006 | | Autor: | Jonair |
Also das sollte in der Aufgabe wirklich ² heißen und war ein Tippfehler. Das mit dem Tranzponiert ist ebenfalls richtig.
Wenn ich die erste Ableitung bilde, komme ich jedoch auf folgendes:
[mm]f_{x}[/mm](x,y)=[mm]\bruch{1}{\wurzel{9-x²-y²}}[/mm] * (-2x)
ebenso bei y.
Dementsprechend kommt, wenn ich ich a einsetze folgendes raus:
[mm]f_{x}[/mm]=-1
[mm]f_{y}[/mm]=-2
Wo ist mein Ableitungsfehler? Ich habe die äußere Ableitung gebildet und mit der inneren Ableitung multipliziert.
Wofür brauche ich die Angabe r=(1,0) ?
In weiteren Unteraufgaben, die ich nicht alle reinstellen wollte, da ich nur das Prinzip verstehen möchte, wird r verändert und auch das Ergebnis ändert sich. Also irgendwie muss das noch anders gehen, oder?
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Hallo Jonair!
Der Faktor $2_$ kürzt sich raus, da wir aus dem Wurzelausdruck beim Ableiten auch den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] erhalten:
$f(x;y) \ = \ [mm] \wurzel{9-x^2-y^2} [/mm] \ = \ [mm] \left(9-x^2-y^2\right)^{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $f_x(x;y) [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{1}{2}}*\left(9-x^2-y^2\right)^{-\bruch{1}{2}}*(-2x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x}{\left(9-x^2-y^2\right)^{\bruch{1}{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x}{\wurzel{9-x^2-y^2}} [/mm] $
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Fr 21.07.2006 | | Autor: | Jonair |
Vielen Dank.
Wofür brauche ich die Angabe r=(1,0) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Fr 21.07.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Jonair,
dsa gibt die Richtung an, in der abgeleitet wird. Bei (1;0) ist es die x-Richtung,
bei (0;1) wäre es in Richtung y, bei (1;1) wäre es die Winkelhalbierende.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Fr 21.07.2006 | | Autor: | Jonair |
Gut, aber bitte für mich nochmal langsam zum Mitdenken:
Egal in welche Richtung ich ableite, es kommt immer, wenn a eingesetzt wird -0,5 raus.
Warum kommt, wenn ich r=(1,1) setze, [mm]\bruch{\partial f}{\partial r}[/mm]= - [mm]\bruch{3}{4}[/mm][mm]\wurzel{2}[/mm] raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 So 23.07.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jonnair,
ich weiss nicht, wie Du auf dieses Ergebnis kommst. Der Wert des Gradienten an der Stelle a in x- und in y-Richtung ist -1/2. Wenn Du das Skalarprodukt zwischen diesem Wert und Deiner Richtung (1,1) ausrechnest, kommt als Ergebnis -1 raus.
Viele Grüße,
Infinit
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