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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Di 08.01.2013 | | Autor: | anna2013 |
| Aufgabe | In [mm] \IR^{3} [/mm] seien die Teilmengen
L= { [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}+ x_{3} [/mm] = [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] = 5}
K= { [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2}+3x_{3} [/mm] = [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 3}
a) Zeigen Sie, dass L und K Geraden sind.
b) Bestimmen Sie ihre Richtungen und untersuchen Sie, ob sie parallel sind.
c) Berechnen Sie die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes von L und K |
Halli- Hallo,
also die Aufgabe oben ist meine Hausaufgabe. Da ich Schwirigkeiten habe, bitte ich euch um Hilfe :-(
1) darf ich L und K so umformen:
L= { [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^{3} [/mm] | - [mm] x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2}+ x_{3}= [/mm] 5}
K= { [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^{3} [/mm] | - [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}+3 x_{3}= [/mm] 3}
a) Wie zeige ich das L und K Geraden sind?
Habt ihr bitte, bitte irgendwelche Tipps, Ideen, oder Lösungshilfe?
b) Was wird hier mit Richtungen gemeint? Wird hier die Richtung der beiden Richtungsvektoren verglichen?
Zur Parallelität habe ich forlgende Übelegungen: Ich würde hier die Richtungsvektoren der Geraden (in Parameterform) vergleichen um fest zu stellen, ob Parallelität vorliegt. Ist das korrekt so?
Oder in dieser Koordinatenform belassen und die Normalenvektoren vergleichen, also
[mm] n_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\ -2 \\ 1} [/mm] und [mm] n_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1\\ 3}
[/mm]
Weil die beiden Normalenvektoren nicht linear abhängig bzw. identisch sind, sind die beiden Geraden nicht parallel!!??
c) Noch keine Idee. Für Tipps oder Ideen wäre ich sehr dankbar.
LG
Anna
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Hallo,
> In [mm] \IR^3 [/mm] seien die Teilmengen
>
> L= [mm] {\vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^{3} | x_{1} + x_{2}+ x_{3} = 2x_{1} + 3x_{2} = 5}
[/mm]
>
> K= { [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2}+3x_{3} [/mm] = [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 3}
>
> a) Zeigen Sie, dass L und K Geraden sind.
> b) Bestimmen Sie ihre Richtungen und untersuchen Sie, ob
> sie parallel sind.
> c) Berechnen Sie die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes von
> L und K
Die ganze Aufgabe ergibt überhaupt nicht den geringsten Sinn. Bist du dir sicher, dass du L und K hier korrekt wiedergegeben hast? Da stehen nicht zufällig jeweils zwei Koordinaten-Gleichungen mit einem [mm] \wedge [/mm] verbunden?
> also die Aufgabe oben ist meine Hausaufgabe. Da ich
> Schwirigkeiten habe, bitte ich euch um Hilfe
>
> 1. darf ich L und K so umformen:
>
> L= { [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^3 [/mm] | - [mm] x_{1} -2x_{2}+ x_{3}= [/mm] 5}
>
> K= { [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^3 [/mm] | [mm] -x_{1}+ x_{2}+3 x_{3}= [/mm] 3}
>
> a) Wie zeige ich das L und K Geraden sind?
> Habt ihr bitte, bitte irgendwelche Tipps, Ideen, oder
> Lösungshilfe?
Wie gesagt: so wie du die Aufgabe angegegeben hast, sind es keine Geraden, sondern Ebenen.
> b) Was wird hier mit Richtungen gemeint? Wird hier die
> Richtung der beiden Richtungsvektoren verglichen?
Wenn es Geraden wären, dann wäre jeweils die Richtung deer Geraden gemeint. Was sonst?
> Zur Parallelität habe ich forlgende Übelegungen: Ich
> würde hier die Richtungsvektoren der Geraden (in
> Parameterform) vergleichen um fest zu stellen, ob
> Parallelität vorliegt. Ist das korrekt so?
Gute Idee. BTW: im [mm] \IR^3 [/mm] kann man Geraden entweder durch Parameterdarstellungen beschreiben oder aber durch ein LGS. Nicht aber mit einer einzelnen nlinearen Gleichung.
> Oder in dieser Koordinatenform belassen und die
> Normalenvektoren vergleichen, also
> [mm]n_{1}[/mm] = [mm]\vektor{-1\\
-2 \\
3}[/mm] und [mm]n_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\
1\\
3}[/mm]
>
> Weil die beiden Normalenvektoren nicht linear abhängig
> bzw. identisch sind, sind die beiden Geraden nicht
> parallel!!??
Geraden besitzen im [mm] \IR^3 [/mm] keine Normalenform.
> c) Noch keine Idee. Für Tipps oder Ideen wäre ich sehr
> dankbar.
Wenn L und K (windschiefe) Geraden sind, dann gibt es zwei Punkte, einen auf L und einen auf K, deren Verbindungsstrecke auf beiden Geraden orthogonal steht. Die Koordinaten dieser beiden Punkte sind gefragt.
Kläre mal die Aufgabenstellung, vorher macht es keinen Sinn, hier weiterzumachen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Di 08.01.2013 | | Autor: | anna2013 |
hallo diophant
die Aufgabe habe ich richtig abgetippt. Sind das nicht zwei Geraden in [mm] IR^{3}?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Di 08.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> hallo diophant
>
> die Aufgabe habe ich richtig abgetippt. Sind das nicht zwei
> Geraden in [mm]IR^{3}?[/mm]
nein, das ist falsch. Vermutlich sind dir LaTeX-Eingabefehler unterlaufen, aber man sollte als Fragesteller dann schon ein wenig Selbstkontrolle betreiben, und zur Not solche Fehler durch verbale Kommenatare auflösen. Sonst redet man endlos aneinander vorbei.
Nochmal: eine lineare Gleichung in einem euklidischen Vektorraum beschreibt stets eine Hyperebene, und dies ist im Fall des [mm] \IR^3 [/mm] eben gerade eine ganz normale Ebene, während es im [mm] \IR^2 [/mm] eine Gerade ist.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Di 08.01.2013 | | Autor: | abakus |
> In [mm]\IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
seien die Teilmengen
>
> L= { [mm]\vektor{x_{1}\\
x_{2} \\
x_{3}} \in \IR^{3}[/mm] | [mm]x_{1}[/mm] +
> [mm]x_{2}+ x_{3}[/mm] = [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 5}
>
> K= { [mm]\vektor{x_{1}\\
x_{2} \\
x_{3}} \in \IR^{3}[/mm] | [mm]x_{1}[/mm] +
> [mm]2x_{2}+3x_{3}[/mm] = [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 3}
>
> a) Zeigen Sie, dass L und K Geraden sind.
> b) Bestimmen Sie ihre Richtungen und untersuchen Sie, ob
> sie parallel sind.
> c) Berechnen Sie die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes von
> L und K
>
> Halli- Hallo,
>
> also die Aufgabe oben ist meine Hausaufgabe. Da ich
> Schwirigkeiten habe, bitte ich euch um Hilfe :-(
>
> 1) darf ich L und K so umformen:
>
> L= { [mm]\vektor{x_{1}\\
x_{2} \\
x_{3}} \in \IR^{3}[/mm] | - [mm]x_{1}[/mm]
> - [mm]2x_{2}+ x_{3}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
5}
>
> K= { [mm]\vektor{x_{1}\\
x_{2} \\
x_{3}} \in \IR^{3}[/mm] | - [mm]x_{1}[/mm]
> + [mm]x_{2}+3 x_{3}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3}
Nein.
(bzw. das ist nutzlos. Du erzeugst damit nur eine weitere Ebene, die die Schnittgerade der anderen beiden Ebenen enthält).
$x_1+x_2+x_3=5$ ist eine Ebene.
$2x_1$+3x_2=5$ ist die andere Ebene. Gemeinsame Punkte beider Ebenen erfüllen beide Gleichungen.
Du kannst z.B. die erste Gleichung nach $x_1$ auflösen und diesen Term in die zweite einsetzen:
$x_1=5-x_2-x_3$
$2(5-x_2-x_3)+3x_2=5$
Daraus wird
$10-2x_2-2x_3+3x_3=5$
$x_3=-5+2x_2$
Setze $x_2=t$, du erhältst $x_3=5-2t$.
Aus beiden Werten kannst du auch $x_1$ ausrechnen.
Gruß Abakus
>
> a) Wie zeige ich das L und K Geraden sind?
> Habt ihr bitte, bitte irgendwelche Tipps, Ideen, oder
> Lösungshilfe?
>
> b) Was wird hier mit Richtungen gemeint? Wird hier die
> Richtung der beiden Richtungsvektoren verglichen?
>
> Zur Parallelität habe ich forlgende Übelegungen: Ich
> würde hier die Richtungsvektoren der Geraden (in
> Parameterform) vergleichen um fest zu stellen, ob
> Parallelität vorliegt. Ist das korrekt so?
>
> Oder in dieser Koordinatenform belassen und die
> Normalenvektoren vergleichen, also
> [mm]n_{1}[/mm] = [mm]\vektor{-1\\
-2 \\
1}[/mm] und [mm]n_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\
1\\
3}[/mm]
>
> Weil die beiden Normalenvektoren nicht linear abhängig
> bzw. identisch sind, sind die beiden Geraden nicht
> parallel!!??
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> c) Noch keine Idee. Für Tipps oder Ideen wäre ich sehr
> dankbar.
>
> LG
> Anna
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Di 08.01.2013 | | Autor: | anna2013 |
| Aufgabe | In [mm] \IR^{3} [/mm] seien die Teilmengen
L= { [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}+ x_{3} [/mm] = 5; [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] = 5}
K= { [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2}+3x_{3} [/mm] = 3; [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 3}
a) Zeigen Sie, dass L und K Geraden sind.
b) Bestimmen Sie ihre Richtungen und untersuchen Sie, ob sie parallel sind.
c) Berechnen Sie die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes von L und K |
Halli- Hallo,
Das hier ist jetzt die korrigierte Version der Aufgabe .
Somit sind L und K zwei Ebenen und keine Geraden, oder?
Wie soll man dann zeigen, dass es die Geraden sind?
Ich verstehe die Aufgabenstellung (a) nicht?
Hat vielleicht jemand eine Idee?
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So macht die Aufgabe schon mehr Sinn! :)
L und K sind keine Ebenen, sondern die Schnittgeraden von jeweils zwei Ebenen! Ich versuche das mal an L zu verdeutlichen:
In L sind alle diejenigen Punkte, die sowohl in der Ebene liegen, die durch die Gleichung [mm] x_1+x_2+x_3=5 [/mm] bestimmt ist, als auch in der Ebene, die durch [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 3x_2=5 [/mm] gegeben ist.
Also gerade die Schnittmenge der beiden Ebenen. Wenn die Ebenen nicht parallel und/oder identisch sind, erhält man so eine Gerade.
Die Aufgabe in a) besteht nun darin die Schnittgeraden zu bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mi 09.01.2013 | | Autor: | anna2013 |
Nach meiner Berechnung habe ich für
L= [mm] \vektor{10 \\ -5 \\ 0} [/mm] + t* [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
K= [mm] \vektor{-1 \\ 5 \\ 0} [/mm] + s* [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
um es zu zeigen, dass es sich tatsächlich um Geraden handelt müssen wir (Tipp unserer Tutorin) mit Hilfe der Dimension das zeigen.
Meine Idee:
dim (L) = dim [mm] (\IR^{3}) [/mm] - dim ( [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] =5 [mm] \wedge 2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] = 5)
dim (L)= 3-2
dim(L) = 1
somitt hat L dimension 1 [mm] \Rightarrow [/mm] L ist eine affine Gerade
Analog zu K [mm] \wedge
[/mm]
dim (K) = dim [mm] (\IR^{3}) [/mm] - dim ( [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2}+3x_{3} [/mm] = 3 [mm] \wedge 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 3)
dim (K)= 3-2
dim (K) = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] K ist eine affine Gerade.
Ist das korrekt so?
Danke im Voraus
LG
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Also ich würde mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems argumentieren. Die Matrix A entspricht dabei der "linken Seite" der beiden Ebenengleichungen und b der "rechten Seite". x ist dann die Lösung dieses linearen GLS. Also:
A*x=b
mit [mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 }, [/mm] x= [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}, b=\vektor{5 \\ 5}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 }\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=b=\vektor{5 \\ 5}
[/mm]
Über den Lösungsraum L eines lin. GLS ist folgendes bekannt dim(L)=dim Kern(A) (Das habt ihr hoffentlich schon in der VL gemacht) Der Kern der Matrix A besteht nur aus dem Vektor v= [mm] \vektor{10 \\ -5 \\ 0} [/mm] und ist damit eindimensional und somit eine Gerade.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Do 10.01.2013 | | Autor: | anna2013 |
zu Teilaufgabe a)
habe ich die beiden Geraden L und K bestimmt:
L = [mm] \vektor{10 \\ -5 \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
K = [mm] \vektor{0\\ 3 \\ -1} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Herausgefunden habe ich, das die Geraden weder parallel noch identisch sind, weil der Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ungleich Null ist.
Durch gleichsetzten der L=K habe ich ebenfalls ausgeschloßen, dass L und K Schnittpunkte haben.
Damit sind die beiden Geraden windschief!!???
Folgendes in der Aufgabenstellung (siehe oben) verstehe ich leider nicht: Bestimmen Sie die Richtung der Geraden.
Hat Jemand irgendeine Idee, wie man das bestimmt?
Danke im Voraus
anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Do 10.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Richtung der Geraden ist der Richtungsvektor, wenn du ihn in einen einheitsvektor verwandelst ist das wahrscheinlich gemeint, oder du gibstdie Winkel zu den einzelnen Achsen an,das halte ich fuer uebertrieben.
Gruss leduart
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