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| Aufgabe | | [mm] xy'-y=x^2+y^2 [/mm] |
ich habe diese riccatische DGL und weiß, dass ich eine partikuläre lösung brauche, damit ich sie lösen kann.
da es ein übungsbeispiel ist, muss diese DGL lösbar sein. sieht irgendwer eine partikuläre lösung? ich habs schon mit y=x etc. versucht.
DANKE!
lg alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Führe eine neue Variable ein:
(1) [mm]u = \frac{y}{x}[/mm]
Differentiation nach [mm]x[/mm] liefert gemäß Quotientenregel die Beziehung [mm]u' = \frac{xy' - y}{x^2} = \frac{y'}{x} - \frac{u}{x}[/mm], also
(2) [mm]y' = u + xu'[/mm]
Ersetze nun mittels (1),(2) in der Differentialgleichung die Variablen [mm]y,y'[/mm] durch [mm]u,u'[/mm]. Du erhältst eine Differentialgleichung, die sich durch Trennen der Veränderlichen leicht lösen läßt. Aus der [mm]u[/mm]-Lösung bekommst du mittels (1) dann die [mm]y[/mm]-Lösung.
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erstmals danke!!!
muss ich da beim substitueren und integrien irgendwo sowas wie das totale differential oder so bilden? oder kann ich einfach so tun, als wäre mein u jetzt meinen neue variable und unabhängig von x und y?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo gilmore
> muss ich da beim substitueren und integrien irgendwo sowas
> wie das totale differential oder so bilden? oder kann ich
> einfach so tun, als wäre mein u jetzt meinen neue variable
> und unabhängig von x und y?
Die Frage ist komisch y=f(x) und keine "Variable" bei ner Substitution ersetzt man f(x) durch eine andere Funktion g(x) z. Bsp g(x)=f(x)/x oder andere möglichkeiten.
dann suchst du ne Lösung der dgl. für g(x), wenn du die hast kensst du dann auch f(x).
gruss leduart
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