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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Fr 03.11.2006 | | Autor: | prima |
| Aufgabe | Es kommt häufig vor, dass eine nichtlineare DGl durch eine einfache Substitution in eine lineare DGL überführt werden kann. Lösen sie die nichtlineare DGL.
[mm] x^{2}-y^{2}+1+2xy*y`=0 [/mm] |
Hallo zusammen,
Schon jetzt einmal danke,dass ihr mir hoffentlich helft...
Meine Frage ich habe schon alle möglichen Substitutionen ausprobiert. Ich habe vor allem Substitution ausprobiert, die michauf iene Riccatigleichung führen. Meine aktuelle Variante (bei de rich aber auch nciht weiterkomme) ist folgende Substitution: u= [mm] \bruch{y}{2x} [/mm] u'= [mm] \bruch{2xy'-2y}{4x^{2}}.Dann [/mm] habe ich u,u'für y, y' wieder eingesetzt komme dabei aber auf ienen fürchterlichen Term.Bevor ich mich da weiter verrückt rechne, würde ich euch gerne fragen, ob ich uaf dem richtigen Weg bin? Vielleicht ist da ja jetzt schon ein Fehler drin, so dass ich auf gar kein ordentliches Ergebniss kommen kann.Vielen Dank für eure Antworten!
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
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Hallo prima,
Wie wärs denn mit durch [mm] y^2 [/mm] teilen und schauen was passiert. Ob es mit Substitution auch geht habe ich jetzt nicht geschaut.
grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Fr 03.11.2006 | | Autor: | prima |
Schonmal danke,dass du mir helfen willst. ICh muss aber nochmal nachfragen. Wenn ich durch [mm] y^2 [/mm] teile, dann komme ich doch auf:
y`= [mm] -x+\bruch{1}{2x}*y+\bruch{1}{2x}y^-1
[/mm]
Wenn das x nicht wäre, wäre es doch eine Bernoulligleichung (oder?).Aber wie löse ich das denn?
Prima
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Hallo prima,
Sorry Da hab ich mich ganz schön verguckt.
Neuer Versuch: Zunächst die Nichtlinearität wegbringen durch die Substitution
[mm] u=xy^2 [/mm] -> u'=2xy*y'
Das sollte dann zu
[mm] x^2-\bruch{u}{x}+u'
[/mm]
führen.
Hier kannst Du dann den Ansatz homogene Lsg. + inhomogene Lsg. verwenden.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Fr 03.11.2006 | | Autor: | prima |
Sorry aber ich komme irgendwie nicht auf dein ERgebnis.ICh habe die ganze Zeit: [mm] u´=\bruch{u}{x}-x^2-1^ [/mm] . Habe außerdem die Frage warum du u= [mm] xy^2 [/mm] substituiert hast? Würde das gerne nachvollziehen können. Falls mein Ergebnis stimmen würde hätte ich ja eine Riccatigleichung. Hier fällt es mir aber unheimlich schwer die erste spezielle Lösung zu erraten. Hast du eine Tipp auf Lager?
Danke
Prima
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Hallo Prima,
> Sorry aber ich komme irgendwie nicht auf dein ERgebnis.ICh
> habe die ganze Zeit: [mm]u´=\bruch{u}{x}-x^2-1^[/mm] . Habe außerdem
> die Frage warum du u= [mm]xy^2[/mm] substituiert hast? Würde das
> gerne nachvollziehen können. Falls mein Ergebnis stimmen
> würde hätte ich ja eine Riccatigleichung. Hier fällt es
> mir aber unheimlich schwer die erste spezielle Lösung zu
> erraten. Hast du eine Tipp auf Lager?
Sieht gut aus ich hatte ein =0 vergessen. Für die Spezielle Lösung würde ich einen Polynomansatz probieren. Weil sich da beim Differenzieren die Potenz verringert genau wie beim dividieren durch x.
Den Ansatz habe ich gewählt das die Ableitung von [mm] xy^2 [/mm] 2xy ist und sich dadurch die DGL linear wird (also einfacher).
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Fr 03.11.2006 | | Autor: | the-one |
Hallo,
ich sitze gerade auch an der gleichen Aufgabe. Mein Problem ist, wenn ich das so substituiere wie hier vorgeschlagen, bekomme ich in meiner Gleichung für die allgemeine Lösung:
[mm] u(x)=e^{ln|x|+A}*(E+\integral_{}^{}{(t*|t|+|t|/t) dt}
[/mm]
Wie soll ich jetzt den Betrag hier händeln? Soll ich die Fälle t<0 und t> 0 betrachten oder kann ich den Betrag auflösen und [mm] \pm [/mm] vor das Integral schreiben?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
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hallo zusammen, die lösung ist recht simpel
die subst. u = [mm] xy^2 [/mm] führt zum erfolg allerdings ist hier zu beachten dass
du/dx=u'=2*x*y*y' + [mm] y^2 [/mm] ist !!!!
damit ergibt sich folgende DGL:
[mm] x^2-2*u/x+1+u'=0
[/mm]
deren homogene lösung offensichtlich u = [mm] x^2 [/mm] ist
und die spezielle ergibt sich tu
u = [mm] x^2 [/mm] * (c + [mm] \integral_{}^{}{1/x^2*(-x^2-1) dx}) [/mm]
[mm] \gdw xy^2=x^2(c+1/x-x)
[/mm]
=> [mm] y_{1,2}=+/- \wurzel{x(c+1/x-x)}
[/mm]
hoffe ich habe mich nirgendswo vertippt
grüße
patrick
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