Ri vom kreisring nur aus A err < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:17 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Don_Schmoehr |
Eigendlich kommt die Frage aus einem Rollenspielsysthem, kann aber nur Mathematisch beantwortet werden.
Nun zur Frage:
man hat ein Rechteck (a=10m; b=1m) und möchte aus diesem Rechteck einen Kreisring ohne Verlust an Flächeninnhalt biegen (Dicke weiterhin 1m) Wie komme ich nun auf den Außen- bzw. Innenradius? Ich habe schon versucht die Flächeninhaltsformel für einen Kreisring umzustellen, vergebens
Hier mein Versuch:
A rechteck = A Kreisbogen
A rechteck = 10m * 1m
A rechteck = 10m²
A Kreisbogen = [mm] \pi [/mm] * Ra² - [mm] \pi [/mm] * Ri²
[mm] (\pi [/mm] * Ra²) - [mm] \pi [/mm] * Ri² = Ak | : [mm] (\pi [/mm] * Ra²)
[mm] -\pi [/mm] * Ri² = Ak : [mm] (\pi [/mm] * Ra²) | : [mm] -\pi
[/mm]
Ri² = Ak : [mm] (\pi [/mm] * Ra²) : - [mm] \pi
[/mm]
Und bei der Rechnung kommt unweigerlich eine Negative Zahl raus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Don,
also: So ganz versteh' ich die Frage nicht!
> man hat ein Rechteck (a=10m; b=1m) und möchte aus diesem
> Rechteck einen Kreisring ohne Verlust an Flächeninnhalt
> biegen (Dicke weiterhin 1m)
Ist mit "Dicke" die Differenz Ra - Ri gemeint?
> Wie komme ich nun auf den
> Außen- bzw. Innenradius? Ich habe schon versucht die
> Flächeninhaltsformel für einen Kreisring umzustellen,
> vergebens
> Hier mein Versuch:
>
> A rechteck = A Kreisbogen
Du meinst eher: [mm] A_{Kreisring}
[/mm]
> A rechteck = 10m * 1m
> A rechteck = 10m²
>
> A Kreisbogen = [mm]\pi[/mm] * Ra² - [mm]\pi[/mm] * Ri²
wobei [mm] A_{k} [/mm] ebenfalls 10 sein soll!
>
> [mm](\pi[/mm] * Ra²) - [mm]\pi[/mm] * Ri² = Ak | : [mm](\pi[/mm] * Ra²)
Hä??
Du hast doch links eine DIFFERENZ!
Welchen Sinn hat es, durch einen der Summanden zu "dividieren"?
Ich will mal versuchen, mit Deinem ursprünglichen Ansatz und meiner "Idee" (Ra - Ri = 1) weiterzumachen:
[mm] Ra^{2} [/mm] - [mm] Ri^{2} [/mm] = [mm] \bruch{10}{\pi}
[/mm]
Nun also die Tatsache benutzen, dass Ri = Ra - 1 ist:
[mm] Ra^{2} [/mm] - (Ra - [mm] 1)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{10}{\pi}
[/mm]
[mm] Ra^{2} [/mm] - [mm] Ra^{2} [/mm] + 2Ra - 1 = [mm] \bruch{10}{\pi}
[/mm]
2Ra = [mm] \bruch{10}{\pi} [/mm] + 1 = [mm] \bruch{10+\pi}{\pi}
[/mm]
Ra = [mm] \bruch{10+\pi}{2\pi} \approx [/mm] 2,09
Der innere Radius Ri (um 1 kleiner als Ra) ist dann ungefähr: 1,09
(Immer unter der Voraussetzung, dass ich die Aufgabe richtig verstanden habe!)
mfG!
Zwerglein
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Nun speziell trifft das Zu. Vielleicht drücke ich mich mal etwas besser aus:
Ich Will versuchen Die Radien einses Kreisringes Nur aus dem Flächeninnhalt und dem Außenradius zu errechnen und schaffe es im mom nichte die Ursprungsformel ( [mm] \pi(Ra² [/mm] - Ri²) = A )richtig umzustellen.
Dabei Gillt: Ich habe ein Rechteck (ab) als Vorgabe
a = 10 m
b = 1 m
Wenn man dieses Recjteck nun zu einem Kreisring "biegt" (Ohne Flächenverlusst!), ändert sich demnach auch Die Differenz von 1 Zwischen Ra und Ri.
Denn es gillt auch :
a = U
Ich suche nun eine allgemeine Formel, in die ich nur Ra und A einzusetzen brauche (Bitte auch mit veriablen umstelen) um dann auf Ri zu kommen.
Nun nochmals alle Faktoren zusammen:
a = 10 m
b = 1 m
A = 10m²
A kreisring = A rechteck
Ra = U
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Hi, Don,
> Wenn man dieses Recjteck nun zu einem Kreisring "biegt"
> (Ohne Flächenverlusst!), ändert sich demnach auch Die
> Differenz von 1 Zwischen Ra und Ri.
In Deiner Aufgabenstellung stand aber ausdrücklich:
"Dicke weiterhin 1m" !!
Wie ist denn dann dieses zu verstehen?
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Sa 09.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Wenn das so ist, dass die Dicke vorgegebne ist, und nur die Fläche gleich bleiben soll, ist das ganze kein Problem.
Dann gilt:
[mm] A_{Rechteck} [/mm] = [mm] A_{Kreisring}
[/mm]
Also hier: (a,b gegeben)
a b = [mm] \pi (r_{a}²-r_{i}²)
[/mm]
Jetzt weisst du, dass [mm] r_{i} [/mm] = [mm] r_{a} [/mm] - 1m
Also gilt:
[mm] A_{rechteck} [/mm] = [mm] \pi (r_{a}² [/mm] - [mm] (r_{a}-1)²)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{A_{rechteck}}{\pi} [/mm] = [mm] r_{a}² [/mm] - [mm] r_{a}² [/mm] + [mm] 2r_{a} [/mm] - 1
[mm] \gdw \bruch{A_{rechteck}}{\pi} [/mm] + 1 = [mm] 2r_{a}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{A_{Rechteck} + \pi}{2} [/mm] = [mm] r_{a}
[/mm]
[mm] r_{i} [/mm] kannst du dann ohne Probleme selber berechnen.
Bei konkret gegeben a und b solltest du diese vorher in m umrechnen.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Sa 09.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Verstehe ich die obige Mitteilung richtig, wenn ich annehme, dass du das Rechteck "über eine Kante", nehmen wir mal a biegen willst?
Wenn dem so ist, gibt es zwei Möglichkeiten.
1) Das Rechteck wird zu einer Röhre gebogen. Dann gilt:
2 [mm] \pi r_{innen} [/mm] = b [mm] \Rightarrow r_{innen} [/mm] = [mm] \bruch{b}{2\pi}
[/mm]
a wird dann zur Länge der Röhre.
Die Dicke der Röhre ist die Dicke des Rechtecks
2) Du biegst das ganze "in der Fäche", ich schätze dass du dieses meinst.
Dann gilt:
2 [mm] \pi r_{i} [/mm] = b [mm] \Rightarrow \bruch{b}{2\pi}.
[/mm]
Das Problem jetzt ist, dass du jetzt noch eine Lücke hast, da die Kanten nur am Innenradius des Ringes aneinanderliegen.
Diese Fläche, die noch fehlt ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Schenkellänge a. Die Basis - ich nenne sie g, (Grundseite des Dreiecks) ist die Differenz zwichen dem noch zu findenden [mm] r_{aussen} [/mm] und [mm] r_{innen}, [/mm] es gilt also g = [mm] r_{aussen} [/mm] - [mm] r_{innen} [/mm] = [mm] r_{aussen} [/mm] - [mm] \bruch{b}{2\pi}
[/mm]
Wenn du jetzt den Aussenradius zusammenziehst, werden diese Schenkel und die Basis des Dreiecks kleiner. Wenn meine Überlegung richtig ist, müssten die Schenkel an der Höhe des Dreiecks zusammentreffen.
Diese kannst du berechnen. Nach Pythagoras gilt:
[mm] (\bruch{g}{2})² [/mm] + h² = a² [mm] \Rightarrow [/mm] h = [mm] \wurzel{a²-\bruch{g²}{4}}= \wurzel{a²-\bruch{(r_{aussen} - \bruch{b}{2\pi})²}{4}}
[/mm]
Das ist dann deine Dicke des Ringes.
Hilft das weiter?
Marius
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