www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Diskrete Mathematik" - Restklasse und Prim
Restklasse und Prim < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Mathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Restklasse und Prim: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:09 So 24.02.2019
Autor: magics

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion [mm] $\Phi: \IN \to \IN \; [/mm] mit [mm] \; \Phi(n) [/mm] := [mm] |\{a | 1 \le a \le n \; und \; ggT(a,n) = 1\}|$ [/mm]

Sei nun $k [mm] \ge [/mm] 1$ und $p [mm] \; [/mm] prim$. Dann ist zu zeigen, dass: [mm] $\Phi(p^k) [/mm] = [mm] p^{k-1}(p-1)$ [/mm]

Hallo,

scheinbar lautet der Lösungsweg [mm] $\red{\Phi(p^k)=p^k-\bruch{p^k}{p}}=p^k-p^k*p^{-1}=p^{k-1+1}-p^{k-1}=p^{k-1}*p-p^{k-1}*1=p^{k-1}(p-1)$ [/mm]

Ich verstehe die Umformung [mm] $\red{\Phi(p^k)=p^k-\bruch{p^k}{p}}$ [/mm] nicht. Man geht hier von folgendem aus:
[mm] $p^k$ [/mm] ist die Menge aller Elemente mit $1 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] n$.
[mm] $\bruch{p^k}{p}$ [/mm] ist die Menge aller Elemente mit $ggT(a, [mm] p^k) \not= [/mm] 1$.

Wieso ist letzteres so?

Gibt es dazu einen Satz oder kann man das mit einem scharfen Auge sehen?

Grüße
Thomas

        
Bezug
Restklasse und Prim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 So 24.02.2019
Autor: Fulla


> [mm]p^k[/mm] ist die Menge aller Elemente mit [mm]1 \le a \le n[/mm].

>

> [mm]\bruch{p^k}{p}[/mm] ist die Menge aller Elemente mit [mm]ggT(a, p^k) \not= 1[/mm].

>

> Wieso ist letzteres so?

>

> Gibt es dazu einen Satz oder kann man das mit einem
> scharfen Auge sehen?

Hallo Thomas,

scharfes Hinsehen reicht hier aus:
Von den [mm]p^k[/mm] Zahlen ist jede [mm]p[/mm]-te Zahl durch [mm]p[/mm] teilbar, also nicht teilerfremd zu [mm]p^k[/mm]. Das sind [mm]\frac{p^k}{p}[/mm] Stück. (Das sind alle Zahlen [mm]\le p^k[/mm] mit gemeinsamen Teilern, da [mm]p^k[/mm] als einzigen Primfaktor [mm]p[/mm] hat.)

Beispiel: [mm]p=k=3[/mm]
Von den [mm]p^k=3^3=27[/mm] Zahlen ist jede dritte durch 3 teilbar, nämlich 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 und 27. Das sind [mm]9=\frac{27}{3}=\frac{3^3}{3}[/mm] Stück.
Also ist [mm]\Phi(3^3)=27-9=18[/mm].

Lieben Gruß,
Fulla
 

Bezug
                
Bezug
Restklasse und Prim: Merci
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 So 24.02.2019
Autor: magics

Merci für die Erklärung! Leuchtet mir ein :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Mathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]