Restgliedabschätzung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm]f(x) := \dfrac{1+x}{1-x} = \dfrac{2}{1-x}-1[/mm]
Bestimmen sie das n-te Taylorpolynom um den Punkt 0 und schaetzen sie das Restglied n+1 ter Ordnung moeglichst explizit ab. |
Moin moin, also im Moment hab ich Probleme mit der Restgliedabschätzung. Was ich bisher habe:
[mm]f(x) := \dfrac{1+x}{1-x} = \dfrac{2}{1-x}-1\\
[/mm]
[mm]f'(x) = \dfrac{2}{(1-x)^2}\\
[/mm]
[mm] f''(x) = \dfrac{4}{(1-x)^3}\\
[/mm]
[mm]\Rightarrow f^{(n)}(x) = \dfrac{2*n!}{(1-x)^{n+1}}\\
[/mm]
[mm]\Rightarrow f^{(n)}(0) = 2*n!\\
[/mm]
[mm]T_n(x) = 1 * \sum\limits^n_{k=1} \dfrac{2*k!}{k!} * x^k = \sum\limits^n_{k=1} 2x^n\\
[/mm]
[mm] R_{n+1}(x) = \dfrac{\dfrac{2(n+1)!}{(1-c)^{n+2}}}{(n+1)!}(x)^{n+1} \quad fuer \quad c \in (0,x)\\
[/mm]
[mm] = \dfrac{2(x)^{n+1}}{(1-c)^{n+2}}\quad fuer \quad c \in (0,x)\\
[/mm]
Jetzt müsste ich das ja denke ich noch das c irgendwie rausbekommen, aber ich habe keine Ahnung wie ich das Ausdrücken soll. Das Ergebnis wird ja größer, je näher c an 1 ist. Aber wie schreibt man sowas auf?
MfG Florian
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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Hallo Florian,
> [mm]f(x) := \dfrac{1+x}{1-x} = \dfrac{2}{1-x}-1[/mm]
>
> Bestimmen sie das n-te Taylorpolynom um den Punkt 0 und
> schaetzen sie das Restglied n+1 ter Ordnung moeglichst
> explizit ab.
>
> Moin moin, also im Moment hab ich Probleme mit der
> Restgliedabschätzung. Was ich bisher habe:
> [mm]f(x) := \dfrac{1+x}{1-x} = \dfrac{2}{1-x}-1\\
[/mm]
> [mm]f'(x) = \dfrac{2}{(1-x)^2}\\
[/mm]
>
> [mm]f''(x) = \dfrac{4}{(1-x)^3}\\
[/mm]
> [mm]\Rightarrow f^{(n)}(x) = \dfrac{2*n!}{(1-x)^{n+1}}\\
[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Es ist nicht klar, wie du zu dieser Folgerung kommst.
Sowas müsste gezeigt werden.
> [mm]\Rightarrow f^{(n)}(0) = 2*n!\\
[/mm]
>
> [mm]T_n(x) = 1 * \sum\limits^n_{k=1} \dfrac{2*k!}{k!} * x^k = \sum\limits^n_{k=1} 2x^n\\
[/mm]
Hier hast du offenbar auf das konstante Glied der Reihe
großzügig verzichtet ...
> [mm]R_{n+1}(x) = \dfrac{\dfrac{2(n+1)!}{(1-c)^{n+2}}}{(n+1)!}(x)^{n+1} \quad fuer \quad c \in (0,x)\\
[/mm]
>
> [mm]= \dfrac{2(x)^{n+1}}{(1-c)^{n+2}}\quad fuer \quad c \in (0,x)\\
[/mm]
Für negatives x müsste auch c negativ sein, also dann [mm] c\in [/mm] (x,0) .
Zusammenfassend könnte man schreiben: c ist ein Wert mit
$\ c=k*x$ , wobei [mm] k\in [/mm] (0,1)
> Jetzt müsste ich das ja denke ich noch das c irgendwie
> rausbekommen, aber ich habe keine Ahnung wie ich das
> Ausdrücken soll. Das Ergebnis wird ja größer, je näher
> c an 1 ist. Aber wie schreibt man sowas auf?
Einen exakten Wert von c "rauszubekommen", ist gar nicht
das Ziel. Gesucht ist ja eine Restglied-Abschätzung ,
also eine Ungleichung, welche eine Obergrenze für den
möglichen Fehler liefert.
LG Al-Chw.
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Beim Konstanten Glied hab ich mich vertan, es hätte 1+ und nicht 1* vor der Summe stehen müssen.
Das Restglied scheint sich dann ja wirklich nichtmehr präziser abschätzen zu lassen, dass war eigentlich das wichtigste.
Also vielen Dank fürs korrigieren,
MfG Florian
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> Beim Konstanten Glied hab ich mich vertan, es hätte 1+ und
> nicht 1* vor der Summe stehen müssen.
OK
> Das Restglied scheint sich dann ja wirklich nichtmehr
> präziser abschätzen zu lassen, dass war eigentlich das
> wichtigste.
Nun ja, aber eine wirkliche Abschätzung hast du
trotzdem gar noch nicht vorgenommen !
LG Al-Chw.
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Aber das wäre ja schon abhängig davon ob x nun positiv oder negativ ist. Wenn x negativ ist, dann wäre c gleich 0 für den maximalen Fehler. Und wenn x positiv ist, dann müsste c entweder x oder unendlich nah unter bzw. über der 1 sein. Wie sollte man sowas aufschreiben?
MfG Florian
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> Aber das wäre ja schon abhängig davon ob x nun positiv
> oder negativ ist. Wenn x negativ ist, dann wäre c gleich 0
> für den maximalen Fehler. Und wenn x positiv ist, dann
> müsste c entweder x oder unendlich nah unter bzw. über
> der 1 sein. Wie sollte man sowas aufschreiben?
>
> MfG Florian
Hallo Florian,
für die konkrete Abschätzung der Diskrepanz zwischen
f(x) und [mm] T_n(x) [/mm] für einen vorgegebenen Wert x hat man
(sofern die aufgestellte Restgliedformel stimmt):
$\ [mm] |f(x)-T_n(x)|\ \le\ 2*\left|\dfrac{x^{n+1}}{(1-c)^{n+2}}\right|\ \le\ 2*\left|\dfrac{x^{n+1}}{(1-|x|)^{n+2}} \right|\ [/mm] =\ [mm] 2*\dfrac{|x|^{n+1}}{(1-|x|)^{n+2}}$
[/mm]
Das Ganze macht nur wirklich Sinn für x-Werte nahe
bei 0 und jedenfalls |x|<1 , denn der Nenner strebt
ja gegen 0 , falls |x| gegen 1 geht.
LG Al-Chw.
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Danke erstmal, für das ausführliche aufschreiben.
Aber es ist genau diese Aussage die mir Kopfzerbrechen bereitet:
[mm]2\cdot{}\left|\dfrac{x^{n+1}}{(1-c)^{n+2}}\right|\ \le\ 2\cdot{}\left|\dfrac{x^{n+1}}{(1-|x|)^{n+2}} \right|
[/mm]
Da x ja beliebig ist, z.B. 100, wäre der linke Term für z.B. c = 0,5 ja wesentlich größer. Irgendwie müsste man das doch noch einschränken.
MfG Florian
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> Danke erstmal, für das ausführliche aufschreiben.
> Aber es ist genau diese Aussage die mir Kopfzerbrechen
> bereitet:
> [mm]2\cdot{}\left|\dfrac{x^{n+1}}{(1-c)^{n+2}}\right|\ \le\ 2\cdot{}\left|\dfrac{x^{n+1}}{(1-|x|)^{n+2}} \right|
[/mm]
>
> Da x ja beliebig ist, z.B. 100, wäre der linke Term für
> z.B. c = 0,5 ja wesentlich größer.
größer als was ?
> Irgendwie müsste man
> das doch noch einschränken.
Für x=100 kannst du die Taylorreihe vergessen. Sie versagt
für alle x mit [mm] |x|\ge1 [/mm] und ist dann ohnehin sinnlos.
Wie ich gemerkt habe, wäre es aber durchaus sinnvoll,
separate Untersuchungen für positive / negative x anzu-
stellen, da man für negative x eine bessere (engere)
Abschätzung haben kann als für positive.
LG Al-Chw.
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> > Danke erstmal, für das ausführliche aufschreiben.
> > Aber es ist genau diese Aussage die mir Kopfzerbrechen
> > bereitet:
> > [mm]2\cdot{}\left|\dfrac{x^{n+1}}{(1-c)^{n+2}}\right|\ \le\ 2\cdot{}\left|\dfrac{x^{n+1}}{(1-|x|)^{n+2}} \right|[/mm]
>
> >
> > Da x ja beliebig ist, z.B. 100, wäre der linke Term für
> > z.B. c = 0,5 ja wesentlich größer.
>
> größer als was ?
>
Größer als der rechte Term. Die Aussage müsste ja erstmal für alle x aus R gelten.
> Für x=100 kannst du die Taylorreihe vergessen. Sie versagt
> für alle x mit [mm]|x|\ge1[/mm] und ist dann ohnehin sinnlos
Aber ich kann die |x|>1 doch nicht einfach ignorieren wenn ich das Restglied aufstelle bzw. abschätze?
MfG Florian
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> Aber ich kann die |x|>1 doch nicht einfach ignorieren wenn
> ich das Restglied aufstelle bzw. abschätze?
Voraussetzung für die Anwendung der Restgliedformel für [mm] R_n
[/mm]
ist, dass das gesamte Intervall zwischen [mm] x_0 [/mm] (in unserem Fall
[mm] x_0=0) [/mm] und x (inklusive Randwerte) zum Bereich gehört, in
welchem die zu approximierende Funktion f mindestens
(n+1) mal differenzierbar ist. Da f an der Stelle x=1 gar
nicht differenzierbar, ja nicht einmal definiert ist,
kommt [mm] x\ge1 [/mm] gar nicht in Frage !
LG Al-Chw.
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puh vielen dank für deine Geduld, jetzt hab ichs auch verstanden. Das Intervall zwischen 0 und x kann natürlich keine Lücken haben.
MfG Florian
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