Resolventenabbildung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:47 Do 07.02.2008 | | Autor: | BertanARG |
| Aufgabe | A: abgeschlossener Operator von einem linearen Teilraum D(A) eines Banachraums auf den Banachraum X.
A: D(A) [mm] \to [/mm] X, wobei D(A) [mm] \subset [/mm] X ein linearer Teilraum ist.
Anhand der Gleichung [mm] \lambda [/mm] x - Ax = y wird die Resolventenabbildung [mm] R(\lambda, A)=(\lambda [/mm] - [mm] A)^{-1} [/mm] definiert.
Ist die Resolventenabbildung [mm] R(\lambda,A) [/mm] beschränkt? |
Hi,
die Antwort scheint ja zu sein, allerdings bin ich mir bei meiner Argumentationskette nicht sicher. Ich gehe folgendermaßen vor.
1. T bijektiv
Die Existenz der Resolventenabbildung [mm] R(\lambda, A)=(\lambda [/mm] - [mm] A)^{-1} [/mm] impliziert, dass [mm] T:=\lambda [/mm] - A eine bijektive Abbildung von X auf sich selbst ist.
2. T beschränkt
Da A abgeschlossen ist, gilt zudem, dass T beschränkt ist: denn für alle x [mm] \in [/mm] X gilt:
[mm] \parallel [/mm] Tx [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel (\lambda [/mm] - A)x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel \lambda [/mm] x - Ax [mm] \parallel \leq \parallel \lambda [/mm] x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel.
[/mm]
Hier gilt [mm] \parallel \lambda [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] |\lambda| \parallel [/mm] x [mm] \parallel
[/mm]
und [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel \leq [/mm] M [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] mit [mm] M<\infty.
[/mm]
Die Beschränktheit von A folgt aus dem Graphensatz, der besagt, dass alle abgeschlossenen Operatoren von einem Banachraum auf sich selbst beschränkt sind.
3. Satz über stetige Inverse
Der Satz der stetigen Inversen liefert dann die Behauptung, denn dieser besagt:
Sind X,Y Banachräume und T: X [mm] \to [/mm] Y beschränkt und bijektiv, so ist [mm] T^{-1} [/mm] stetig. Wobei Stetigkeit und Beschränktheit äquivalent sind.
Ist die Argumentation so richtig, oder habe ich noch Fehler darin?
Grüße und danke schon mal
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Hi Bertan,
mir stellen sich einige fragen:
> A: abgeschlossener Operator von einem linearen Teilraum
> D(A) eines Banachraums auf den Banachraum X.
>
> A: D(A) [mm]\to[/mm] X, wobei D(A) [mm]\subset[/mm] X ein linearer Teilraum
> ist.
>
> Anhand der Gleichung [mm]\lambda[/mm] x - Ax = y wird die
> Resolventenabbildung [mm]R(\lambda, A)=(\lambda[/mm] - [mm]A)^{-1}[/mm]
> definiert.
[mm] $\lambda$ [/mm] ist also als teil der resolventenmenge (im gegensatz zum spektrum) definiert?
>
> Ist die Resolventenabbildung [mm]R(\lambda,A)[/mm] beschränkt?
es geht um die R-abbildung fuer festes [mm] \lambda [/mm] und A, richtig?
> Hi,
>
> die Antwort scheint ja zu sein, allerdings bin ich mir bei
> meiner Argumentationskette nicht sicher. Ich gehe
> folgendermaßen vor.
>
> 1. T bijektiv
> Die Existenz der Resolventenabbildung [mm]R(\lambda, A)=(\lambda[/mm]
> - [mm]A)^{-1}[/mm] impliziert, dass [mm]T:=\lambda[/mm] - A eine bijektive
> Abbildung von X auf sich selbst ist.
>
hm, das glaube ich nicht. A ist (potentiell) unbeschraenkt und nur auf D(A) definiert...
> 2. T beschränkt
> Da A abgeschlossen ist, gilt zudem, dass T beschränkt ist:
> denn für alle x [mm]\in[/mm] X gilt:
> [mm]\parallel[/mm] Tx [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel (\lambda[/mm] - A)x
> [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel \lambda[/mm] x - Ax [mm]\parallel \leq \parallel \lambda[/mm]
> x [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] Ax [mm]\parallel.[/mm]
> Hier gilt [mm]\parallel \lambda[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]|\lambda| \parallel[/mm]
> x [mm]\parallel[/mm]
> und [mm]\parallel[/mm] Ax [mm]\parallel \leq[/mm] M [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm]
> mit [mm]M<\infty.[/mm]
> Die Beschränktheit von A folgt aus dem Graphensatz, der
> besagt, dass alle abgeschlossenen Operatoren von einem
> Banachraum auf sich selbst beschränkt sind.
>
> 3. Satz über stetige Inverse
> Der Satz der stetigen Inversen liefert dann die
> Behauptung, denn dieser besagt:
>
> Sind X,Y Banachräume und T: X [mm]\to[/mm] Y beschränkt und
> bijektiv, so ist [mm]T^{-1}[/mm] stetig. Wobei Stetigkeit und
> Beschränktheit äquivalent sind.
>
also eigentlich wuerde mich zunaechst mal interessieren, wie ihr spektrum und resolventenmenge fuer unbeschraenkte operatoren definiert habt. Geht man naemlich nach der def. bei Wiki (http://de.wikipedia.org/wiki/Spektrum_%28Operatortheorie%29) ergibt sich die beschraenktheit von R direkt aus der definition. zumindest verstehe ich das so...
gruss
matthias
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| Aufgabe | Vorbemerkungen:
A Matrix, x [mm] \in \IR^n, \lambda [/mm] x - Ax = y, [mm] x=(\lambda -A)^{-1} [/mm] y,
[mm] (\lambda -A)^{-1} [/mm] existiert [mm] \gdw \lambda [/mm] ist kein Eigenwert von A [also nicht enthalten im Spektrum s(A)]
Spektrum [mm] s(A)=\{\lambda: \lambda ist Eigenwert von A\}
[/mm]
Definitionen:
Sei A abgeschlossener Operator auf einem Banachraum X,
[mm] r(A)=\{ \lambda \in \IC: \lambda - A: D(A) \to X bijektiv und hat beschränkte Inverse\} [/mm] ist die Resolventenmenge
[mm] s(A)=\IC \setminus [/mm] r(A) heißt das Spektrum,
R: r(A) [mm] \to R(\lambda,A) [/mm] heißt Resolventenabbildung mit [mm] \lambda \to (\lambda [/mm] - [mm] A)^{-1}
[/mm]
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Hi,
also R ist eine Abbildung mit festem A und der Variable [mm] \lambda, [/mm] wenn ich das richtig verstehe. Und ja, laut Definition der Resolventenmenge wird die Beschränktheit der Resolventenabbildung vorausgesetzt.
Das wundert mich jetzt, da in einer Prüfung die Frage gestellt wurde, ob die Abbildung beschränkt ist. Richtige Antwort wäre also, "laut Definition ist sie das!".
Aber warum muss sie beschränkt sein? Vielleicht kann mir das jemand beantworten.
Viele Grüße und danke schon mal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 16.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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