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Residuum: Berechung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 Fr 25.06.2010
Autor: Pacapear

Hallo zuammen!

Ich hab hier ein Beispiel zum Residuum.

Und zwar wird gesagt, dass das Residuum der Funktion [mm] \bruch{1}{z-a} [/mm] in a gleich 1 ist.

Ich weiß nicht so recht, wie man darauf kommt.

Ich weiß, dass wenn a die Singularität von f ist, und ich f um a in eine Laurent-Reihe entwicklen kann, dass dann das Residuum der Koeffizient [mm] a_{-1} [/mm] ist.

Aber bei der Laurent-Reihe haperts bei mir.

Also wenn ich eine Laurent-Reihe um a bekommen will, dann heißt das doch, dass a der Entwicklungspunkt der Reihe ist, oder?

Also will ich eine Reihe der Form [mm] \summe_{k=\infty}^{\infty}a_k(z-a)^k [/mm] oder?

Also muss ich mir doch am besten einen Term basteln, auf den ich die geometrische Reihe anwenden kann, oder?

Und damit in die Reihe das [mm] (z-a)^k [/mm] kommt, brauche ich also einen Term, der am Ende dir Form [mm] \bruch{1}{1-(z-a)} [/mm] hat, richtig?

Aber ich weiß nicht, wie ich darauf kommen soll.

Als Ausgangsbruch hab ich ja [mm] \bruch{1}{z-a}. [/mm]

Ich hab schon versucht, eine 1 herzumogeln, indem ich mit 0 addiert habe:

[mm] \bruch{1}{z-a}=\bruch{1}{(1-1)+(z-a)}=\bruch{1}{1-1+(z-a)}=\bruch{1}{-(-1+1-(z-a))}=-\bruch{1}{-1+1-(z-a)}=-\bruch{1}{1-(z-a)-1} [/mm]

Aber irgendwie hilft mir das nicht weiter, jetzt hab ich ja wieder eine 1 zuviel [nixweiss]

Wie muss ich hier vorgehen, um den Bruch in eine Laurentreihe zu bekommen?

LG Nadine

        
Bezug
Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Fr 25.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Nadine,

hier nur eine Teilantwort ohne auf die Laurentreihen einzugehen.

Es gibt doch wunderbare Regeln zur Berechnung von Residuen, die sparen viel Zeit und einen Haufen Rechnerei:

Hat $f$ in [mm] $a\in\IC$ [/mm] eine Pol 1.Ordung, so ist [mm] $\operatorname{Res}_a(f)=\lim\limits_{z\to a}(z-a)\cdot{}f(z)$ [/mm]

Damit ergibt sich hier doch sehr schnell der Wert 1 ...

Ich lasse es mal auf "teilweise beantwortet", da ich auf deine Rechnung nicht eingegangen bin ;-)

Gruß

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Fr 25.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

Doch noch schnell zur Laurentreihe.

Die ist so einfach, dass síe schon dasteht ;-)

Es ist doch [mm] $\frac{1}{z-a}=(z-a)^{-1}$ [/mm]

Weitere Potenzen tauchen in der Reihe nicht auf, alle weiteren Koeffizienten (außer dem -1-ten) sind 0 ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Residuum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Mo 12.07.2010
Autor: Pacapear

Hallo schachuzipus!

Vielen Dank für deine Antwort, war ja eingentlich doch nicht so schwer ;-)

LG Nadine

Bezug
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