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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Fr 10.02.2006 | | Autor: | kunzm |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechnen sie das Folgende Integral mit Hilfe der Funktionentheorie:
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^4}$ |
Hallo mal wieder,
Ich habe mir folgendes überlegt:
Sei $f(z)=\frac{1}{1+z^4}$.
Dann sind die Nullstellen des Nenners bei:
$z^4=-1$ $\Rightarrow$ $z^4=\exp(i\pi(1+2k))$ $\Rightarrow$ $z=\exp(\frac{i\pi(1+2k)}{4})$
Also bei:
$z_1=\exp(\frac{\pi i}{4})$, $z_2=\exp(\frac{3\pi i}{4})$, $z_3=\exp(\frac{5\pi i}{4})$, $z_4=\exp(\frac{7\pi i}{4})$
Dies sind alles einfache Pole.
\textit{Satz aus unserem Skript:}
\textit{Ist c einfacher Pol, so gilt:}
$res_c f(z)=\lim\limits_{z->c}(z-c)f(z)$
also:
$res_c f(z)=\lim\limits_{z->c}(z-c)f(z)=\lim\limits_{z->c}\frac{z-c}{1+z^4} ={l'Hopital}=\lim\limits_{z->c}\frac{1}{4z^3}=\frac{1}{4c^3}$
(hier bin ich nicht ganz sicher..)
Die Summe der 4 Residuen (nullstellen für c eingesetzt) multipliziert mit $2\pi i$ sollte mir doch dann das Integral geben, also
$\int\frac{1}{1+z^4}=2 \pi i \sum Res(f(z),z_k)$
$\sum Res(f(z),z_k)=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{(\exp{\frac{\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{3\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{5\pi i}{4}})^3} + \frac{1}{(\exp{\frac{7\pi i}{4}})^3}\right)$
$=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{(\exp{\frac{3\pi i}{4}})}+ \frac{1}{(\exp{\frac{9\pi i}{4}})}+ \frac{1}{(\exp{\frac{15\pi i}{4}})} + \frac{1}{(\exp{\frac{21\pi i}{4}})}\right)$
$=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{(\exp{3\pi i)})}+ \frac{1}{(\exp{9\pi i)}})}+ \frac{1}{(\exp{15\pi i)})} + \frac{1}{(\exp{21\pi i)})}\right)=-1$
Also ist:
$\int\frac{1}{1+z^4}=2 \pi i \sum Res(f(z),z_k)=-2\pi i$
Und da sollte eigentlich stehen: $\frac{1}{\sqrt{2}} \pi$....
Was hab ich da mal wieder falsch gemacht?
Danke für Eure Hilfe, Martin
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Hallo Martin
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> Sei [mm]f(z)=\frac{1}{1+z^4}[/mm].
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> Dann sind die Nullstellen des Nenners bei:
>
> [mm]z^4=-1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]z^4=\exp(i\pi(1+2k))[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]z=\exp(\frac{i\pi(1+2k)}{4})[/mm]
>
> Also bei:
>
> [mm]z_1=\exp(\frac{\pi i}{4})[/mm], [mm]z_2=\exp(\frac{3\pi i}{4})[/mm],
> [mm]z_3=\exp(\frac{5\pi i}{4})[/mm], [mm]z_4=\exp(\frac{7\pi i}{4})[/mm]
>
>
> Dies sind alles einfache Pole.
>
> [mm]\textit{Satz aus unserem Skript:}[/mm]
>
> [mm]\textit{Ist c einfacher Pol, so gilt:}[/mm]
>
> [mm]res_c f(z)=\lim\limits_{z->c}(z-c)f(z)[/mm]
>
> also:
>
> [mm]res_c f(z)=\lim\limits_{z->c}(z-c)f(z)=\lim\limits_{z->c}\frac{z-c}{1+z^4} ={l'Hopital}=\lim\limits_{z->c}\frac{1}{4z^3}=\frac{1}{4c^3}[/mm]
>
> (hier bin ich nicht ganz sicher..)
bis dahin ist alles richtig.
> Die Summe der 4 Residuen (nullstellen für c eingesetzt)
> multipliziert mit [mm]2\pi i[/mm] sollte mir doch dann das Integral
> geben, also
>
> [mm]\int\frac{1}{1+z^4}=2 \pi i \sum Res(f(z),z_k)[/mm]
>
> [mm]\sum Res(f(z),z_k)=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{(\exp{\frac{\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{3\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{5\pi i}{4}})^3} + \frac{1}{(\exp{\frac{7\pi i}{4}})^3}\right)[/mm]
Hier liegt glaube ich dein Fehler. Duhast 4 komplexe nullstellen, 2 oberhalb der Reellen Achse und 2 unterhalb.
Um die Residuen zu berechnen brauchst du nur die Residuen oberhalb zu betrachten.
Für die anderen Residuen verschwindet das integral gegen 0.
Grüsse
Schurikxxx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Sa 11.02.2006 | | Autor: | kunzm |
Danke, aber wenn ich die beiden nullstellen mit $Im(.)<0$ weglasse, also schreibe:
$ [mm] \sum Res(f(z),z_k)=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{(\exp{\frac{\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{3\pi i}{4}})^3}\right) =-\frac{1}{2}$
[/mm]
bekomme ich für das Integral immer noch [mm] $-\pi [/mm] i$ zurück und nicht wie gewünscht [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}} \pi$. [/mm] Irgendwo muss noch ein Fehler sein (vielleicht stimmt auch die Musterlösung nicht, wäre nicht das erste mal) Brauche aber irgendwie eine stichhaltige Begründung...
Danke, Martin.
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Hallo Martin,
ich glaube du hast dich verrechnet. Ich bekomme raus:
[mm]2 \pi\sum Res(f(z),z_k)=2 \pi\frac{1}{4}\left( \frac{1}{(\exp{\frac{\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{3\pi i}{4}})^3}\right) =2 \pi\left( (\frac{1}{2} \wurzel{2}+i\frac{1}{2} \wurzel{2})+(\frac{1}{2} \wurzel{2}-i\frac{1}{2} \wurzel{2})\right)=\frac{1}{2} \wurzel{2}\pi[/mm]
Grüsse
Schurikxxx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Sa 11.02.2006 | | Autor: | kunzm |
upps, danke!
L.G.M.
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