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| Aufgabe | Berechne das folgende Integral mit dem Residuensatz:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1+cos^{2}{\varphi}}d{\varphi}} [/mm] |
Wie geht man dabei vor?
Ist es klug erst das Residuum zu bestimmen oder sollte man zuerst cos{phi} mit [mm] \bruch{1}{2}(e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}})ersetzen?
[/mm]
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Hallo photonendusche,
> Berechne das folgende Integral mit dem Residuensatz:
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> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1+cos^{2}{\varphi}}d{\varphi}}[/mm]
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> Wie geht man dabei vor?
> Ist es klug erst das Residuum zu bestimmen oder sollte man
> zuerst cos{phi} mit
> [mm]\bruch{1}{2}(e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}})ersetzen?[/mm]
Zuerst ersetzen, dann mit [mm]z=e^{i{\varphi}}[/mm] substituieren,
um die Polstellen des Nenners zu bestmmen.
Gruss
MathePower
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dann sieht es doch folgendermaßen aus :
[mm] \integral_{0}^{2{Pi}}{ \bruch{1}{1+cos^{2}{phi}}d{phi}}= [/mm]
[mm] \integral_{0}^{2{Pi}}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}(e^{iphi}+e^{-iphi})^{2}}d{phi}}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2{Pi}}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{4}(z+z^{-1})^{2}}\bruch{dz}{iz}}
[/mm]
Ist das soweit erst einmal richtig?
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Hallo photonendusche,
> dann sieht es doch folgendermaßen aus :
> [mm]\integral_{0}^{2{Pi}}{ \bruch{1}{1+cos^{2}{phi}}d{phi}}=[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{2{Pi}}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}(e^{iphi}+e^{-iphi})^{2}}d{phi}}=[/mm]
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> [mm]\integral_{0}^{2{Pi}}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{4}(z+z^{-1})^{2}}\bruch{dz}{iz}}[/mm]
> Ist das soweit erst einmal richtig?
Das letzte Integral muss doch so lauten:
[mm]\integral_{\blue{\vmat{z}=1}}^{}{\bruch{1}{1+\bruch{1}{4}(z+z^{-1})^{2}}\bruch{dz}{iz}}[/mm]
Gruss
MathePower
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