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| Aufgabe | [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{cos z}{z^4} dz}
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] (t) = [mm] 2*e^{it}, t\in [0,2\pi] [/mm] |
Bezeichne ich [mm] f(z)=\bruch{cos z}{z^4}, [/mm] so besitzt die Funktion eine Singularität in z=0, die von dem Weg [mm] \gamma [/mm] einmal umlaufen wird.
Nun habe ich anhand der Laurentreihe bestimmt, dass [mm] c_{-1}=0 [/mm] ist, da ja die Potenzreihe des Cosinus über gerade Potenzen von z bestimmt ist, und sich diese Eigenschaft durch Division von [mm] z^4 [/mm] nicht ändert. [mm] \bruch{1}{z} [/mm] kommt daher nicht in der Laurentreihe vor, sodass f eine Stammfunktion in der gesamten Kreisscheibe vom Ursprung bis [mm] \gamma [/mm] besitzt.
Folglich ist das obere Integral gleich Null. Ist das so richtig?
Grüße und danke schon mal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 So 24.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\integral_{\gamma}{\bruch{cos z}{z^4} dz}[/mm]
>
> [mm]\gamma[/mm] (t) = [mm]2*e^{it}, t\in [0,2\pi][/mm]
> Bezeichne ich
> [mm]f(z)=\bruch{cos z}{z^4},[/mm] so besitzt die Funktion eine
> Singularität in z=0, die von dem Weg [mm]\gamma[/mm] einmal umlaufen
> wird.
>
> Nun habe ich anhand der Laurentreihe bestimmt, dass
> [mm]c_{-1}=0[/mm] ist, da ja die Potenzreihe des Cosinus über gerade
> Potenzen von z bestimmt ist, und sich diese Eigenschaft
> durch Division von [mm]z^4[/mm] nicht ändert. [mm]\bruch{1}{z}[/mm] kommt
> daher nicht in der Laurentreihe vor, sodass f eine
> Stammfunktion in der gesamten Kreisscheibe vom Ursprung bis
> [mm]\gamma[/mm] besitzt.
>
> Folglich ist das obere Integral gleich Null. Ist das so
> richtig?
Ja.
Anstelle mit Hilfe der Stammfunktion haettest du aber auch direkt mit dem Residuensatz argumentieren koennen: das Residuum in $z = 0$ ist $0$, womit die Summe ueber alle Residuen auch 0 ist, und damit das Integral 0 ist (da es ja sonst keine weiteren Singularitaeten gibt).
LG Felix
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