Rentenrechnung - abzinsen < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Do 12.07.2012 | | Autor: | Maylin |
| Aufgabe | Huber verkauft sein Auto. Call und Frings geben jeweils ein Zahlungsangebot an (Anzahlungen werden stets "heute" geleistet, die Zinsperiode (= 1 Quartal mit 6 % pro Quartal) beginne ebenfalls "heute")
Angebot Call: Anzahlung 2000€, danach 12 Raten zu je 18.000€/Quartal, erste Rate zahlbar nach 5 Quartalen
Angebot Frings: Anzahlung 1500€, danach beginnend nach einem Quartal - zunächst vier Raten zu 10.000€/Quartal und anschließend - d.h. beginnend 1 Quartal nach der letzten Rate - sechs Raten zu je 22.000€/Quartal.
Für welches Angebot sollte sich Huber entscheiden? |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit Auf-und abzinsen in der Rentenrechnung.
Ich weiß, dass ich einen gemeinsamen Stichtag auswählen muss, um beide Angebote vergleichen zu können. Dafür haben ich den Tag "Heute" genommen, also wenn die Anzahlung erfolgt.
Ich habe die Rentenformeln so aufgestellt:
1,06^12 -1
Call: 2000 + 18.000 1,06-1 x 1,06^-17
[mm] 1,06^4 [/mm] -1 [mm] 1,06^6 [/mm] -1
Frings: 1500 + 10.000 1,06-1 x 1,06^-5 + 22.000 1,06-1 x 1,06^-12
So, leider habe ich aber falsch abgezinst.
Bei Call komm anstatt von 17, 16 Quartale hin
und bei Frings anstatt von 4, 5 Quartale und anstatt von 12, 10 Quartale.
Ich verstehe aber einfach nicht, wie man auf die Zahlen kommt. Kann es evtl. sein, dass ich die Formulierungen falsch verstanden habe, wann die Raten beginnen.
Bei Call ist die erste Rate nach 5 Quartalen zahlbar, d.h. die Anzahlung von 2000€ findet statt, dann passiert 5 Quartale nichts und im 6 Quartal fängt die Ratenzahlung an. Hab ich das so richtig verstanden?
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Do 12.07.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo Maylin, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Huber verkauft sein Auto. Call und Frings geben jeweils ein
> Zahlungsangebot an (Anzahlungen werden stets "heute"
> geleistet, die Zinsperiode (= 1 Quartal mit 6 % pro
> Quartal) beginne ebenfalls "heute")
>
> Angebot Call: Anzahlung 2000€, danach 12 Raten zu je
> 18.000€/Quartal, erste Rate zahlbar nach 5 Quartalen
>
> Angebot Frings: Anzahlung 1500€, danach beginnend nach
> einem Quartal - zunächst vier Raten zu 10.000€/Quartal
> und anschließend - d.h. beginnend 1 Quartal nach der
> letzten Rate - sechs Raten zu je 22.000€/Quartal.
>
> Für welches Angebot sollte sich Huber entscheiden?
> Hallo!
> Ich habe ein Problem mit Auf-und abzinsen in der
> Rentenrechnung.
> Ich weiß, dass ich einen gemeinsamen Stichtag auswählen
> muss, um beide Angebote vergleichen zu können. Dafür
> haben ich den Tag "Heute" genommen, also wenn die Anzahlung
> erfolgt.
Das stimmt!
> Ich habe die Rentenformeln so aufgestellt:
>
> 1,06^12 -1
> Call: 2000 + 18.000 1,06-1 x 1,06^-17
Wenn du den Formeleditor verwendest, ist es einfacher für dich solche Formeln einzugeben.
> [mm]1,06^4[/mm] -1 [mm]1,06^6[/mm] -1
> Frings: 1500 + 10.000 1,06-1 x 1,06^-5 + 22.000 1,06-1 x
> 1,06^-12
>
>
> So, leider habe ich aber falsch abgezinst.
> Bei Call komm anstatt von 17, 16 Quartale hin
> und bei Frings anstatt von 4, 5 Quartale und anstatt von
> 12, 10 Quartale.
Hier verstehe ich nicht ganz, was du meinst... Vielleicht erschließt sich dir das im Folgenden...
> Ich verstehe aber einfach nicht, wie man auf die Zahlen
> kommt. Kann es evtl. sein, dass ich die Formulierungen
> falsch verstanden habe, wann die Raten beginnen.
> Bei Call ist die erste Rate nach 5 Quartalen zahlbar, d.h.
> die Anzahlung von 2000€ findet statt, dann passiert 5
> Quartale nichts und im 6 Quartal fängt die Ratenzahlung
> an. Hab ich das so richtig verstanden?
Ja, so hast du das korrekt verstanden. - edit: Zumindest verstehe ich das auch so.
>
> Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du möchtest die Zahlungen auf den Tag der Anzahlung (=heute) abzinsen. Das ist nichts anderes als der Barwert (Kapitalwert).
Machen wir das mal etwas ausführlicher für das Angebot von Call:
Es ergibt sich folgende Zahlungsreihe
[Dateianhang nicht öffentlich]
Call zahlt heute 2000 € an.
Jetzt passiert 5 Quartale nichts. Es gibt 0 €.
Von Quartal 6 an gibt es 12 Quartale lang (also für Quartal 6-17, weil Quartal 6 selbst mitzählt!) 18000 € pro Quartal.
Zinsen wir diese Zahlungen auf heute ab:
[mm]\summe_{n=6}^{17} 18000*\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^n=\summe_{n=0}^{11} 18000*\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{n+6}=18000*\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{6}*\summe_{n=0}^{11} \left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{n}=18000*\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{6}*\bruch{\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{11+1}-1}{\bruch{1}{1,06}-1}[/mm]
(geometrische Reihe)
Jetzt addieren wir noch die Anzahlung:
[mm]2000+18000*\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{6}*\bruch{\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{11+1}-1}{\bruch{1}{1,06}-1}[/mm]
Dies ist dann der Barwert für die Einzahlungen von Call.
Jetzt versuche du dich noch einmal an dem Angebot von Frings.
Gruß
barsch
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Fr 13.07.2012 | | Autor: | Maylin |
Hallo barsch!
Danke für deine Antwort.
Mein Problem ist jetzt aber, dass deine Lösung nicht mit meiner übereinstimmt.
Laut meinem Lösungblatt kommt für das Angebot von Call das raus:
2000 + 18000 * [mm] \bruch{1,06^{12} -1}{1,06-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1,06^{16}} [/mm]
d.h. hier wurde mit "16" abgezinst und nicht mit "6". Warum weiß ich allerdings nicht.
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> Hallo barsch!
> Danke für deine Antwort.
> Mein Problem ist jetzt aber, dass deine Lösung nicht mit
> meiner übereinstimmt.
>
> Laut meinem Lösungblatt kommt für das Angebot von Call
> das raus:
>
> 2000 + 18000 * [mm]\bruch{1,06^{12} -1}{1,06-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1,06^{16}}[/mm]
>
> d.h. hier wurde mit "16" abgezinst und nicht mit "6". Warum
> weiß ich allerdings nicht.
Hallo,
ich find's bei solchen Aufgaben oft nützlich, sich einen Zahlenstrahl anzuschauen.
Du willst ja den Barwert am Beginn des 1. Quartals, also für "heute", Zeitpunkt 0, wissen.
Das Problem ist die Ratenzahlung. Sie beginnt am Anfang des 6.Quartals.
Nach 12 Quartalen, also am Ende des 17.Quartals, beträgt der Endwert dieser Zahlungsreihe
[mm] EW_{17}=18000\cdot\frac{1.06(1.06^{12}-1)}{1.06-1}. [/mm]
(Rentenendwert vorschüssig)
Und nun muß man 17 Perioden abzinsen auf den Zeitpunkt "heute", also den Beginn des 1. Quartals. Das liefert den Barwert
[mm] BW_0=18000\cdot\frac{1.06(1.06^{12}-1)}{1.06-1}*1.06^{-17}
[/mm]
[mm] =18000\cdot\frac{(1.06^{12}-1)}{1.06-1}*1.06^{-16}.
[/mm]
Dein Problem scheint ein Kuddelmuddel mit "vor- und nachschüssig" zu sein. Schauen wir uns genauer an, was Du eingangs für die Ratenzahlung gerechnet hattest:
[mm] \red{18000\cdot\frac{1.06^{12}-1}{1.06-1}}*1.06^{-17}
[/mm]
Im roten Teil berechnest Du den Endwert nach 12 Quartalen für eine nachschüssige Zahlungsreihe, (1.Zahlung am Ende des 5.Quartals) also den Endwert am Ende des 16.Quartals.
Willst Du nun zum Zeitpunkt 0, also zum Beginn des 1.Quartals zurück, so mußt Du nur 16 Perioden zurückgehen, also abzinsen. Dann wär's auch richtig.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Fr 13.07.2012 | | Autor: | Maylin |
Hallo, danke für deine Antwort!
Das mit der vor- und nachschüssigen Rente ist mir auch noch nicht so klar. Ich weiß zwar, was damit gemeint ist, aber beim Auf-und Abzinsen weiß ich noch nicht wirklich, wie ich das anwenden soll.
Leider habe ich immer noch nicht ganz verstanden, wie man auf 16 kommt.
Ich versuche nochmal zu erklären, wie ich mir das errechnet habe.
Also, Stichtag ist Tag der Anzahlung.
Danach wird 5 Quartale nichts gezahlt. Anschließend folgen die 12 Ratenzahlungen.
Ich habe also gerechnet: 12 Raten + 5 Quartale = 17
Ich habe mit 17 Quartalen abgezinst, um auf den Tag der Anzahlung zu kommen.
Wie kommt ihr auf 16? Hat das was damit zu tun, dass ich die vor-und nachschüssige Berechnung nicht berücksichtigt habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Fr 13.07.2012 | | Autor: | Josef |
Hallo Marylin
>
> Das mit der vor- und nachschüssigen Rente ist mir auch
> noch nicht so klar. Ich weiß zwar, was damit gemeint ist,
> aber beim Auf-und Abzinsen weiß ich noch nicht wirklich,
> wie ich das anwenden soll.
>
> Leider habe ich immer noch nicht ganz verstanden, wie man
> auf 16 kommt.
>
> Ich versuche nochmal zu erklären, wie ich mir das
> errechnet habe.
> Also, Stichtag ist Tag der Anzahlung.
> Danach wird 5 Quartale nichts gezahlt. Anschließend
> folgen die 12 Ratenzahlungen.
> Ich habe also gerechnet: 12 Raten + 5 Quartale = 17
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
bis hierhin hast du die nachschüssige Rentenbarwertformel angewandt.
Da die Einzahlungen "heute" erfolgten und dies der Stichtag [mm] (t_0) [/mm] sein soll, musst du die Vorschüssige Rentenbarwertformel anwenden.
Die Formel kennst du sicher mit:
[mm] R_0' [/mm] = [mm] R*\bruch{q^n -1}{q-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{q^{n-1}}
[/mm]
Du musst also nur von 17 noch 1 abziehen.
Viele Grüße
Josef
> Ich habe mit 17 Quartalen abgezinst, um auf den Tag der
> Anzahlung zu kommen.
> Wie kommt ihr auf 16? Hat das was damit zu tun, dass ich
> die vor-und nachschüssige Berechnung nicht berücksichtigt
> habe?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Fr 13.07.2012 | | Autor: | Maylin |
Okay, vielen lieben Dank. Jetzt habe ich es verstanden. Ich muss also immer darauf achten, ob es sich um eine vor- oder nachschüssige Rechnung handelt.
Vielen Dank an alle 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Fr 13.07.2012 | | Autor: | Josef |
Hallo Maylin,
> Okay, vielen lieben Dank.
Gern geschehen!
> Jetzt habe ich es verstanden.
Freut mich!
> Ich
> muss also immer darauf achten, ob es sich um eine vor- oder
> nachschüssige Rechnung handelt.
>
und zusätzlich prüfen, ob Endwert oder Barwert zu ermitteln ist.
Viele Grüße
Josef
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> Hallo Maylin,
>
> > Huber verkauft sein Auto. Call und Frings geben jeweils ein
> > Zahlungsangebot an (Anzahlungen werden stets "heute"
> > geleistet, die Zinsperiode (= 1 Quartal mit 6 % pro
> > Quartal) beginne ebenfalls "heute")
> >
> > Angebot Call: Anzahlung 2000€, danach 12 Raten zu je
> > 18.000€/Quartal, erste Rate zahlbar nach 5 Quartalen
> Du möchtest die Zahlungen auf den Tag der Anzahlung
> (=heute) abzinsen. Das ist nichts anderes als der Barwert
> (Kapitalwert).
>
> Machen wir das mal etwas ausführlicher für das Angebot
> von Call:
>
> Es ergibt sich folgende Zahlungsreihe
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Call zahlt heute 2000 € an.
>
> Jetzt passiert 5 Quartale nichts. Es gibt 0 €.
>
> Von Quartal 6 an gibt es 12 Quartale lang (also für
> Quartal 6-17, weil Quartal 6 selbst mitzählt!) 18000 €
> pro Quartal.
>
> Zinsen wir diese Zahlungen auf heute ab:
>
> [mm]\summe_{n=6}^{17} 18000*\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^n=\summe_{n=0}^{11} 18000*\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{n+6}=18000*\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{6}*\summe_{n=0}^{11} \left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{n}=18000*\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{6}*\bruch{\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{11+1}-1}{\bruch{1}{1,06}-1}[/mm]
>
Hallo,
hier unterläuft Dir mMn ein Fehler:
Call zahlt seine erste Rate am Anfang des 6.Quartals (=Ende des 5. Quartals.)
Diese erste Rate ist also ledig für 5 Quartale auf den Zeitpunkt 0 (=Beginn 1. Quartal) abzuzinsen.
Die Grenzen der Summe sind also 5 und 16, und damit bekommt man dann auch das Ergebnis der Maylin vorliegenden Lösung.
LG Angela
>
> (geometrische Reihe)
>
> Jetzt addieren wir noch die Anzahlung:
>
> [mm]2000+18000*\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{6}*\bruch{\left ( \bruch{1}{1,06} \right )^{11+1}-1}{\bruch{1}{1,06}-1}[/mm]
>
> Dies ist dann der Barwert für die Einzahlungen von Call.
>
> Jetzt versuche du dich noch einmal an dem Angebot von
> Frings.
>
> Gruß
> barsch
>
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 16:48 Fr 13.07.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo angela,
> Hallo,
>
> hier unterläuft Dir mMn ein Fehler:
> Call zahlt seine erste Rate am Anfang des 6.Quartals (=Ende
> des 5. Quartals.)
da habe ich während der Beantwortung auch lange überlegt. Ich hatte auch ein bisschen Zweifel - siehe edit v2. Ich habe jetzt gerechnet für Anfang 6. Quartal. Und dann vorschüssige Zahlung vorausgesetzt.
Da wäre der Ansatz einer nachschüssigen Zahlung korrekt gewesen.
> Diese erste Rate ist also ledig für 5 Quartale auf den
> Zeitpunkt 0 (=Beginn 1. Quartal) abzuzinsen.
>
> Die Grenzen der Summe sind also 5 und 16, und damit bekommt
> man dann auch das Ergebnis der Maylin vorliegenden
> Lösung.
Danke fürs Korrigieren und Fehler ausbügeln. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> LG Angela
Viele Grüße
barsch
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