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| Aufgabe | | Vom 1.1.1979 bis zum 31.12.1994 zahlen Sie am Anfang eines jeden Monats 200 DM auf ein Sparkonto ein. Die Verzinsung erfolgt jährlich und beträgt 7,5%. Ab dem 1.1.99 heben Sie zu Beginn eines jeden Monats 1800 DM ab. Geben Sie das Jahr und den Monat an, an dem Sie zum letzten Mal die vollen 1800 DM abheben können |
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Hallo zusammen!
Ich habe zunächst den Rentenendwert (vorschüssig, monatlich) berechnet mit folgender Formel:
[mm] K_{n}= [/mm] R' [mm] \*(12+0,065\*p)\* \bruch{ q^{n}-1}{q-1}
[/mm]
K ist dann bei mir 72.620,4 DM
Nun habe ich die Formel für die Verminderung eines Kapitals durch Raten (vorschüssig) nach n umgestellt und komme auf folgende Formel
[mm] q^{n}= \bruch{ K_{n}+ \bruch{R*q}{q-1}}{ K_{0}- \bruch{R*q}{q-1}}
[/mm]
Nun ist mir nicht ganz klar, was bei mir Ko und Kn ist, bei mir ist n immer eine negative Zahl, wenn ich dann logarithmiere
Ergebnis ist laut Skript n=5,406 Jahre.
Kann mir einer weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 So 30.04.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo christina23,
> Vom 1.1.1979 bis zum 31.12.1994 zahlen Sie am Anfang eines
> jeden Monats 200 DM auf ein Sparkonto ein. Die Verzinsung
> erfolgt jährlich und beträgt 7,5%. Ab dem 1.1.99 heben Sie
> zu Beginn eines jeden Monats 1800 DM ab. Geben Sie das Jahr
> und den Monat an, an dem Sie zum letzten Mal die vollen
> 1800 DM abheben können
> Ich habe zunächst den Rentenendwert (vorschüssig,
> monatlich) berechnet mit folgender Formel:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]K_{n}=[/mm] R' [mm]\*(12+0,065\*p)\* \bruch{ q^{n}-1}{q-1}[/mm]
>
> K ist dann bei mir 72.620,4 DM
Die letzte Einzahlung war am 1.12.1994, also 16 Jahre lang.
Dieses Endkapital bis dahin muss noch für 4 Jahre, also ab 1.1.1995 bis 31.12.1998, mit 7,5 % verzinst werden.
Der Ansatz und damit das Endkapital bis zur ersten Abhebung muss dann lauten:
[mm]200[12+\bruch{0,075}{2}*13]*\bruch{1,075^{16}-1}{0,075}*1,075^4 = 96.9825,31[/mm]
> Nun habe ich die Formel für die Verminderung eines Kapitals
> durch Raten (vorschüssig) nach n umgestellt und komme auf
> folgende Formel
>
> [mm]q^{n}= \bruch{ K_{n}+ \bruch{R*q}{q-1}}{ K_{0}- \bruch{R*q}{q-1}}[/mm]
>
> Nun ist mir nicht ganz klar, was bei mir Ko und Kn ist, bei
> mir ist n immer eine negative Zahl, wenn ich dann
> logarithmiere
>
> Ergebnis ist laut Skript n=5,406 Jahre.
>
Für diese Berechnung nehme ich immer die Grundformel für Kapitalabbau, die sogenannte Sparkassenformel. Mit der bin ich vertrauter.
[mm] 96.982,31*1,075^n [/mm] -1.800[12+[mm]\bruch{0,075}{2}*13]*\bruch{1,075^n -1}{0,075} = 0[/mm]
nach n auflösen.
n = 5,40604...
Viele Grüße
Josef
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| Aufgabe | > Vom 1.1.1979 bis zum 31.12.1994 zahlen Sie am Anfang eines
> jeden Monats 200 DM auf ein Sparkonto ein. Die Verzinsung
> erfolgt jährlich und beträgt 7,5%. Ab dem 1.1.99 heben Sie
> zu Beginn eines jeden Monats 1800 DM ab. Geben Sie das Jahr
> und den Monat an, an dem Sie zum letzten Mal die vollen
> 1800 DM abheben können |
Hey,
ich habe das jetzt alles noch mal nachgerechnet, aber irgendwie ist mir das noch nicht so klar. wie du z.B. auf die Formel $ [mm] 200[12+\bruch{0,075}{2}\cdot{}13]\cdot{}\bruch{1,075^{16}-1}{0,075}\cdot{}1,075^4 [/mm] = 96.9825,31 $ kommst, da diese mir gar nicht geläufig ist.
Auch die Sparkassenformel kenne ich nur in "einfacherer" Version.
Könntest du da vielleicht noch was zu sagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo christina23,
die Zinsen werden in der Regel einmal pro Jahr nachschüssig berechnet.
Bei unterjährigen, jährlichen Rentenzahlungen ermittelt man zuerst eine jahreskonforme Ersatzrente [mm] (r_e). [/mm] Diese Ersatrente wird nun anstelle der Jahresrente (r) in die Formel für die nachschüsssige jährliche Rentenrechnung eingesetzt.
Die konforme Ersatzrente bei unterjährlich-vorschüssiger Zahlungsweise lautet:
[mm] r_e [/mm] = r*[m+[mm]\bruch{1}{2}*(m+1)][/mm]
Das Ergebnis für [mm] r_e [/mm] kannst du jetzt in die nachschüssig jährliche Rentenformel einsetzen.
Du erhälst dann als Formel:
[mm] R_n [/mm] = [mm] r_e*[/mm] [mm]\bruch{q^n -1}{q-1}[/mm]
Bei meinem Ansatz habe ich die monatliche und die jährliche Formel zusammengesetzt. Du kannst natürlich selbstverständlich auch die einzelnen Rechenschritte einzeln ausrechnen.
Bei der Sparkassenformel kennst du wahrscheinlich nur die jährliche Formel. In der Beispielsaufgabe kommt jedoch hinzu, dass auch die monatliche Rentenzahlung gegeben ist. Auch hier kannst du zuerst die konforme Ersatzrente [mm] r_e [/mm] ausrechnen und dann in die jährliche Sparkassenformel einsetzen.
Beim Auflösen der Sparkassenformel gehst du am besten wie folgt vor:
[mm] 96.982,31*1,075^n [/mm] -1.800[12+[mm]\bruch{0,075}{2}*13]*\bruch{1,075^n -1}{0,075} = 0[/mm]
komforme Ersatzrente ermitteln:
[mm] 96.982,31*1,075^n -22.477,5*\bruch{1,075^n -1}{0,075} [/mm] = 0
Jetzt hast du die dir bekannte Sparkassenformel.
Weitere Umformungen führen zur Auflösung nach n:
[mm] 96.982,31*1,075^n [/mm] -22.477,5*[mm]\bruch{(1,075^n -1)}{0,075} =0[/mm]
[mm] 96.982,31*1,075^n -299.700*(1,075^n [/mm] -1) = 0
[mm] 96.982,31*1,075^n -299.700*1,075^n [/mm] + 299.700 = 0
[mm] 96982,31*1,075^n -299.700*1,075^n [/mm] = -299.700
[mm] 1,075^n [/mm] *(96,982,31 -299.700) = -299.700
[mm] 1,075^n [/mm] *(-202.717,69) = -299.700
[mm] 1,075^n [/mm] = 1,47841069
n*0,0314084 = 0,16979795
n = 5,40604
Viele Grüße
Josef
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