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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:10 Di 17.11.2009 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | n Leute verlassen das Theater. Jeder bekommt rein zufällig seinen Regenschrim und unabhängig davon seinen Hut zurück.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer seine eigenen Gegenstände zurückbekommt.
Weiterhin ist der Grenzwert für wachsende n gesucht. |
Hi! Ich verzweifle an dieser Aufgabe. Es geht meiner Meinung nach in die Richtung der Rencontre-Zahl (bekannt aus dem Problem der vertauschten Briefe).
Bisher bin ich soweit:
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{(x,y) | x,y \in \Omega_{1}\}
[/mm]
wobei [mm] \Omega_{1} [/mm] := [mm] \{(x_{1}...x_{n})|1\le x_{i} \le n \mbox{ und } x_{i} \not= x_{j} \mbox{ für } i \not= j\}
[/mm]
Nun ist [mm] |\Omega [/mm] | = [mm] (n!)^2
[/mm]
[mm] A_{i} [/mm] ist das Ereignis, bei der der i. Mensch seine beiden Sachen bekommt.
[mm] A_{j_{1}}\cap [/mm] ... [mm] \cap A_{j_{r}} [/mm] ist das Ereignis, dass die Menschen [mm] j_{1}...j_{r} [/mm] alle ihre eigenen Sachen bekommen. (Diese Ereignisse sind natürlich austauschbar, so dass man einfach mit [mm] A_{1}...A_{r} [/mm] rechnen kann.
[mm] |A_{i}| [/mm] ist meines Erachtens = [mm] ((n-1)!)^2
[/mm]
und somit [mm] |A_{j_{1}}\cap [/mm] ... [mm] \cap A_{j_{r}}|=((n-r)!)^2
[/mm]
Nun packt man das alles in die Siebformel:
[mm] P(A_{1}\cup\ldots\cup A_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{r=1}^{n} (-1)^{r+1} \cdot \vektor{n \\ r} \cdot (\bruch{(n-r)!}{n!})^2
[/mm]
Genau hier fange ich an, Probleme zu bekommen.
Ist mein Ansatz richtig?
Kann ich diese Summe noch vereinfachen?
Wie bekomme ich diesen Grenzwert raus? Muss ja auch irgendwas mit e drinstecken 
Fragen über Fragen...
Dankeschön!
Harris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 19.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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