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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mi 13.07.2005 | | Autor: | hanna |
Hallo!
Ich lerne gerade für eine Topologie-Klausur.
Und bei einer Aufgabe scheine ich wohl wirklich ein Brett vor dem Kopf zu haben.
Sie scheint einfach zu sein, aber ich bekomme sie einfach nicht hin und habe schon Stunden mit dem Versuch verbracht, sie zu lösen (vllt deshlab auch das Brett?!)
Hier die Aufgabe:
Sei [mm] \underline{X} [/mm] ein nicht-leerer topologischer Raum, [mm]U\subset X, V\subset X, A\subset U\cap V.[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm]A[/mm] offen(bzw. abgeschlossen) im topologischen Unterraum [mm] \underline{(U\cup V)} [/mm] ist, wenn [mm]A[/mm] offen (bzw. abgeschlossen) in [mm] \underline{U} [/mm] und [mm] \underline{V} [/mm] ist.
Es wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, es macht mich schon fast wahnsinnig, nicht die Lösung hin zu bekommen... :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hanna!
Ich hoffe ich habe deine Bezeichnungen richtig interpretiert (diesen Unterstrich kenne ich nämlich nicht, aber ich nehme mal an, dass es die Menge als topologischer Raum, versehen mit der Spurtopologie, ist).
Ist $A$ offen in [mm] $U\cup [/mm] V$, dann gibt es ein $O [mm] \subset [/mm] X$, $O$ offen, mit
$A= (U [mm] \cup [/mm] V) [mm] \cap [/mm] O$.
Wegen $A [mm] \subset [/mm] U [mm] \cap [/mm] V$ folgt aber daraus:
$A= U [mm] \cap [/mm] O$ und $A=V [mm] \cap [/mm] O$,
also die Behauptung.
(Denn $A [mm] \supset U\cap [/mm] O$ und [mm] $A\supset [/mm] V [mm] \cap [/mm] O$ sind wegen $A= (U [mm] \cup [/mm] V) [mm] \cap [/mm] O$ trivial; und ist $x [mm] \in [/mm] A [mm] \subset [/mm] O$, so gilt auch wegen $A [mm] \subset [/mm] U [mm] \cap [/mm] V [mm] \subset [/mm] U$:
$x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] O$ (und analog natürlich: $x [mm] \in [/mm] V [mm] \cap [/mm] O$).)
Es sei nun umkgeehrt $A$ offen in $U$ und offen in $V$. Dann gibt es offenen Mengen [mm] $O_1$, $O_2$ [/mm] in $X$ mit
$A= [mm] O_1 \cap [/mm] U$ und [mm] $A=O_2 \cap [/mm] V$.
Man überlegt sich leicht, dass dann
$A= [mm] (O_1 \cap O_2) \cap [/mm] (U [mm] \cup [/mm] V)$,
woraus die Behauptung folgt, da [mm] $O_1 \cap O_2$ [/mm] offen in $X$ ist.
Verbessere mich ruhig, wenn ich es falsch verstanden oder Fehler gemacht haben sollte. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Do 14.07.2005 | | Autor: | hanna |
Hallo Stefan!
Vielen, vielen Dank.
Oh man, die Aufgabe war wirklich nicht schwer.
Ich habe einfach nur nicht daran gedacht, dass ich z.b. falls [mm]A=O_{1}\cap U[/mm] man auch schreiben kann [mm]A=O_{1}\cap U\cap O_{2}[/mm], falls [mm]O_{2}\supset A[/mm]...
Ich brauchte zwar nur die eine Richtung des Beweises, aber danke, dass du auch die andere dazu geschrieben hast.
Schadet auf jeden Fall bei mir nicht :)
Viee Grüße,
hanna
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