Relative Konsistenzbeweise < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 13:29 Mi 02.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
in der Mengenlehre glaubt man ja vielfach zu beweisen, dass wenn eine Theorie konsistent ist (z.B. ZFC), dann auch eine andere (z.B. ZFC+Kontinuumshypothese).
In Wahrheit beweist man jedoch
[mm] $ZFC\quad\vdash\quad [Con(ZFC)\rightarrow [/mm] Con(ZFC+Kontinuumshypothese)]$.
Dabei ist z.B. $Con(ZFC)$ die Formalisierung der Aussage:
Es gibt kein Element [mm] $n\in\omega$, [/mm] dass einen formalen Beweis des Widerspruches [mm] $\exists x\colon x\not=x$ [/mm] aus ZFC codiert.
(Codieren in dem Sinne, dass im Falle $n$ eine Standard-Zahl tatsächlich ein entsprechender Beweis existieren würde.)
Nun könnte es doch sein, dass zwar ZFC widerspruchsfrei ist, aber $Con(ZFC)$ in unserem Mengenuniversum nicht gilt, weil es dort eine Nichtstandardzahl in [mm] $\omega$ [/mm] gibt, die (vermeintlich) einen formalen Beweis eines Widerspruches codiert.
Das heißt es könnte durchaus sein, dass ZFC tatsächlich konsistent und ZFC+Kontinuumshypothese tatsächlich inkonsistent ist?!
Wenn ich damit richtig liegen sollte: Wie sind also die relativen Konsistenzbeweise einzuordnen? Als "empirische Hinweise" auf wirkliche relative Konsistenz, an die man "glauben" oder nicht glauben kann?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:39 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
vielleicht ist der Glaube an die Existenz (was auch immer das genau heißt) eines ZFC-Universums ohne Nichtstandard-Zahlen Grund für den "Glauben" an die Bedeutung relativer Konsistenzaussagen?
Aussagen wie
"Wenn ZFC konsistent ist, ist auch ZFC+Kontinuumshypothese konsistent."
sind ja als Aussagen über natürliche Zahlen formulierbar, die gar keinen Mengenbegriff benötigen. Es macht Sinn, ihnen einen definitiven Wahrheitswert zuzubilligen. Um diesen Wahrheitswert zu ermitteln, greifen wir auf einen Glauben an die "Existenz" von etwas zurück (ohne genau zu wissen, was Existenz davon eigentlich bedeutet), was wir viel weniger überblicken als die natürlichen Zahlen.
Ziemlich abgefahren, oder? Da sage noch mal jemand, die gesamte Mathematik sei präzise und objektiv...
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
> Hallo zusammen,
>
>
> in der Mengenlehre glaubt man ja vielfach zu beweisen, dass
> wenn eine Theorie konsistent ist (z.B. ZFC), dann auch eine
> andere (z.B. ZFC+Kontinuumshypothese).
>
> In Wahrheit beweist man jedoch
>
> [mm]ZFC\quad\vdash\quad [Con(ZFC)\rightarrow Con(ZFC+Kontinuumshypothese)][/mm].
>
> Dabei ist z.B. [mm]Con(ZFC)[/mm] die Formalisierung der Aussage:
>
> Es gibt kein Element [mm]n\in\omega[/mm], dass einen formalen Beweis
> des Widerspruches [mm]\exists x\colon x\not=x[/mm] aus ZFC codiert.
>
> (Codieren in dem Sinne, dass im Falle [mm]n[/mm] eine Standard-Zahl
> tatsächlich ein entsprechender Beweis existieren würde.)
>
> Nun könnte es doch sein, dass zwar ZFC widerspruchsfrei
> ist, aber [mm]Con(ZFC)[/mm] in unserem Mengenuniversum nicht gilt,
> weil es dort eine Nichtstandardzahl in [mm]\omega[/mm] gibt, die
> (vermeintlich) einen formalen Beweis eines Widerspruches
> codiert.
Angenommen ZFC ist widerspruchsfrei und es existiert eine Nichtstandardzahl [mm] $\mathbf [/mm] c [mm] \in \omega$. [/mm] (Dann würde ZFC aber nicht mehr das mathematisches Universum präzisieren).
Ich vermute, dass Du dann folgende Konstruktion im Auge hast:
$ZFC [mm] \vdash \varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})$ [/mm] (*)
Dabei repräsentiert [mm] $\varphi(v_0,v_1)$ [/mm] die "Ableitbarkeitsrelation" [mm] $\mathbf [/mm] A [mm] \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$. [/mm] Nach Definition der Repräsentierbarkeit
sagt (*) nichts über [mm] $\mathbf [/mm] A$ aus, da es kein Element in [mm] $\mathbb [/mm] N$ gibt, das die Symbolisierung [mm] $\mathbf [/mm] c$ hat.
$Con(ZFC)$ besagt aber, dass (*) nicht möglich ist.
Falls meine Interpretation Deiner Aussagen falsch ist, dann erkläre doch bitte präzise, was 'eine Nichtstandardzahl codiert (vermeintlich) einen formalen Beweis eines Widerspruchs' bedeuten soll.
> Das heißt es könnte durchaus sein, dass ZFC tatsächlich
> konsistent und ZFC+Kontinuumshypothese tatsächlich
> inkonsistent ist?!
Nein.
>
> Wenn ich damit richtig liegen sollte: Wie sind also die
> relativen Konsistenzbeweise einzuordnen? Als "empirische
> Hinweise" auf wirkliche relative Konsistenz, an die man
> "glauben" oder nicht glauben kann?
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
LG
mathfunnel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Sa 26.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
Vielen Dank, dass du dich mit der Problematik auseinandersetzt!
Ich hole mal etwas aus und gehe am Ende auf deine Antwort ein.
Ich gehe im Folgenden von der Annahme aus, dass wir ein ZFC erfüllendes Universum [mm]U[/mm] haben.
(Diese Annahme finde ich zwar selbst im Falle der Konsistenz von ZFC sehr zweifelhaft, aber das ist ein anderes Thema...)
Wir wissen nicht, ob [mm]\omega_U[/mm] Nichtstandardzahlen enthält, aber wir können es jedenfalls (ohne Zusatzannahmen) nicht ausschließen.
Da wir nicht ausschließen können, dass [mm]\omega_U[/mm] Nichtstandardzahlen enthält, müssen wir sauber zwischen [mm]\omega_U[/mm] und den gewöhnlichen natürlichen Zahlen [mm]\IN[/mm], die wir aus der Grundschule kennen, unterscheiden.
Das hat vielerlei Konsequenzen, von denen ich nun einige Beispiele gebe, die sukzessiv aufeinander aufbauen:
1. Wir müssen auch zwischen dem "natürlichen/tatsächlichen" Endlichkeitsbegriff und dem [mm]U[/mm]-Endlichkeitsbegriff unterscheiden: Natürlich endliche Mengen sind auch [mm]U[/mm]-endlich, aber die Umkehrung muss nicht gelten.
2. Wir müssen zwischen einer "natürlichen/tatsächlichen" Formel der Sprache der Mengenlehre und einer [mm]U[/mm]-Formel der Sprache der Mengenlehre unterscheiden: Jede natürliche Formel entspricht auch einer [mm]U[/mm]-Formel, aber nicht unbedingt umgekehrt. Falls [mm]\omega_U[/mm] eine Nichtstandard-Zahl [mm]c[/mm] enthält, gibt es nämlich eine [mm]U[/mm]-Formel der Länge [mm]\ge c[/mm]. Diese Länge ist zwar [mm]U[/mm]-endlich, aber nicht tatsächlich endlich.
3. Wir müssen zwischen dem Begriff einer "natürlichen/tatsächlichen" Ableitung einer Formel [mm]\rho[/mm] aus ZFC und einer [mm]U[/mm]-Ableitung von [mm]\rho[/mm] aus ZFC unterscheiden. Jede natürliche Ableitung von [mm]\rho[/mm] aus ZFC hat zwar ihre Entsprechung in [mm]U[/mm], aber nicht notwendig umgekehrt. Eine [mm]U[/mm]-Ableitung muss weder natürlich endliche Länge haben, noch muss sie ausschließlich aus natürlichen Formeln bestehen.
4. Somit müssen wir auch zwischen "natürlicher/tatsächlicher" Konsistenz und [mm]U[/mm]-Konsistenz von Systemen wie ZFC oder ZFC+CH (Kontinuumshypothese) unterscheiden. Ist [mm]ZFC[/mm] [mm]U[/mm]-konsistent, so auch tatsächlich konsistent. Dagegen folgt aus tatsächlicher Konsistenz von ZFC nicht in naheliegender Weise die [mm]U[/mm]-Konsistenz von ZFC. Denn eine [mm]U[/mm]-Ableitung eines Widerspruches aus ZFC entspricht eben nicht notwendig einer tatsächlichen Ableitung eines Widerspruches aus ZFC.
Warum sollte nun aus ZFC tatsächlich konsistent die tatsächliche Konsistenz von [mm]ZFC+CH[/mm] folgen?
Wohl mit folgender "Argumentation" (**):
ZFC tatsächlich konsistent
(1)[mm]\Rightarrow[/mm] ZFC [mm]U[/mm]-konsistent
(2)[mm]\Rightarrow[/mm] ZFC+CH [mm]U[/mm]-konsistent
(3)[mm]\Rightarrow[/mm] ZFC+CH tatsächlich konsistent
Schritte (2) und (3) dieser Argumentation sind korrekt (bei Schritt (2) geht [mm]ZFC\quad\vdash\quad [Con(ZFC)\rightarrow Con(ZFC+Kontinuumshypothese)][/mm] ein), Schritt (1) jedoch nicht, wie ich in 4. erläutert habe.
Ist die Problematik jetzt klarer geworden?
Nun zu deiner Antwort:
> Angenommen ZFC ist widerspruchsfrei und es existiert eine
> Nichtstandardzahl [mm]\mathbf c \in \omega[/mm]. (Dann würde ZFC
> aber nicht mehr das mathematisches Universum präzisieren).
(Mir erscheint die Annahme der Existenz "des mathematischen Universums" etwas esotherisch angehaucht. Aber selbst wenn man diese Existenz annimmt: Warum sollte ZFC dieses mathematische Universum ohne Nichtstandardzahlen präzisieren?)
> Ich vermute, dass Du dann folgende Konstruktion im Auge
> hast:
>
> [mm]ZFC \vdash \varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})[/mm]
> (*)
>
> Dabei repräsentiert [mm]\varphi(v_0,v_1)[/mm] die
> "Ableitbarkeitsrelation" [mm]\mathbf A \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}[/mm].
Ich durchblicke deine Notationen nicht ganz.
[mm] $\varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})$ [/mm] ist doch gar kein Satz in der Sprache der Mengenlehre, oder? Schließlich kommt da [mm] $\mathbf{c}$ [/mm] vor.
Weiter wäre zu präzisieren, ob [mm] $\vdash$ [/mm] hier tatsächliche Ableitbarkeit oder $U$-Ableitbarkeit bezeichnet.
Eine bestimmte Konstruktion habe ich nicht im Auge.
> Falls meine Interpretation Deiner Aussagen falsch ist, dann
> erkläre doch bitte präzise, was 'eine Nichtstandardzahl
> codiert (vermeintlich) einen formalen Beweis eines
> Widerspruchs' bedeuten soll.
Sei [mm]\psi(v_2,v_0,v_1)[/mm] eine Formalisierung von "[mm]v_2[/mm] codiert eine Ableitung von [mm]v_1[/mm] aus [mm]v_0[/mm]".
Dann meine ich mit "eine Nichtstandardzahl codiert (vermeintlich) einen formalen Beweis eines Widerspruches" die Aussage
(***) Es existiert eine Nichtstandardzahl [mm]c\in\omega_U[/mm] mit [mm]\psi(c,ZFC,\exists x\;x\not=x)[/mm] wahr in [mm]U[/mm].
Somit ist [mm]c[/mm] im Falle der Gültigkeit von (***) die Codierung eines [mm]U[/mm]-Beweises eines Widerspruches aus ZFC, aber nicht die Codierung eines tatsächlichen Beweises eines Widerspruches aus ZFC.
> > Das heißt es könnte durchaus sein, dass ZFC tatsächlich
> > konsistent und ZFC+Kontinuumshypothese tatsächlich
> > inkonsistent ist?!
>
> Nein.
Wie begründest du das mithilfe von [mm]ZFC\quad\vdash\quad [Con(ZFC)\rightarrow Con(ZFC+Kontinuumshypothese)][/mm]?
Argumentation (**) fällt ja flach.
Ich würde mich über eine erneute Antwort freuen!
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
> Hallo mathfunnel!
>
>
> Vielen Dank, dass du dich mit der Problematik
> auseinandersetzt!
>
>
> Ich hole mal etwas aus und gehe am Ende auf deine Antwort
> ein.
>
>
> Ich gehe im Folgenden von der Annahme aus, dass wir ein ZFC
> erfüllendes Universum [mm]U[/mm] haben.
> (Diese Annahme finde ich zwar selbst im Falle der
> Konsistenz von ZFC sehr zweifelhaft, aber das ist ein
> anderes Thema...)
>
> Wir wissen nicht, ob [mm]\omega_U[/mm] Nichtstandardzahlen enthält,
> aber wir können es jedenfalls (ohne Zusatzannahmen) nicht
> ausschließen.
Ich sehe das wie folgt:
Ich stelle fest, dass ZFC (falls wf) 'meiner naiven Mathematik' (oder auch der Hintergrundmengenlehre (HML)) nicht widerspricht. Im speziellen auch nicht 'meiner naiven Forderung', dass alle natürlichen Zahlen von der Form $1 + [mm] \ldots [/mm] + 1$ sind. Dass ZFC auch Modellen nicht widerspricht, die Nichtstandardzahlen enthalten, stört dabei keineswegs. ZFC präzisiert einen Teil 'meiner naiven Mathematik', wie es auch Aussagen anderer Modelle präzisiert.
> Da wir nicht ausschließen können, dass [mm]\omega_U[/mm]
> Nichtstandardzahlen enthält, müssen wir sauber zwischen
> [mm]\omega_U[/mm] und den gewöhnlichen natürlichen Zahlen [mm]\IN[/mm], die
> wir aus der Grundschule kennen, unterscheiden.
Damit ist $U$ wohl ein Modell von ZFC, das nicht mit der HML zu vereinbaren ist.
>
> Das hat vielerlei Konsequenzen, von denen ich nun einige
> Beispiele gebe, die sukzessiv aufeinander aufbauen:
>
> 1. Wir müssen auch zwischen dem
> "natürlichen/tatsächlichen" Endlichkeitsbegriff und dem
> [mm]U[/mm]-Endlichkeitsbegriff unterscheiden: Natürlich endliche
> Mengen sind auch [mm]U[/mm]-endlich, aber die Umkehrung muss nicht
> gelten.
>
> 2. Wir müssen zwischen einer "natürlichen/tatsächlichen"
> Formel der Sprache der Mengenlehre und einer [mm]U[/mm]-Formel der
> Sprache der Mengenlehre unterscheiden: Jede natürliche
> Formel entspricht auch einer [mm]U[/mm]-Formel, aber nicht unbedingt
> umgekehrt. Falls [mm]\omega_U[/mm] eine Nichtstandard-Zahl [mm]c[/mm]
> enthält, gibt es nämlich eine [mm]U[/mm]-Formel der Länge [mm]\ge c[/mm].
> Diese Länge ist zwar [mm]U[/mm]-endlich, aber nicht tatsächlich
> endlich.
>
> 3. Wir müssen zwischen dem Begriff einer
> "natürlichen/tatsächlichen" Ableitung einer Formel [mm]\rho[/mm]
> aus ZFC und einer [mm]U[/mm]-Ableitung von [mm]\rho[/mm] aus ZFC
> unterscheiden. Jede natürliche Ableitung von [mm]\rho[/mm] aus ZFC
> hat zwar ihre Entsprechung in [mm]U[/mm], aber nicht notwendig
> umgekehrt. Eine [mm]U[/mm]-Ableitung muss weder natürlich endliche
> Länge haben, noch muss sie ausschließlich aus
> natürlichen Formeln bestehen.
>
> 4. Somit müssen wir auch zwischen
> "natürlicher/tatsächlicher" Konsistenz und [mm]U[/mm]-Konsistenz
> von Systemen wie ZFC oder ZFC+CH (Kontinuumshypothese)
> unterscheiden. Ist [mm]ZFC[/mm] [mm]U[/mm]-konsistent, so auch tatsächlich
> konsistent. Dagegen folgt aus tatsächlicher Konsistenz von
> ZFC nicht in naheliegender Weise die [mm]U[/mm]-Konsistenz von ZFC.
> Denn eine [mm]U[/mm]-Ableitung eines Widerspruches aus ZFC
> entspricht eben nicht notwendig einer tatsächlichen
> Ableitung eines Widerspruches aus ZFC.
Ich glaube, dass ich das mit (*) ausgedrückt habe, obwohl mir nicht sicher klar ist, was Du selbst mit U-Konsistenz meinst.
> Warum sollte nun aus ZFC tatsächlich konsistent die
> tatsächliche Konsistenz von [mm]ZFC+CH[/mm] folgen?
Wegen Gödel's Beweis, der aus der angenommenen Existenz eines ZFC - Modells $V$ ein ZFC - Modell $L$ konstruiert, das ZFC + GCH erfüllt.
> Wohl mit folgender "Argumentation" (**):
>
> ZFC tatsächlich konsistent
> (1)[mm]\Rightarrow[/mm] ZFC [mm]U[/mm]-konsistent
> (2)[mm]\Rightarrow[/mm] ZFC+CH [mm]U[/mm]-konsistent
> (3)[mm]\Rightarrow[/mm] ZFC+CH tatsächlich konsistent
>
> Schritte (2) und (3) dieser Argumentation sind korrekt (bei
> Schritt (2) geht [mm]ZFC\quad\vdash\quad [Con(ZFC)\rightarrow Con(ZFC+Kontinuumshypothese)][/mm]
> ein), Schritt (1) jedoch nicht, wie ich in 4. erläutert
> habe.
>
>
> Ist die Problematik jetzt klarer geworden?
Die Problematik entspricht vermutlich meiner bisherigen Interpretation Deiner Aussagen.
>
> Nun zu deiner Antwort:
>
> > Angenommen ZFC ist widerspruchsfrei und es existiert eine
> > Nichtstandardzahl [mm]\mathbf c \in \omega[/mm]. (Dann würde
> ZFC
> > aber nicht mehr das mathematisches Universum
> präzisieren).
> (Mir erscheint die Annahme der Existenz "des
> mathematischen Universums" etwas esotherisch angehaucht.
> Aber selbst wenn man diese Existenz annimmt: Warum sollte
> ZFC dieses mathematische Universum ohne Nichtstandardzahlen
> präzisieren?)
Siehe oben.
>
>
> > Ich vermute, dass Du dann folgende Konstruktion im Auge
> > hast:
> >
> > [mm]ZFC \vdash \varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})[/mm]
>
> > (*)
> >
> > Dabei repräsentiert [mm]\varphi(v_0,v_1)[/mm] die
> > "Ableitbarkeitsrelation" [mm]\mathbf A \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}[/mm].
>
> Ich durchblicke deine Notationen nicht ganz.
> [mm]\varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})[/mm]
> ist doch gar kein Satz in der Sprache der Mengenlehre,
> oder? Schließlich kommt da [mm]\mathbf{c}[/mm] vor.
[mm]\mathbf{c}[/mm] ist eine Konstante in der Symbolmenge.
>
> Weiter wäre zu präzisieren, ob [mm]\vdash[/mm] hier tatsächliche
> Ableitbarkeit oder [mm]U[/mm]-Ableitbarkeit bezeichnet.
[mm] $\vdash$ [/mm] bedeutet hier Ableitbarkeit.
Was genau verstehst Du unter 'U-Ableitbarkeit'?
Die 'U-Ableitbarkeitsrelation' scheint mir 'syntaktisch gleich' zu sein mit der 'Ableitbarkeitsrelation' und sich eben im Modell $U$
dadurch von HML unterscheidet, dass es auch Nichtstandardzahlen gibt,
die jetzt für die Definition der Repräsentierbarkeit der 'Ableitbarkeitsrelation' zur Verfügung stehen. Somit bezweifelst Du (zu Recht), dass in allen Modellen von ZFC die Ableitbarkeitsrelation (via ihrer Repräsentierbarkeit) auf eine effektive Beweisführung hinauslaufen muss. Aber eine effektive Beweisführung ist eben ein Konstrukt der HML, deren Menge der natürlichen Zahlen keine Nichtstandard-Zahlen enthält. Ich denke, dass Dir das alles klar ist, da Du schließlich diese Fragen stellst.
Deshalb frage ich mich, ob Dir das mathematische Universum deshalb 'esotherisch angehaucht' vorkommt, weil ZFC nicht alle seine Aussagen
formalisieren kann, und sie deshalb von ZFC nicht 'legalisiert' werden. Aber es ist doch eher umgekehrt. Das naive 'mathematische Universum' legalisiert ZFC und das 'Fehlen von Nichtstandardzahlen' in der Menge der natürlichen Zahlen.
Falls ich Deine Argumentation immer noch nicht richtig verstanden haben sollte, lass es mich wissen.
>
> Eine bestimmte Konstruktion habe ich nicht im Auge.
>
>
> > Falls meine Interpretation Deiner Aussagen falsch ist,
> dann
> > erkläre doch bitte präzise, was 'eine
> Nichtstandardzahl
> > codiert (vermeintlich) einen formalen Beweis eines
> > Widerspruchs' bedeuten soll.
> Sei [mm]\psi(v_2,v_0,v_1)[/mm] eine Formalisierung von "[mm]v_2[/mm] codiert
> eine Ableitung von [mm]v_1[/mm] aus [mm]v_0[/mm]".
>
> Dann meine ich mit "eine Nichtstandardzahl codiert
> (vermeintlich) einen formalen Beweis eines Widerspruches"
> die Aussage
>
> (***) Es existiert eine Nichtstandardzahl [mm]c\in\omega_U[/mm]
> mit [mm]\psi(c,ZFC,\exists x\;x\not=x)[/mm] wahr in [mm]U[/mm].
>
> Somit ist [mm]c[/mm] im Falle der Gültigkeit von (***) die
> Codierung eines [mm]U[/mm]-Beweises eines Widerspruches aus ZFC,
> aber nicht die Codierung eines tatsächlichen Beweises
> eines Widerspruches aus ZFC.
>
>
> > > Das heißt es könnte durchaus sein, dass ZFC tatsächlich
> > > konsistent und ZFC+Kontinuumshypothese tatsächlich
> > > inkonsistent ist?!
> >
> > Nein.
> Wie begründest du das mithilfe von [mm]ZFC\quad\vdash\quad [Con(ZFC)\rightarrow Con(ZFC+Kontinuumshypothese)][/mm]?
>
> Argumentation (**) fällt ja flach.
>
>
> Ich würde mich über eine erneute Antwort freuen!
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
LG
mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 29.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal!
Erneut ein großes Dankeschön für deine Antwort!
> Ich sehe das wie folgt:
> Ich stelle fest, dass ZFC (falls wf) 'meiner naiven
> Mathematik' (oder auch der Hintergrundmengenlehre (HML))
> nicht widerspricht. Im speziellen auch nicht 'meiner naiven
> Forderung', dass alle natürlichen Zahlen von der Form [mm]1 + \ldots + 1[/mm]
> sind.
Das ist aber eine ziemlich starke Annahme, oder?
Ich nenne diese Annahme, dass ZFC der Forderung, dass alle natürlichen Zahlen von der Form [mm]1+\ldots+1[/mm] sind, nicht widerspricht, mal Annahme (A).
Es wäre doch genauso gut denkbar, dass zwar [mm]ZFC[/mm] widerspruchsfrei ist, aber der Aussage, dass alle natürlichen Zahlen von der Form [mm]1+\ldots+1[/mm] sind, durchaus widerspricht.
(Zusätzlich schwierig ist, dass wir nicht mal einen klaren Begriff davon haben, was Annahme (A) eigentlich genau heißt.)
Selbst wenn man [mm](A)[/mm] als wahr annimmt, heißt das für mich noch lange nicht, dass die noch stärkere Annahme (B) gilt: Es existiert ein ZFC-Universum ohne Nichtstandardzahlen.
> > Da wir nicht ausschließen können, dass [mm]\omega_U[/mm]
> > Nichtstandardzahlen enthält, müssen wir sauber zwischen
> > [mm]\omega_U[/mm] und den gewöhnlichen natürlichen Zahlen [mm]\IN[/mm], die
> > wir aus der Grundschule kennen, unterscheiden.
>
> Damit ist [mm]U[/mm] wohl ein Modell von ZFC, das nicht mit der HML
> zu vereinbaren ist.
Zumindest können wir das nicht ausschließen, wenn wir nicht an Annahme (B) glauben wollen.
> > Das hat vielerlei Konsequenzen, von denen ich nun einige
> > Beispiele gebe, die sukzessiv aufeinander aufbauen:
> >
> > 1. Wir müssen auch zwischen dem
> > "natürlichen/tatsächlichen" Endlichkeitsbegriff und dem
> > [mm]U[/mm]-Endlichkeitsbegriff unterscheiden: Natürlich endliche
> > Mengen sind auch [mm]U[/mm]-endlich, aber die Umkehrung muss nicht
> > gelten.
> >
> > 2. Wir müssen zwischen einer "natürlichen/tatsächlichen"
> > Formel der Sprache der Mengenlehre und einer [mm]U[/mm]-Formel der
> > Sprache der Mengenlehre unterscheiden: Jede natürliche
> > Formel entspricht auch einer [mm]U[/mm]-Formel, aber nicht unbedingt
> > umgekehrt. Falls [mm]\omega_U[/mm] eine Nichtstandard-Zahl [mm]c[/mm]
> > enthält, gibt es nämlich eine [mm]U[/mm]-Formel der Länge [mm]\ge c[/mm].
> > Diese Länge ist zwar [mm]U[/mm]-endlich, aber nicht tatsächlich
> > endlich.
> >
> > 3. Wir müssen zwischen dem Begriff einer
> > "natürlichen/tatsächlichen" Ableitung einer Formel [mm]\rho[/mm]
> > aus ZFC und einer [mm]U[/mm]-Ableitung von [mm]\rho[/mm] aus ZFC
> > unterscheiden. Jede natürliche Ableitung von [mm]\rho[/mm] aus ZFC
> > hat zwar ihre Entsprechung in [mm]U[/mm], aber nicht notwendig
> > umgekehrt. Eine [mm]U[/mm]-Ableitung muss weder natürlich endliche
> > Länge haben, noch muss sie ausschließlich aus
> > natürlichen Formeln bestehen.
> >
> > 4. Somit müssen wir auch zwischen
> > "natürlicher/tatsächlicher" Konsistenz und [mm]U[/mm]-Konsistenz
> > von Systemen wie ZFC oder ZFC+CH (Kontinuumshypothese)
> > unterscheiden. Ist [mm]ZFC[/mm] [mm]U[/mm]-konsistent, so auch tatsächlich
> > konsistent. Dagegen folgt aus tatsächlicher Konsistenz von
> > ZFC nicht in naheliegender Weise die [mm]U[/mm]-Konsistenz von ZFC.
> > Denn eine [mm]U[/mm]-Ableitung eines Widerspruches aus ZFC
> > entspricht eben nicht notwendig einer tatsächlichen
> > Ableitung eines Widerspruches aus ZFC.
>
> Ich glaube, dass ich das mit (*) ausgedrückt habe, obwohl
> mir nicht sicher klar ist, was Du selbst mit U-Konsistenz
> meinst.
Bis zu welchem Punkt innerhalb der Beispiele ist dir noch alles klar?
Mit [mm]U[/mm]-Konsistenz von ZFC meine ich [mm]U\models Con(ZFC)[/mm].
Mit tatsächlicher Konsistenz von ZFC meine ich hingegen, dass im gewöhnlichen Sinne (also mit Beweisen natürlich endlicher Länge und nur mithilfe von Formeln natürlich endlicher Länge) kein Widerspruch aus ZFC herleitbar ist.
> > Warum sollte nun aus ZFC tatsächlich konsistent die
> > tatsächliche Konsistenz von [mm]ZFC+CH[/mm] folgen?
>
> Wegen Gödel's Beweis, der aus der angenommenen Existenz
> eines ZFC - Modells [mm]V[/mm] ein ZFC - Modell [mm]L[/mm] konstruiert, das
> ZFC + GCH erfüllt.
Da ist der Punkt: Du setzt schon die Existenz eines ZFC-Modells [mm]V[/mm] voraus. Damit es jedoch innerhalb von [mm]U[/mm] ein ZFC-Modell [mm]V[/mm] gibt, benötigst du [mm]U[/mm]-Konsistenz von [mm]ZFC[/mm] und nicht nur tatsächliche Konsistenz.
> > > Ich vermute, dass Du dann folgende Konstruktion im Auge
> > > hast:
> > >
> > > [mm]ZFC \vdash \varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})[/mm]
>
> >
> > > (*)
> > >
> > > Dabei repräsentiert [mm]\varphi(v_0,v_1)[/mm] die
> > > "Ableitbarkeitsrelation" [mm]\mathbf A \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}[/mm].
>
> >
> > Ich durchblicke deine Notationen nicht ganz.
> > [mm]\varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})[/mm]
> > ist doch gar kein Satz in der Sprache der Mengenlehre,
> > oder? Schließlich kommt da [mm]\mathbf{c}[/mm] vor.
>
> [mm]\mathbf{c}[/mm] ist eine Konstante in der Symbolmenge.
Du erweiterst also die nur aus dem [mm]\in[/mm]-Symbol bestehende Sprache der Mengenlehre um ein zusätzliches Konstantensymbol (das in ZFC selbst gar nicht auftritt).
Dann ist aber (*) äquivalent zu
(*)' [mm]ZFC\vdash\forall y\;\varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, y)[/mm].
ZFC soll beweisen, dass aus jeder Formel ein Widerspruch ableitbar ist?
Ich erkenne immer noch keinen Zusammenhang zu der von mir angesprochenen Problematik.
> > Weiter wäre zu präzisieren, ob [mm]\vdash[/mm] hier tatsächliche
> > Ableitbarkeit oder [mm]U[/mm]-Ableitbarkeit bezeichnet.
>
> [mm]\vdash[/mm] bedeutet hier Ableitbarkeit.
Ja, aber welche der beiden Ableitbarkeits-Arten? Tatsächliche oder [mm]U[/mm]-Ableitbarkeit?
> Was genau verstehst Du unter 'U-Ableitbarkeit'?
Eine Formel [mm]\psi[/mm] ist aus einer rekursiv aufzählbaren Menge Z von Formeln [mm]U[/mm]-ableitbar, wenn [mm]U\models\varphi(\psi,Z)[/mm], wobei [mm]\varphi(v_0,v_1)[/mm] für Codierung von "[mm]v_0[/mm] ableitbar aus [mm]v_1[/mm]" ist.
(Ich identifiziere hier natürliche Formeln und natürlich rekursiv aufzählbare Formel-Mengen mit ihrer Gödel-Nummer.)
Mit tatsächlicher Ableitbarkeit meine ich hingegen die Existenz einer natürlich endlichen Ableitung, die nur natürlich endliche Formeln enthält.
> Die 'U-Ableitbarkeitsrelation' scheint mir 'syntaktisch
> gleich' zu sein mit der 'Ableitbarkeitsrelation' und sich
> eben im Modell [mm]U[/mm]
> dadurch von HML unterscheidet, dass es auch
> Nichtstandardzahlen gibt,
> die jetzt für die Definition der Repräsentierbarkeit der
> 'Ableitbarkeitsrelation' zur Verfügung stehen. Somit
> bezweifelst Du (zu Recht), dass in allen Modellen von ZFC
> die Ableitbarkeitsrelation (via ihrer Repräsentierbarkeit)
> auf eine effektive Beweisführung hinauslaufen muss.
Genau.
> Aber
> eine effektive Beweisführung ist eben ein Konstrukt der
> HML, deren Menge der natürlichen Zahlen keine
> Nichtstandard-Zahlen enthält.
Ich bin eben nicht "HML-gläubig".
> Ich denke, dass Dir das
> alles klar ist, da Du schließlich diese Fragen stellst.
> Deshalb frage ich mich, ob Dir das mathematische Universum
> deshalb 'esotherisch angehaucht' vorkommt, weil ZFC nicht
> alle seine Aussagen
> formalisieren kann, und sie deshalb von ZFC nicht
> 'legalisiert' werden. Aber es ist doch eher umgekehrt. Das
> naive 'mathematische Universum' legalisiert ZFC und das
> 'Fehlen von Nichtstandardzahlen' in der Menge der
> natürlichen Zahlen.
In meiner Vorstellungswelt gibt es zwar die Gesamtheit der natürlichen Zahlen, aber kein naives mathematisches Universum. Ich habe eine naive recht klare Vorstellung, was die natürlichen Zahlen sein sollen, aber keinerlei Vorstellung von einem mathematischen Universum.
Selbst wenn ich so eine Vorstellung hätte, wäre mir nicht klar, ob dieses Universum ZFC genügt.
Ich kann nachvollziehen, dass du eine andere "Glaubensposition" als ich hast, die Annahme (B) einschließt.
Auch kann ich nachvollziehen, dass du aus diesem Glauben heraus ZFC+CH für konsistent hältst.
Ich selbst bin vorsichtiger. Zwar bin ich kein Verfechter des Gegenteils von Annahme (B), aber ich weiß einfach nicht ob (B) zutrifft.
(Ich weiß noch nicht einmal, ob (B) einen klaren Wahrheitswert hat.)
Jedenfalls ist für mich jeder Beweis, der auf Annahme (B) beruht, derzeit allenfalls ein empirischer Hinweis und kein sicherer Beweis.
Ich kann nicht ausschließen, dass die Annahme (B) zu falschen Ergebnissen führt.
Um es nochmal klar zu sagen: Für mich ist weiterhin die tatsächliche Konsistenz von ZFC bei Inkonsistenz von ZFC+CH denkbar.
Dann führt Annahme (B) eben tatsächlich zu falschen Ergebnissen.
Notwendig für Annahme (B) ist die Konsistenz von ZFC.
Nicht nachvollziehen kann ich jetzt, wieso diese notwendige Bedingung als Voraussetzung für den Satz von der Konsistenz von ZFC+CH genannt wird, die auch eingehende viel stärkere (und unpräzise) Annahme (B) jedoch nicht.
(Vielleicht, weil sich das Verwenden dieser Annahme besser kaschieren lässt in der Hoffnung, dass schon niemand das Verwenden einer so unpräzisen Voraussetzung bemerke?)
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
Ich werde nicht alles kommentieren (Zeitmangel), sonder nur das mir Wichtigste sagen.
> Hallo nochmal!
>
>
> Erneut ein großes Dankeschön für deine Antwort!
>
>
> > Ich sehe das wie folgt:
> > Ich stelle fest, dass ZFC (falls wf) 'meiner naiven
> > Mathematik' (oder auch der Hintergrundmengenlehre
> (HML))
> > nicht widerspricht. Im speziellen auch nicht 'meiner
> naiven
> > Forderung', dass alle natürlichen Zahlen von der Form [mm]1 + \ldots + 1[/mm]
>
> > sind.
> Das ist aber eine ziemlich starke Annahme, oder?
>
> Ich nenne diese Annahme, dass ZFC der Forderung, dass alle
> natürlichen Zahlen von der Form [mm]1+\ldots+1[/mm] sind, nicht
> widerspricht, mal Annahme (A).
>
> Es wäre doch genauso gut denkbar, dass zwar [mm]ZFC[/mm]
> widerspruchsfrei ist, aber der Aussage, dass alle
> natürlichen Zahlen von der Form [mm]1+\ldots+1[/mm] sind, durchaus
> widerspricht.
>
> (Zusätzlich schwierig ist, dass wir nicht mal einen klaren
> Begriff davon haben, was Annahme (A) eigentlich genau
> heißt.)
Die Forderung, dass alle natürliche Zahlen von der Form [mm] $1+\ldots [/mm] + 1$ sind, ist
gar nicht in ZFC formulierbar.
>
> Selbst wenn man [mm](A)[/mm] als wahr annimmt, heißt das für mich
> noch lange nicht, dass die noch stärkere Annahme (B) gilt:
> Es existiert ein ZFC-Universum ohne Nichtstandardzahlen.
Annahme (B) ist keine präzise mathematische Aussage.
> > > Da wir nicht ausschließen können, dass [mm]\omega_U[/mm]
> > > Nichtstandardzahlen enthält, müssen wir sauber
> zwischen
> > > [mm]\omega_U[/mm] und den gewöhnlichen natürlichen Zahlen
> [mm]\IN[/mm], die
> > > wir aus der Grundschule kennen, unterscheiden.
> >
> > Damit ist [mm]U[/mm] wohl ein Modell von ZFC, das nicht mit der
> HML
> > zu vereinbaren ist.
> Zumindest können wir das nicht ausschließen, wenn wir
> nicht an Annahme (B) glauben wollen.
>
>
> > > Das hat vielerlei Konsequenzen, von denen ich nun einige
> > > Beispiele gebe, die sukzessiv aufeinander aufbauen:
> > >
> > > 1. Wir müssen auch zwischen dem
> > > "natürlichen/tatsächlichen" Endlichkeitsbegriff und
> dem
> > > [mm]U[/mm]-Endlichkeitsbegriff unterscheiden: Natürlich
> endliche
> > > Mengen sind auch [mm]U[/mm]-endlich, aber die Umkehrung muss
> nicht
> > > gelten.
> > >
> > > 2. Wir müssen zwischen einer
> "natürlichen/tatsächlichen"
> > > Formel der Sprache der Mengenlehre und einer [mm]U[/mm]-Formel
> der
> > > Sprache der Mengenlehre unterscheiden: Jede
> natürliche
> > > Formel entspricht auch einer [mm]U[/mm]-Formel, aber nicht
> unbedingt
> > > umgekehrt. Falls [mm]\omega_U[/mm] eine Nichtstandard-Zahl [mm]c[/mm]
> > > enthält, gibt es nämlich eine [mm]U[/mm]-Formel der Länge
> [mm]\ge c[/mm].
> > > Diese Länge ist zwar [mm]U[/mm]-endlich, aber nicht
> tatsächlich
> > > endlich.
> > >
> > > 3. Wir müssen zwischen dem Begriff einer
> > > "natürlichen/tatsächlichen" Ableitung einer Formel
> [mm]\rho[/mm]
> > > aus ZFC und einer [mm]U[/mm]-Ableitung von [mm]\rho[/mm] aus ZFC
> > > unterscheiden. Jede natürliche Ableitung von [mm]\rho[/mm] aus
> ZFC
> > > hat zwar ihre Entsprechung in [mm]U[/mm], aber nicht notwendig
> > > umgekehrt. Eine [mm]U[/mm]-Ableitung muss weder natürlich
> endliche
> > > Länge haben, noch muss sie ausschließlich aus
> > > natürlichen Formeln bestehen.
> > >
> > > 4. Somit müssen wir auch zwischen
> > > "natürlicher/tatsächlicher" Konsistenz und
> [mm]U[/mm]-Konsistenz
> > > von Systemen wie ZFC oder ZFC+CH
> (Kontinuumshypothese)
> > > unterscheiden. Ist [mm]ZFC[/mm] [mm]U[/mm]-konsistent, so auch
> tatsächlich
> > > konsistent. Dagegen folgt aus tatsächlicher
> Konsistenz von
> > > ZFC nicht in naheliegender Weise die [mm]U[/mm]-Konsistenz von
> ZFC.
> > > Denn eine [mm]U[/mm]-Ableitung eines Widerspruches aus ZFC
> > > entspricht eben nicht notwendig einer tatsächlichen
> > > Ableitung eines Widerspruches aus ZFC.
> >
> > Ich glaube, dass ich das mit (*) ausgedrückt habe,
> obwohl
> > mir nicht sicher klar ist, was Du selbst mit
> U-Konsistenz
> > meinst.
> Bis zu welchem Punkt innerhalb der Beispiele ist dir noch
> alles klar?
>
> Mit [mm]U[/mm]-Konsistenz von ZFC meine ich [mm]U\models Con(ZFC)[/mm].
>
> Mit tatsächlicher Konsistenz von ZFC meine ich hingegen,
> dass im gewöhnlichen Sinne (also mit Beweisen natürlich
> endlicher Länge und nur mithilfe von Formeln natürlich
> endlicher Länge) kein Widerspruch aus ZFC herleitbar ist.
>
>
> > > Warum sollte nun aus ZFC tatsächlich konsistent die
> > > tatsächliche Konsistenz von [mm]ZFC+CH[/mm] folgen?
> >
> > Wegen Gödel's Beweis, der aus der angenommenen
> Existenz
> > eines ZFC - Modells [mm]V[/mm] ein ZFC - Modell [mm]L[/mm] konstruiert,
> das
> > ZFC + GCH erfüllt.
> Da ist der Punkt: Du setzt schon die Existenz eines
> ZFC-Modells [mm]V[/mm] voraus. Damit es jedoch innerhalb von [mm]U[/mm] ein
> ZFC-Modell [mm]V[/mm] gibt, benötigst du [mm]U[/mm]-Konsistenz von [mm]ZFC[/mm] und
> nicht nur tatsächliche Konsistenz.
>
>
> > > > Ich vermute, dass Du dann folgende Konstruktion im Auge
> > > > hast:
> > > >
> > > > [mm]ZFC \vdash \varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})[/mm]
>
> >
> > >
> > > > (*)
> > > >
> > > > Dabei repräsentiert [mm]\varphi(v_0,v_1)[/mm] die
> > > > "Ableitbarkeitsrelation" [mm]\mathbf A \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}[/mm].
>
> >
> > >
> > > Ich durchblicke deine Notationen nicht ganz.
> > > [mm]\varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})[/mm]
>
> > > ist doch gar kein Satz in der Sprache der Mengenlehre,
> > > oder? Schließlich kommt da [mm]\mathbf{c}[/mm] vor.
> >
> > [mm]\mathbf{c}[/mm] ist eine Konstante in der Symbolmenge.
> Du erweiterst also die nur aus dem [mm]\in[/mm]-Symbol bestehende
> Sprache der Mengenlehre um ein zusätzliches
> Konstantensymbol (das in ZFC selbst gar nicht auftritt).
>
> Dann ist aber (*) äquivalent zu
>
> (*)' [mm]ZFC\vdash\forall y\;\varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, y)[/mm].
>
> ZFC soll beweisen, dass aus jeder Formel ein Widerspruch
> ableitbar ist?
>
> Ich erkenne immer noch keinen Zusammenhang zu der von mir
> angesprochenen Problematik.
Dir wird der Zusammenhang wahrscheinlich klar werden, wenn Du die Definition der Repräsentierbarkeit einer Relation auf ein Universum mit Nichtstandard natürlichen Zahlen anwendest.
>
> > > Weiter wäre zu präzisieren, ob [mm]\vdash[/mm] hier tatsächliche
> > > Ableitbarkeit oder [mm]U[/mm]-Ableitbarkeit bezeichnet.
> >
> > [mm]\vdash[/mm] bedeutet hier Ableitbarkeit.
> Ja, aber welche der beiden Ableitbarkeits-Arten?
> Tatsächliche oder [mm]U[/mm]-Ableitbarkeit?
>
> > Was genau verstehst Du unter 'U-Ableitbarkeit'?
> Eine Formel [mm]\psi[/mm] ist aus einer rekursiv aufzählbaren
> Menge Z von Formeln [mm]U[/mm]-ableitbar, wenn
> [mm]U\models\varphi(\psi,Z)[/mm], wobei [mm]\varphi(v_0,v_1)[/mm] für
> Codierung von "[mm]v_0[/mm] ableitbar aus [mm]v_1[/mm]" ist.
> (Ich identifiziere hier natürliche Formeln und natürlich
> rekursiv aufzählbare Formel-Mengen mit ihrer
> Gödel-Nummer.)
Wie lautet die Definition von [mm] $varphi(v_0, v_1)$? [/mm] Dafür benötigt man die Repräsentierbarkeit der 'U-Ableitbarkeit'.
> Mit tatsächlicher Ableitbarkeit meine ich hingegen die
> Existenz einer natürlich endlichen Ableitung, die nur
> natürlich endliche Formeln enthält.
>
>
> > Die 'U-Ableitbarkeitsrelation' scheint mir 'syntaktisch
> > gleich' zu sein mit der 'Ableitbarkeitsrelation' und
> sich
> > eben im Modell [mm]U[/mm]
> > dadurch von HML unterscheidet, dass es auch
> > Nichtstandardzahlen gibt,
> > die jetzt für die Definition der Repräsentierbarkeit
> der
> > 'Ableitbarkeitsrelation' zur Verfügung stehen. Somit
> > bezweifelst Du (zu Recht), dass in allen Modellen von
> ZFC
> > die Ableitbarkeitsrelation (via ihrer
> Repräsentierbarkeit)
> > auf eine effektive Beweisführung hinauslaufen muss.
> Genau.
>
> > Aber
> > eine effektive Beweisführung ist eben ein Konstrukt
> der
> > HML, deren Menge der natürlichen Zahlen keine
> > Nichtstandard-Zahlen enthält.
> Ich bin eben nicht "HML-gläubig".
Das hat mit Glauben nichts zu tun. HML beinhaltet schlicht Aussagen, die man für sinnvoll hält und untersucht sie dann formal mit Hilfe von ZFC.
>
> > Ich denke, dass Dir das
> > alles klar ist, da Du schließlich diese Fragen
> stellst.
> > Deshalb frage ich mich, ob Dir das mathematische
> Universum
> > deshalb 'esotherisch angehaucht' vorkommt, weil ZFC
> nicht
> > alle seine Aussagen
> > formalisieren kann, und sie deshalb von ZFC nicht
> > 'legalisiert' werden. Aber es ist doch eher umgekehrt.
> Das
> > naive 'mathematische Universum' legalisiert ZFC und das
> > 'Fehlen von Nichtstandardzahlen' in der Menge der
> > natürlichen Zahlen.
> In meiner Vorstellungswelt gibt es zwar die Gesamtheit der
> natürlichen Zahlen, aber kein naives mathematisches
> Universum. Ich habe eine naive recht klare Vorstellung, was
> die natürlichen Zahlen sein sollen, aber keinerlei
> Vorstellung von einem mathematischen Universum.
> Selbst wenn ich so eine Vorstellung hätte, wäre mir
> nicht klar, ob dieses Universum ZFC genügt.
>
>
> Ich kann nachvollziehen, dass du eine andere
> "Glaubensposition" als ich hast, die Annahme (B)
> einschließt.
Da (B) keine präzise mathematische Aussage ist, muss auch ich nicht daran glauben.
> Auch kann ich nachvollziehen, dass du aus diesem Glauben
> heraus ZFC+CH für konsistent hältst.
> Ich selbst bin vorsichtiger. Zwar bin ich kein Verfechter
> des Gegenteils von Annahme (B), aber ich weiß einfach
> nicht ob (B) zutrifft.
> (Ich weiß noch nicht einmal, ob (B) einen klaren
> Wahrheitswert hat.)
> Jedenfalls ist für mich jeder Beweis, der auf Annahme (B)
> beruht, derzeit allenfalls ein empirischer Hinweis und kein
> sicherer Beweis.
> Ich kann nicht ausschließen, dass die Annahme (B) zu
> falschen Ergebnissen führt.
>
> Um es nochmal klar zu sagen: Für mich ist weiterhin die
> tatsächliche Konsistenz von ZFC bei Inkonsistenz von
> ZFC+CH denkbar.
> Dann führt Annahme (B) eben tatsächlich zu falschen
> Ergebnissen.
>
> Notwendig für Annahme (B) ist die Konsistenz von ZFC.
> Nicht nachvollziehen kann ich jetzt, wieso diese
> notwendige Bedingung als Voraussetzung für den Satz von
> der Konsistenz von ZFC+CH genannt wird, die auch eingehende
> viel stärkere (und unpräzise) Annahme (B) jedoch nicht.
> (Vielleicht, weil sich das Verwenden dieser Annahme besser
> kaschieren lässt in der Hoffnung, dass schon niemand das
> Verwenden einer so unpräzisen Voraussetzung bemerke?)
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 30.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
> Ich werde nicht alles kommentieren (Zeitmangel), sonder nur
> das mir Wichtigste sagen.
Erneut herzlichen Dank, dass du dir trotzdem die Zeit genommen hast, mir zu antworten!
> > > Ich sehe das wie folgt:
> > > Ich stelle fest, dass ZFC (falls wf) 'meiner naiven
> > > Mathematik' (oder auch der Hintergrundmengenlehre
> > (HML))
> > > nicht widerspricht. Im speziellen auch nicht 'meiner
> > naiven
> > > Forderung', dass alle natürlichen Zahlen von der
> Form [mm]1 + \ldots + 1[/mm]
> >
> > > sind.
> > Das ist aber eine ziemlich starke Annahme, oder?
> >
> > Ich nenne diese Annahme, dass ZFC der Forderung, dass alle
> > natürlichen Zahlen von der Form [mm]1+\ldots+1[/mm] sind, nicht
> > widerspricht, mal Annahme (A).
> >
> > Es wäre doch genauso gut denkbar, dass zwar [mm]ZFC[/mm]
> > widerspruchsfrei ist, aber der Aussage, dass alle
> > natürlichen Zahlen von der Form [mm]1+\ldots+1[/mm] sind, durchaus
> > widerspricht.
> >
> > (Zusätzlich schwierig ist, dass wir nicht mal einen klaren
> > Begriff davon haben, was Annahme (A) eigentlich genau
> > heißt.)
>
> Die Forderung, dass alle natürliche Zahlen von der Form
> [mm]1+\ldots + 1[/mm] sind, ist
> gar nicht in ZFC formulierbar.
>
> >
> > Selbst wenn man [mm](A)[/mm] als wahr annimmt, heißt das für mich
> > noch lange nicht, dass die noch stärkere Annahme (B) gilt:
> > Es existiert ein ZFC-Universum ohne Nichtstandardzahlen.
>
> Annahme (B) ist keine präzise mathematische Aussage.
Mein Reden: In der Sprache der Mengenlehre sind (A) und (B) nicht formulierbar und beides sind keine präzisen mathematischen Aussagen.
Gerade vor diesem Hintergrund finde ich es ja so erschreckend, dass mit Annahme (B) argumentiert wird (ohne dies zuzugeben), wenn die relativen Konsistenzbeweise als Aussagen über tatsächliche Konsistenz (z.B. "Wenn ZFC tatsächlich konsistent ist, dann auch ZFC+CH.") interpretiert werden.
> > > > > Ich vermute, dass Du dann folgende Konstruktion im Auge
> > > > > hast:
> > > > >
> > > > > [mm]ZFC \vdash \varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > > (*)
> > > > >
> > > > > Dabei repräsentiert [mm]\varphi(v_0,v_1)[/mm] die
> > > > > "Ableitbarkeitsrelation" [mm]\mathbf A \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}[/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ich durchblicke deine Notationen nicht ganz.
> > > > [mm]\varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, \mathbf{c})[/mm]
>
> >
> > > > ist doch gar kein Satz in der Sprache der Mengenlehre,
> > > > oder? Schließlich kommt da [mm]\mathbf{c}[/mm] vor.
> > >
> > > [mm]\mathbf{c}[/mm] ist eine Konstante in der Symbolmenge.
> > Du erweiterst also die nur aus dem [mm]\in[/mm]-Symbol
> bestehende
> > Sprache der Mengenlehre um ein zusätzliches
> > Konstantensymbol (das in ZFC selbst gar nicht auftritt).
> >
> > Dann ist aber (*) äquivalent zu
> >
> > (*)' [mm]ZFC\vdash\forall y\;\varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, y)[/mm].
>
> >
> > ZFC soll beweisen, dass aus jeder Formel ein Widerspruch
> > ableitbar ist?
> >
> > Ich erkenne immer noch keinen Zusammenhang zu der von mir
> > angesprochenen Problematik.
>
> Dir wird der Zusammenhang wahrscheinlich klar werden, wenn
> Du die Definition der Repräsentierbarkeit einer Relation
> auf ein Universum mit Nichtstandard natürlichen Zahlen
> anwendest.
Ist es für unsere Diskussion essentiell, dass ich dies verstehe?
Wenn ja, frage ich nochmal genauer nach wie du das meinst.
> > > Was genau verstehst Du unter 'U-Ableitbarkeit'?
> > Eine Formel [mm]\psi[/mm] ist aus einer rekursiv aufzählbaren
> > Menge Z von Formeln [mm]U[/mm]-ableitbar, wenn
> > [mm]U\models\varphi(\psi,Z)[/mm], wobei [mm]\varphi(v_0,v_1)[/mm] für
> > Codierung von "[mm]v_0[/mm] ableitbar aus [mm]v_1[/mm]" ist.
> > (Ich identifiziere hier natürliche Formeln und
> natürlich
> > rekursiv aufzählbare Formel-Mengen mit ihrer
> > Gödel-Nummer.)
>
> Wie lautet die Definition von [mm]varphi(v_0, v_1)[/mm]? Dafür
> benötigt man die Repräsentierbarkeit der
> 'U-Ableitbarkeit'.
Eine explizite Angabe von [mm]\varphi(v_0,v_1)[/mm] würde hier den Rahmen sprengen.
Dazu müsste ich eine komplette Gödelisierung rekursiv aufzählbarer Formelmengen vornehmen und einen (vollständigen) Ableitbarkeitskalkül formalisieren.
Ich gehe aber davon aus, dass mein [mm]\varphi[/mm] weitestgehend mit dem von dir verwendeten [mm]\varphi[/mm] übereinstimmt.
Andere Erklärung: Es handelt sich bei [mm] $\varphi(v_0,v_1)$ [/mm] um die Formel mit
[mm] $Con(v_1)=\neg\varphi(\exists x\;x\not=x,\; v_1)$.
[/mm]
> > > Aber
> > > eine effektive Beweisführung ist eben ein Konstrukt
> > der
> > > HML, deren Menge der natürlichen Zahlen keine
> > > Nichtstandard-Zahlen enthält.
> > Ich bin eben nicht "HML-gläubig".
>
> Das hat mit Glauben nichts zu tun. HML beinhaltet schlicht
> Aussagen, die man für sinnvoll hält und untersucht sie
> dann formal mit Hilfe von ZFC.
Ich habe dich so verstanden, dass du von einem Mengenuniversum ausgehst, in dem es keine Nichtstandardzahlen gebe und dieses Mengenuniversum HML nennst.
Jetzt verstehe ich dich so, dass HML eine Art Axiomensystem ist? Wenn ja, welches?
> > Ich kann nachvollziehen, dass du eine andere
> > "Glaubensposition" als ich hast, die Annahme (B)
> > einschließt.
>
> Da (B) keine präzise mathematische Aussage ist, muss auch
> ich nicht daran glauben.
Aber du argumentierst doch zum "Beweis" der tatsächlichen Konsistenz von ZFC+CH im Falle der tatsächlichen Konsistenz von ZFC mit Annahme (B)!
Du argumentierst nämlich mit einem ZFC-Universum [mm]U[/mm] ohne Nichtstandardzahlen, in dem dann also [mm]U[/mm]-Konsistenz und tatsächliche Konsistenz zusammenfallen.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
Um es kurz zu machen: Ich glaube, dass ich Deine Kritik an relativen Konsistenzbeweisen immer noch nicht verstanden habe.
Deshalb folgende Fragen.
Stört Dich, dass in Definitionen, wie die der [mm] \textbf{Repräsentierbarkeit einer Relation}, [/mm] nur naive natürliche Zahlen der Form [mm] $1+\ldots+1$ [/mm] eingehen?
Das scheint mir für Deine Aussagen über die "U-Repräsentierbarkeit"
wichtig zu sein, da 'Dein' [mm] $\varphi$ [/mm] die Ableitbarkeitsrelation (bzw. die "U-Ableitbarkeitsrelation") repräsentieren sollte. Falls [mm] $\varphi$ [/mm] nicht 'eine Ableitbarkeitsrelation' repräsentiert, welche Bedeutung hat dann die "U-Ableitbarkeit" für Dich? Ableitungen werden via Repräsentierbarkeit der Ableitbarkeitsrelation codiert.
Glaubst Du, dass mit der Annahme der Existenz eines ZFC-Modells irgendetwas über die Existenz von Nichtstandard natürlichen Zahlen gesagt wird? Wenn ja, wie ist die mathematisch präzise Begründung dafür?
Deine Kritik daran, dass (angeblich) unpräzise Annahmen bei Beweisen gemacht werden, kann doch erst dann etwas bedeuten, wenn diese unpräzisen Annahmen zur Folgerung einer präzisen Aussage benutzt werden. Wie soll das möglich sein, wenn
die Beweise nur ZFC benutzen und die Annahmen nicht in ZFC
formulierbar sind?
Ich hoffe, dass ich nach Beantwortung dieser Fragen gezielter auf Deine Kritik an relativen Konsistenzbeweisen eingehen kann.
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 Fr 01.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
> Um es kurz zu machen: Ich glaube, dass ich Deine Kritik an
> relativen Konsistenzbeweisen immer noch nicht verstanden
> habe.
Dann gut, das du nachfragst!
> Stört Dich, dass in Definitionen, wie die der
> [mm]\textbf{Repräsentierbarkeit einer Relation},[/mm] nur naive
> natürliche Zahlen der Form [mm]1+\ldots+1[/mm] eingehen?
Nein.
(Meine einzige Kritik an der Definition der Repräsentierbarkeit einer Relation ist, dass unklar ist, was eigentlich eine (n-stellige) Relation auf den gewöhnlichen natürlichen Zahlen ist.
Wenn man sich aber auf rekursiv aufzählbare Relationen beschränkt, lässt sich dieses Problem umschiffen.)
> Das scheint mir für Deine Aussagen über die
> "U-Repräsentierbarkeit"
> wichtig zu sein, da 'Dein' [mm]\varphi[/mm] die
> Ableitbarkeitsrelation (bzw. die
> "U-Ableitbarkeitsrelation") repräsentieren sollte. Falls
> [mm]\varphi[/mm] nicht 'eine Ableitbarkeitsrelation' repräsentiert,
> welche Bedeutung hat dann die "U-Ableitbarkeit" für Dich?
> Ableitungen werden via Repräsentierbarkeit der
> Ableitbarkeitsrelation codiert.
"Mein" [mm] $\varphi$ [/mm] repräsentiert eine Ableitbarkeitsrelation.
> Glaubst Du, dass mit der Annahme der Existenz eines
> ZFC-Modells irgendetwas über die Existenz von
> Nichtstandard natürlichen Zahlen gesagt wird?
Das weiß ich nicht. Ich glaube also weder daran noch an das Gegenteil.
> Deine Kritik daran, dass (angeblich) unpräzise Annahmen
> bei Beweisen gemacht werden, kann doch erst dann etwas
> bedeuten, wenn diese unpräzisen Annahmen zur Folgerung
> einer präzisen Aussage benutzt werden.
Aus meiner Sicht IST die Behauptung, dass aus tatsächlicher Konsistenz von $ZFC$ die tatsächliche Konsistenz von $ZFC+CH$ folge, eine präzise Aussage.
> Wie soll das
> möglich sein, wenn
> die Beweise nur ZFC benutzen und die Annahmen nicht in
> ZFC
> formulierbar sind?
Der "Beweis", dass aus tatsächlicher Konsistenz von $ZFC$ die von $ZFC+CH$ folge, benutzt eben nicht nur ZFC, sondern auch die Annahme (B).
> Ich hoffe, dass ich nach Beantwortung dieser Fragen
> gezielter auf Deine Kritik an relativen Konsistenzbeweisen
> eingehen kann.
Super, danke!
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
> Der "Beweis", dass aus tatsächlicher Konsistenz von $ ZFC $ > die von $ ZFC+CH $ folge, benutzt eben nicht nur ZFC,
> sondern auch die Annahme (B).
Erkläre bitte, was Du mit 'benutzt' meinst.
Inwiefern werden hier Nichtstandardzahlen (angeblich) ausgeschlossen?
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Fr 01.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
> > Der "Beweis", dass aus tatsächlicher Konsistenz von [mm]ZFC[/mm]
> > die von [mm]ZFC+CH[/mm] folge, benutzt eben nicht nur ZFC,
> > sondern auch die Annahme (B).
>
>
> Erkläre bitte, was Du mit 'benutzt' meinst.
Ich gehe davon aus, es ist dir klar, was es heißt, dass ein Beweis z.B. das Auswahlaxiom benutzt.
(Es kommt dabei nicht darauf an, ob der Autor explizit schreibt "aus dem Auswahlaxiom folgt nun...", sondern darauf, ob seine Argumentation auch ohne das Auswahlaxiom funktionieren würde.)
Genau in einem solchen Sinne wird Annahme (B) im "Beweis" der tatsächlichen Konsistenz von $ZFC+CH$ im Falle der tatsächlichen Konsistenz von $ZFC$ benutzt.
> Inwiefern werden hier Nichtstandardzahlen (angeblich)
> ausgeschlossen?
Es werden hier nicht Nichtstandardzahlen per se ausgeschlossen.
Aber es wird die Verneinung von (B) ausgeschlossen, also ausgeschlossen, dass es gar kein Mengenuniversum ohne Nichtstandardzahlen gibt.
Wir benötigen für den "Beweis", dass aus tatsächlicher Konsistenz von $ZFC$ die von $ZFC+CH$ folge, ein ZFC-Modell $M$ innerhalb eines $ZFC$-Mengenuniversums $U$.
(Die Existenz eines $ZFC$-Mengenuniversums $U$ ist schon eine unpräzise Annahme, die allerdings immerhin noch schwächer als (B) ist.)
Dieses Modell $M$ soll uns der Vollständigkeitssatz liefern.
Um ihn aber anwenden zu können, muss $ZFC$ aber schon $U$-konsistent sein.
Aus der tatsächlichen Konsistenz von $ZFC$ folgt aber gar nicht in naheliegender Weise die $U$-Konsistenz von $ZFC$.
Nun habe ich dich so verstanden, dass du dieses Problem mit Annahme (B) "lösen" möchtest, also mit der Annahme der Existenz eines $ZFC$-Universums $U$ ohne Nichtstandardzahlen, für das also insbesondere $U$-Konsistenz und tatsächliche Konsistenz zusammenfallen.
Dann gäbe es natürlich gemäß Vollständigkeitssatz das gewünschte $ZFC$-Modell $M$ in $U$.
Falls ich deine Argumentation falsch verstanden haben sollte, schildere bitte, wie du stattdessen zu einem $ZFC$-Modell $M$ in einem Mengenuniversum $U$ gelangen möchtest oder wie die gesamte Argumentation auch ohne ein $ZFC$-Modell $M$ in einem Mengenuniversum $U$ auskommt.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
Du sagst, so wie ich es verstehe, dass aus der ZFC Konsistenz [mm] \textbf{nicht} [/mm] folgt, dass in jedem ZFC-Universum $U$ auch $Con(ZFC)$ wahr ist.
Also nehmen wir mal an, dass ZFC konsistent ist und ein Universum $U$ existiert in dem die Interpretation von $Con(ZFC)$ falsch ist.
Der in $Con(ZFC) [mm] \equiv \neg \exists [/mm] y [mm] \varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, [/mm] y)$ benutzte Ausdruck [mm] $\varphi(x,y)$ [/mm] repräsentiert die Ableitbarkeitsrelation $A$ in $U$.
Für alle $m,n [mm] \in \mathbb [/mm] N$ gilt also: Wenn $(m,n) [mm] \in [/mm] A$, so ist [mm] $\varphi(\mathbf [/mm] m, [mm] \mathbf [/mm] n)$ aus ZFC ableitbar und wenn $(m,n) [mm] \not \in [/mm] A$, so ist [mm] $\varphi(\mathbf [/mm] m, [mm] \mathbf [/mm] n)$ nicht aus ZFC ableitbar. [mm] $\mathbf [/mm] n = 1 + [mm] \ldots [/mm] + 1$ ('$n$ Summanden'; hier steht die Symbolisierung in ZFC z.B. ist 1 + 1 eine Abkürzung für [mm] $\{\emptyset, \{\emptyset\}\} [/mm] $). Jetzt solltest Du mir sagen, wie [mm] $\mathbb [/mm] N$ in $U$ zu interpretieren ist. Falls [mm] $\mathbb [/mm] N$ eine Nichtstandardzahl $c$ enthält, musst Du erklären, was [mm] $\mathbf [/mm] c$ in ZFC ist. Andernfalls gibt es, nach Annahme, eine endliche Ableitung für [mm] $\exists x\colon x\not=x$ [/mm] in $U$, was zu dem Widerspruch führt, dass $U$ ZFC erfüllt.
Jetz verstehst Du wahrscheinlich, warum ich anfangs mit dem Konstantensymbol [mm] $\mathbf [/mm] c$ argumentiert habe.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Sa 02.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
> Du sagst, so wie ich es verstehe, dass aus der ZFC
> Konsistenz [mm]\textbf{nicht}[/mm] folgt, dass in jedem
> ZFC-Universum [mm]U[/mm] auch [mm]Con(ZFC)[/mm] wahr ist.
Jedenfalls folgt dies nicht in bewiesener Weise.
Und das reicht schon, damit der vermeintliche "Beweis" (ohne Zusatzannahme wie Annahme (B)) nicht mehr funktioniert.
Tatsächlich gilt sogar mehr:
Wenn es überhaupt ein ZFC-Universum $U$ gibt, dann auch ein ZFC-Universum $U'$ mit [mm] $U'\not\models [/mm] Con(ZFC)$. (**)
Beweis: Entweder [mm] $U\models [/mm] Con(ZFC)$ oder [mm] $U\not\models [/mm] Con(ZFC)$. Im letzteren Fall können wir $U':=U$ wählen. Im ersteren Fall folgt aus dem zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatz die Existenz eines ZFC-Modells $M$ in $U$ mit [mm] $M\not\models [/mm] Con(ZFC)$. Dann können wir $U':=M$ wählen. qed
> Also nehmen wir mal an, dass ZFC konsistent ist und ein
> Universum [mm]U[/mm] existiert in dem die Interpretation von
> [mm]Con(ZFC)[/mm] falsch ist.
Du versuchst also jetzt allen Ernstes zu beweisen, dass im Falle der tatsächlichen Konsistenz für jedes ZFC-Universum $U$ die Aussage [mm] $U\models [/mm] Con(ZFC)$ wahr ist?
Daraus WÜRDE dann zusammen mit Aussage (**) folgen, dass es kein ZFC-Universum gibt.
Beweis: Angenommen es gäbe ein ZFC-Universum $U$. Dann ist insbesondere ZFC tatsächlich konsistent. Nach deiner Behauptung folgte [mm] $U'\models [/mm] Con(ZFC)$ für jedes ZFC-Universum $U'$. Nach (**) existiert wegen der Existenz von $U$ aber ein ZFC-Universum $U'$ mit [mm] $U'\not\models [/mm] Con(ZFC)$, Widerspruch. Also war die Annahme, es gäbe ein ZFC-Universum $U$ falsch.
> Der in [mm]Con(ZFC) \equiv \neg \exists y \varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, y)[/mm]
> benutzte Ausdruck [mm]\varphi(x,y)[/mm] repräsentiert die
> Ableitbarkeitsrelation [mm]A[/mm] in [mm]U[/mm].
Bisher habe ich offenbar missverstanden, was du mit [mm] $\varphi$ [/mm] meinst.
$y$ soll also gar nicht für die Codierung einer Formel(menge) stehen, sondern für die Codierung einer Ableitung von $x$ aus ZFC?
> Für alle [mm]m,n \in \mathbb N[/mm] gilt also:
Offenbar meinst du mit [mm] $\IN$ [/mm] hier die gewöhnlichen natürlichen Zahlen, nicht irgendein [mm] $\omega$ [/mm] für irgendein Mengenuniversum $U'$.
> Wenn [mm](m,n) \in A[/mm], so
> ist [mm]\varphi(\mathbf m, \mathbf n)[/mm] aus ZFC ableitbar und
> wenn [mm](m,n) \not \in A[/mm], so ist [mm]\varphi(\mathbf m, \mathbf n)[/mm]
> nicht aus ZFC ableitbar. [mm]\mathbf n = 1 + \ldots + 1[/mm] ('[mm]n[/mm]
> Summanden'; hier steht die Symbolisierung in ZFC z.B. ist 1
> + 1 eine Abkürzung für [mm]\{\emptyset, \{\emptyset\}\} [/mm]).
> Jetzt solltest Du mir sagen, wie [mm]\mathbb N[/mm] in [mm]U[/mm] zu
> interpretieren ist. Falls [mm]\mathbb N[/mm] eine Nichtstandardzahl
> [mm]c[/mm] enthält, musst Du erklären, was [mm]\mathbf c[/mm] in ZFC ist.
Wenn meine obige Interpretation von deinem [mm] $\IN$ [/mm] korrekt war, gibt es keine Nichtstandardzahlen in [mm] $\IN$.
[/mm]
[mm] ($\IN$ [/mm] hat dann nichts mit $U$ zu tun.)
> Andernfalls gibt es, nach Annahme, eine endliche Ableitung
> für [mm]\exists x\colon x\not=x[/mm] in [mm]U[/mm]
Eine $U$-endliche Ableitung von [mm] $\exists x\colon x\not=x$ [/mm] aus [mm] $ZFC_U$ [/mm] gibt es in $U$ nach Annahme [mm] $U\not\models [/mm] Con(ZFC)$, jedoch wegen der tatsächlichen Konsistenz von ZFC (die aus der Existenz von $U$ folgt) keine tatsächlich endliche Ableitung von [mm] $\exists x\colon x\not=x$ [/mm] aus $ZFC$.
> was zu dem Widerspruch
> führt, dass [mm]U[/mm] ZFC erfüllt.
Hier läge in der Tat ein Widerspruch vor, wenn ZFC tatsächlich inkonsistent wäre. Wir wissen aber nur, dass ZFC $U$-inkonsistent ist.
> Jetz verstehst Du wahrscheinlich, warum ich anfangs mit dem
> Konstantensymbol [mm]\mathbf c[/mm] argumentiert habe.
Ich verstehe jetzt zumindest endlich deine Formel [mm] $\varphi$ [/mm] wahrscheinlich nicht mehr falsch.
Einen Zusammenhang zwischen deinen Vermutungen in deiner ersten Antwort, was ich im Auge hätte, und der von mir beabsichtigten Argumentation kann ich jedoch nach wie vor nicht erkennen.
Falls ich darauf noch einmal mit meinem korrigierten Verständnis der Formel [mm] $\varphi$ [/mm] eingehen soll, gib mir bitte Bescheid.
Vielleicht ist das aber ohnehin irrelevant.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
Was soll das alles? Du vermutest alles mögliche, was ich angeblich sagen will, gehst aber nicht konkret auf meine wirklich ziemlich präzise gestellten Fragen ein.
> Hallo mathfunnel!
>
>
> > Du sagst, so wie ich es verstehe, dass aus der ZFC
> > Konsistenz [mm]\textbf{nicht}[/mm] folgt, dass in jedem
> > ZFC-Universum [mm]U[/mm] auch [mm]Con(ZFC)[/mm] wahr ist.
> Jedenfalls folgt dies nicht in bewiesener Weise.
Diesen Satz verstehe ich nicht.
> Und das reicht schon, damit der vermeintliche "Beweis"
> (ohne Zusatzannahme wie Annahme (B)) nicht mehr
> funktioniert.
>
> Tatsächlich gilt sogar mehr:
> Wenn es überhaupt ein ZFC-Universum [mm]U[/mm] gibt, dann auch ein
> ZFC-Universum [mm]U'[/mm] mit [mm]U'\not\models Con(ZFC)[/mm]. (**)
> Beweis: Entweder [mm]U\models Con(ZFC)[/mm] oder [mm]U\not\models Con(ZFC)[/mm].
> Im letzteren Fall können wir [mm]U':=U[/mm] wählen. Im ersteren
> Fall folgt aus dem zweiten Gödelschen
> Unvollständigkeitssatz die Existenz eines ZFC-Modells [mm]M[/mm] in
> [mm]U[/mm] mit [mm]M\not\models Con(ZFC)[/mm]. Dann können wir [mm]U':=M[/mm]
> wählen. qed
Ich habe absolut nichts gegenteiliges gesagt. Du solltest mal auf die Fragen, die ich Dir stelle, eingehen.
>
> > Also nehmen wir mal an, dass ZFC konsistent ist und ein
> > Universum [mm]U[/mm] existiert in dem die Interpretation von
> > [mm]Con(ZFC)[/mm] falsch ist.
> Du versuchst also jetzt allen Ernstes zu beweisen, dass im
> Falle der tatsächlichen Konsistenz für jedes
> ZFC-Universum [mm]U[/mm] die Aussage [mm]U\models Con(ZFC)[/mm] wahr ist?
Nicht im geringsten! Ich versuche Dich davon abzubringen, unkritisch jedem Universum eine Ableitbarkeitrelation zuzuschreiben, ohne sie zu definieren.
>
> Daraus WÜRDE dann zusammen mit Aussage (**) folgen, dass
> es kein ZFC-Universum gibt.
> Beweis: Angenommen es gäbe ein ZFC-Universum [mm]U[/mm]. Dann ist
> insbesondere ZFC tatsächlich konsistent. Nach deiner
> Behauptung folgte [mm]U'\models Con(ZFC)[/mm] für jedes
> ZFC-Universum [mm]U'[/mm]. Nach (**) existiert wegen der Existenz
> von [mm]U[/mm] aber ein ZFC-Universum [mm]U'[/mm] mit [mm]U'\not\models Con(ZFC)[/mm],
> Widerspruch. Also war die Annahme, es gäbe ein
> ZFC-Universum [mm]U[/mm] falsch.
>
>
> > Der in [mm]Con(ZFC) \equiv \neg \exists y \varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, y)[/mm]
> > benutzte Ausdruck [mm]\varphi(x,y)[/mm] repräsentiert die
> > Ableitbarkeitsrelation [mm]A[/mm] in [mm]U[/mm].
> Bisher habe ich offenbar missverstanden, was du mit
> [mm]\varphi[/mm] meinst.
> [mm]y[/mm] soll also gar nicht für die Codierung einer
> Formel(menge) stehen, sondern für die Codierung einer
> Ableitung von [mm]x[/mm] aus ZFC?
>
> > Für alle [mm]m,n \in \mathbb N[/mm] gilt also:
> Offenbar meinst du mit [mm]\IN[/mm] hier die gewöhnlichen
> natürlichen Zahlen, nicht irgendein [mm]\omega[/mm] für irgendein
> Mengenuniversum [mm]U'[/mm].
Ich habe jetzt langsam den Eindruck, dass Du gar nicht liest, was ich schreibe. Ich habe doch Dich gefragt, wie [mm] $\mathbb [/mm] N$ in $U$ zu interpretieren ist. Da Du scheinbar keine Ableitbarkeitsrelation in $U$ definieren willst, habe ich eine Vorlage geliefert.
> > Wenn [mm](m,n) \in A[/mm], so
> > ist [mm]\varphi(\mathbf m, \mathbf n)[/mm] aus ZFC ableitbar und
> > wenn [mm](m,n) \not \in A[/mm], so ist [mm]\varphi(\mathbf m, \mathbf n)[/mm]
> > nicht aus ZFC ableitbar. [mm]\mathbf n = 1 + \ldots + 1[/mm] ('[mm]n[/mm]
> > Summanden'; hier steht die Symbolisierung in ZFC z.B. ist 1
> > + 1 eine Abkürzung für [mm]\{\emptyset, \{\emptyset\}\} [/mm]).
> > Jetzt solltest Du mir sagen, wie [mm]\mathbb N[/mm] in [mm]U[/mm] zu
> > interpretieren ist. Falls [mm]\mathbb N[/mm] eine Nichtstandardzahl
> > [mm]c[/mm] enthält, musst Du erklären, was [mm]\mathbf c[/mm] in ZFC ist.
> Wenn meine obige Interpretation von deinem [mm]\IN[/mm] korrekt
> war, gibt es keine Nichtstandardzahlen in [mm]\IN[/mm].
> ([mm]\IN[/mm] hat dann nichts mit [mm]U[/mm] zu tun.)
>
> > Andernfalls gibt es, nach Annahme, eine endliche Ableitung
> > für [mm]\exists x\colon x\not=x[/mm] in [mm]U[/mm]
> Eine [mm]U[/mm]-endliche Ableitung von [mm]\exists x\colon x\not=x[/mm] aus
> [mm]ZFC_U[/mm] gibt es in [mm]U[/mm] nach Annahme [mm]U\not\models Con(ZFC)[/mm],
> jedoch wegen der tatsächlichen Konsistenz von ZFC (die aus
> der Existenz von [mm]U[/mm] folgt) keine tatsächlich endliche
> Ableitung von [mm]\exists x\colon x\not=x[/mm] aus [mm]ZFC[/mm].
>
> > was zu dem Widerspruch
> > führt, dass [mm]U[/mm] ZFC erfüllt.
> Hier läge in der Tat ein Widerspruch vor, wenn ZFC
> tatsächlich inkonsistent wäre. Wir wissen aber nur, dass
> ZFC [mm]U[/mm]-inkonsistent ist.
(Himmel, du editierst wieder nachträglich, so dass meine
Antworten darauf schon wieder überflüssig sind.)
>
>
> > Jetz verstehst Du wahrscheinlich, warum ich anfangs mit dem
> > Konstantensymbol [mm]\mathbf c[/mm] argumentiert habe.
> Ich verstehe jetzt zumindest endlich deine Formel [mm]\varphi[/mm]
> wahrscheinlich nicht mehr falsch.
> Einen Zusammenhang zwischen deinen Vermutungen in deiner
> ersten Antwort, was ich im Auge hätte, und der von mir
> beabsichtigten Argumentation kann ich jedoch nach wie vor
> nicht erkennen.
> Falls ich darauf noch einmal mit meinem korrigierten
> Verständnis der Formel [mm]\varphi[/mm] eingehen soll, gib mir
> bitte Bescheid.
> Vielleicht ist das aber ohnehin irrelevant.
Was die Formel [mm] $\varphi(x,y)$ [/mm] ist, habe ich doch wirklich mehrfach ausdrücklich gesagt: [mm] \textbf{Sie repräsentiert die Ableitbarkeitsrelation}. [/mm] Du definierst aber einfach keine Ableitbarkeitrelation in einem $U$ mit Nichtstandardzahlen, beharrst aber darauf, dass $Con(ZFC)$ definiert ist.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Ich hoffe, dass Du jetzt nicht wieder mit so viel Text antwortest, der nicht konkret auf meine Aussagen eingeht.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Sa 02.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
> Was soll das alles?
Huch...
> Du vermutest alles mögliche, was ich
> angeblich sagen will,
Ich versuche mein Bestes, deine Ausführungen zu verstehen.
Anscheinend in meiner letzten Frage mit geringem Erfolg.
Da ist es doch gut, dass du von mir falsch Verstandenes richtig stellen kannst.
> gehst aber nicht konkret auf meine
> wirklich ziemlich präzise gestellten Fragen ein.
Auch das ist nicht meine Absicht.
Deine einzigen Fragen in dieser Antwort, auf die ich hätte eingehen können, waren die nach der Bedeutung der von dir gebrauchten Symbolen [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\mathbf{c}$.
[/mm]
Da ich zumindest im Falle [mm] $\IN$ [/mm] offenbar missverstanden habe, was du damit meinst, ist mir offenbar keine dich befriedigende Antwort gelungen.
> > > Du sagst, so wie ich es verstehe, dass aus der ZFC
> > > Konsistenz [mm]\textbf{nicht}[/mm] folgt, dass in jedem
> > > ZFC-Universum [mm]U[/mm] auch [mm]Con(ZFC)[/mm] wahr ist.
> > Jedenfalls folgt dies nicht in bewiesener Weise.
>
> Diesen Satz verstehe ich nicht.
Sei (***) die Aussage
"Aus ZFC-Konsistenz folgt, dass in jedem ZFC-Universum $U$ auch $Con(ZFC)$ wahr ist."
Dann könnte (***) durchaus wahr sein (z.B. weil $ZFC$ inkonsistent ist oder weil es gar kein ZFC-Universum $U$ gibt).
Aber wir haben jedenfalls nicht bewiesen, dass (***) wahr ist und können somit nicht mit (***) argumentieren.
> > Und das reicht schon, damit der vermeintliche "Beweis"
> > (ohne Zusatzannahme wie Annahme (B)) nicht mehr
> > funktioniert.
> > > Also nehmen wir mal an, dass ZFC konsistent ist und ein
> > > Universum [mm]U[/mm] existiert in dem die Interpretation von
> > > [mm]Con(ZFC)[/mm] falsch ist.
> > Du versuchst also jetzt allen Ernstes zu beweisen, dass im
> > Falle der tatsächlichen Konsistenz für jedes
> > ZFC-Universum [mm]U[/mm] die Aussage [mm]U\models Con(ZFC)[/mm] wahr ist?
>
> Nicht im geringsten!
Dann ist es doch gut, dass du das klarstellen konntest.
Ich war zu dieser irrtümlichen Annahme gekommen, da du mit "Also nehmen wir mal an," gefolgt vom Gegenteil der vermeintlichen Behauptung gestartet warst und mit "was zu dem Widerspruch führt" endetest. Das sah für mich also wie ein Beweis der vermeintlichen Behauptung durch einen Widerspruchsbeweis aus.
> Ich versuche Dich davon abzubringen,
> unkritisch jedem Universum eine Ableitbarkeitrelation
> zuzuschreiben, ohne sie zu definieren.
Wir sind uns einig, dass es eine Formel [mm] $\varphi'(x,y)$ [/mm] gibt, die für
"Die durch $x$ codierte Formel ist aus der durch $y$ codierten (rekursiv aufzählbaren) Formelmenge ableitbar."
steht?
Das ist natürlich eine unpräzise Beschreibung von [mm] $\varphi'(x,y)$, [/mm] aber ich hoffe, wir sind uns trotzdem einig, wie [mm] $\varphi'(x,y)$ [/mm] zu verstehen ist?
(Du benutzt ja auch eine Formel [mm] $\varphi$ [/mm] für "die Ableitbarkeitsrelation", ohne [mm] $\varphi$ [/mm] konkret anzugeben.)
Dann sei eine Formel [mm] $\rho$ [/mm] aus einer rekursiv aufzählbaren Formelmenge [mm] $\Sigma$ [/mm] $U$-ableitbar, wenn
[mm] $U\models \varphi'(\mathbf{n}^\rho,\mathbf{n}^\Sigma)$
[/mm]
gilt.
> > > Der in [mm]Con(ZFC) \equiv \neg \exists y \varphi(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x}, y)[/mm]
> > > benutzte Ausdruck [mm]\varphi(x,y)[/mm] repräsentiert die
> > > Ableitbarkeitsrelation [mm]A[/mm] in [mm]U[/mm].
> > Bisher habe ich offenbar missverstanden, was du mit
> > [mm]\varphi[/mm] meinst.
> > [mm]y[/mm] soll also gar nicht für die Codierung einer
> > Formel(menge) stehen, sondern für die Codierung einer
> > Ableitung von [mm]x[/mm] aus ZFC?
> >
> > > Für alle [mm]m,n \in \mathbb N[/mm] gilt also:
> > Offenbar meinst du mit [mm]\IN[/mm] hier die gewöhnlichen
> > natürlichen Zahlen, nicht irgendein [mm]\omega[/mm] für irgendein
> > Mengenuniversum [mm]U'[/mm].
>
> Ich habe jetzt langsam den Eindruck, dass Du gar nicht
> liest, was ich schreibe.
Natürlich lese ich das, was du schreibst.
Anscheinend nicht mit dem gewünschten Erfolg.
OK, du meinst also mit [mm] $\IN$ [/mm] nicht die gewöhnlichen natürlichen Zahlen, sondern [mm] $\omega_U$?
[/mm]
> Ich habe doch Dich gefragt, wie
> [mm]\mathbb N[/mm] in [mm]U[/mm] zu interpretieren ist.
Wie soll ich dir erklären, was du mit [mm] $\IN$ [/mm] "in U" meinst? Vermutlich meinst du [mm] $\omega_U$, [/mm] also die kleinste Limesordinalzahl in $U$?
> Da Du scheinbar keine
> Ableitbarkeitsrelation in [mm]U[/mm] definieren willst, habe ich
> eine Vorlage geliefert.
Achso, das war mir nicht klar.
Nett, dass du mir versuchst zu einer präzisen Definition der $U$-Ableitbarkeit zu verhelfen, aber dazu fehlt es ja nur an einer expliziten Angabe der Formel [mm] $\varphi'$. [/mm] Indem du statt ihr eine genauso wenig explizit angegebene Formel [mm] $\varphi$ [/mm] nutzt, löst du dieses Problem ja nicht.
> > > Wenn [mm](m,n) \in A[/mm], so
> > > ist [mm]\varphi(\mathbf m, \mathbf n)[/mm] aus ZFC ableitbar und
> > > wenn [mm](m,n) \not \in A[/mm], so ist [mm]\varphi(\mathbf m, \mathbf n)[/mm]
> > > nicht aus ZFC ableitbar. [mm]\mathbf n = 1 + \ldots + 1[/mm] ('[mm]n[/mm]
> > > Summanden'; hier steht die Symbolisierung in ZFC z.B. ist 1
> > > + 1 eine Abkürzung für [mm]\{\emptyset, \{\emptyset\}\} [/mm]).
Du versuchst also nun, die Relation $A$ durch die Formel [mm] $\varphi$ [/mm] zu definieren?
> > > Jetzt solltest Du mir sagen, wie [mm]\mathbb N[/mm] in [mm]U[/mm] zu
> > > interpretieren ist. Falls [mm]\mathbb N[/mm] eine Nichtstandardzahl
> > > [mm]c[/mm] enthält, musst Du erklären, was [mm]\mathbf c[/mm] in ZFC ist.
Mit meinem neuen Interpretationsversuch von [mm] $\IN$ [/mm] als [mm] $\omega_U$ [/mm] kann [mm] $\IN$ [/mm] natürlich in der Tat Nichtstandardzahlen $c$ enthalten.
Aber das ändert doch nichts an den festen Formeln [mm] $\varphi'$ [/mm] und $Con(ZFC)$.
Warum muss ich erklären, was du mit [mm] "$\mathbf [/mm] c$ in ZFC" meinst?
> > > Andernfalls gibt es, nach Annahme, eine endliche Ableitung
> > > für [mm]\exists x\colon x\not=x[/mm] in [mm]U[/mm]
> > Eine [mm]U[/mm]-endliche Ableitung von [mm]\exists x\colon x\not=x[/mm]
> aus
> > [mm]ZFC_U[/mm] gibt es in [mm]U[/mm] nach Annahme [mm]U\not\models Con(ZFC)[/mm],
> > jedoch wegen der tatsächlichen Konsistenz von ZFC (die aus
> > der Existenz von [mm]U[/mm] folgt) keine tatsächlich endliche
> > Ableitung von [mm]\exists x\colon x\not=x[/mm] aus [mm]ZFC[/mm].
> >
> > > was zu dem Widerspruch
> > > führt, dass [mm]U[/mm] ZFC erfüllt.
> > Hier läge in der Tat ein Widerspruch vor, wenn ZFC
> > tatsächlich inkonsistent wäre. Wir wissen aber nur, dass
> > ZFC [mm]U[/mm]-inkonsistent ist.
>
> (Himmel, du editierst wieder nachträglich, so dass meine
> Antworten darauf schon wieder überflüssig sind.)
Sorry, ich habe nachträglich etwas besser verstanden, was du meintest und daher die damit überflüssigen Nachfragen durch eine passendere Bemerkung ersetzt.
> > > Jetz verstehst Du wahrscheinlich, warum ich anfangs mit dem
> > > Konstantensymbol [mm]\mathbf c[/mm] argumentiert habe.
> > Ich verstehe jetzt zumindest endlich deine Formel
> [mm]\varphi[/mm]
> > wahrscheinlich nicht mehr falsch.
> > Einen Zusammenhang zwischen deinen Vermutungen in
> deiner
> > ersten Antwort, was ich im Auge hätte, und der von mir
> > beabsichtigten Argumentation kann ich jedoch nach wie vor
> > nicht erkennen.
> > Falls ich darauf noch einmal mit meinem korrigierten
> > Verständnis der Formel [mm]\varphi[/mm] eingehen soll, gib mir
> > bitte Bescheid.
> > Vielleicht ist das aber ohnehin irrelevant.
>
> Was die Formel [mm]\varphi(x,y)[/mm] ist, habe ich doch wirklich
> mehrfach ausdrücklich gesagt: [mm]\textbf{Sie repräsentiert die Ableitbarkeitsrelation}.[/mm]
Jetzt bin ich doch wieder verunsichert, ob ich dein [mm] $\varphi$ [/mm] nun richtig verstanden habe.
Auch mein googeln nach "Ableitbarkeitsrelation" brachte keinen Erfolg.
Steht [mm] $\varphi(x,y)$ [/mm] für "$x$ ist ableitbar aus $y$" oder für "$y$ ist eine Ableitung von $x$ aus ZFC" oder für noch etwas anderes?
Ich erwarte natürlich nicht, dass du [mm] $\varphi(x,y)$ [/mm] explizit hinschreibst.
> Du definierst aber einfach keine Ableitbarkeitrelation in
> einem [mm]U[/mm] mit Nichtstandardzahlen, beharrst aber darauf,
> dass [mm]Con(ZFC)[/mm] definiert ist.
[mm] $Con(ZFC)\equiv\neg\varphi'(\mathbf{n}^{\exists x\colon x\not=x},\mathbf{n}^{ZFC})$ [/mm] ist ja auch eine konkrete Formel in der Sprache der Mengenlehre und nicht von $U$ abhängig.
(Ich war davon ausgegangen, dass dir die Formel $Con(ZFC)$ hinlänglich bekannt war. Die Bezeichnung $Con(ZFC)$ wird häufig verwendet, aber nur selten explizit als Formel definiert.)
> Ich hoffe, dass Du jetzt nicht wieder mit so viel Text
> antwortest, der nicht konkret auf meine Aussagen eingeht.
Ich habe mich bemüht.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
> > Da Du scheinbar keine
> > Ableitbarkeitsrelation in $ U $ definieren willst, habe ich
> > eine Vorlage geliefert.
> Achso, das war mir nicht klar.
> Nett, dass du mir versuchst zu einer präzisen Definition der $ U $-
> Ableitbarkeit zu verhelfen, aber dazu fehlt es ja nur an einer expliziten
> Angabe der Formel $ [mm] \varphi' [/mm] $. Indem du statt ihr eine genauso wenig
> explizit angegebene Formel $ [mm] \varphi [/mm] $ nutzt, löst du dieses Problem ja
> nicht.
Mein [mm] $\varphi$ [/mm] repräsentiert die 'Ableitbarkeitsrelation' und bei deren Repräsentierbarkeit muss der Fall von Nichtstandardzahlen [mm] \textbf{nicht} [/mm] berücksichtigt werden. Du übernimmst [mm] $\varphi$ [/mm] bzw. [mm] $\varphi'$ [/mm] in ein Universum mit Nichtstandardzahlen', aber dort kann [mm] $\varphi$ [/mm] nicht die Ableitbarkeitsrelation repräsentieren, solange nicht definiert ist, was Repräsentierbarkeit einer Relation [mm] $\subseteq \mathbb [/mm] N [mm] \times \mathbb [/mm] N$ ist. (Dabei nenne ich die "Interpretation [mm] $\mathbb \omega_U$" [/mm] von [mm] $\mathbb \omega$ [/mm] wieder [mm] $\mathbb [/mm] N$.)
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:27 So 03.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
> Du definierst aber einfach keine Ableitbarkeitrelation in
> einem [mm]U[/mm] mit Nichtstandardzahlen, beharrst aber darauf,
> dass [mm]Con(ZFC)[/mm] definiert ist.
Um zu demonstrieren, dass zumindest die Formel $Con(ZFC)$ kein von mir erfundenes Hirngespinst ist, zitiere ich mal wörtlich eine Erklärung dazu von ![[]](/images/popup.gif) Andres Caicedo, einem Associate Professor mit Interessenschwerpunkt Mengenlehre:
"Recall that Con(T) is an arithmetic (in fact [mm] $\Pi_1^0$) [/mm] statement whenever T is recursively enumerable; for example, Con(ZFC) is the statement "no n codes a formal proof of 0=1 from the axioms of ZFC"."
Wenn du möchtest, kannst du den Begriff der $U$-Ableitbarkeit ignorieren, solange dir klar ist (und ich glaube, das ist es dir), dass aus tatsächlicher Konsistenz von $ZFC$ eben nicht in bewiesener Weise [mm] $U\models [/mm] Con(ZFC)$ (äquivalent nach dem Vollständigkeitssatz: $U$ enthält ein $ZFC$-Modell $M$) für jedes ZFC-Universum $U$ folgt.
Also können wir selbst bei tatsächlicher Konsistenz von ZFC nicht einfach ein $ZFC$-Modell $M$ in einem ZFC-Universum $U$ als existent annehmen.
Damit bricht aber die Argumentation zusammen, dass aus tatsächlicher Konsistenz von ZFC die von ZFC+CH folge, da sich aus einem ZFC-Modell $M$ eines von $ZFC+CH$ konstruieren lässt.
Ist dies nun verständlich für dich?
Falls nicht, bitte ich dich konkret darauf einzugehen, was hieran nicht verständlich ist.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
Dadurch, dass Du Deine Texte auf drei Fragen verteilst, wird die Gesamttextlänge nicht unbedingt geringer 
> Hallo mathfunnel!
>
>
> > Du definierst aber einfach keine Ableitbarkeitrelation in
> > einem [mm]U[/mm] mit Nichtstandardzahlen, beharrst aber darauf,
> > dass [mm]Con(ZFC)[/mm] definiert ist.
> Um zu demonstrieren, dass zumindest die Formel [mm]Con(ZFC)[/mm]
> kein von mir erfundenes Hirngespinst ist, zitiere ich mal
> wörtlich eine Erklärung dazu von
> Andres Caicedo, einem
> Associate Professor mit Interessenschwerpunkt Mengenlehre:
>
> "Recall that Con(T) is an arithmetic (in fact [mm]\Pi_1^0[/mm])
> statement whenever T is recursively enumerable; for
> example, Con(ZFC) is the statement "no n codes a formal
> proof of 0=1 from the axioms of ZFC"."
Ich habe Dich doch gebeten, nicht ständig wilde Vermutungen zu äußern.
Ich habe mit keinem Wort bezweifelt, dass [mm] \textbf{Con(ZFC)} [/mm] ein präziser ZFC -Ausdruck ist. In diesem Ausdruck 'steckt' der Ausdruck [mm] $\varphi$, [/mm] der die Ableitbarkeitsrelation in unserem naiven mathematischen Universum, dessen natürliche Zahlen keine Nichtstandard Zahlen enthalten, repräsentiert.
> Wenn du möchtest, kannst du den Begriff der
> [mm]U[/mm]-Ableitbarkeit ignorieren, solange dir klar ist (und ich
> glaube, das ist es dir), dass aus tatsächlicher Konsistenz
> von [mm]ZFC[/mm] eben nicht in bewiesener Weise [mm]U\models Con(ZFC)[/mm]
> (äquivalent nach dem Vollständigkeitssatz: [mm]U[/mm] enthält ein
> [mm]ZFC[/mm]-Modell [mm]M[/mm]) für jedes ZFC-Universum [mm]U[/mm] folgt.
>
> Also können wir selbst bei tatsächlicher Konsistenz von
> ZFC nicht einfach ein [mm]ZFC[/mm]-Modell [mm]M[/mm] in einem ZFC-Universum [mm]U[/mm]
> als existent annehmen.
>
> Damit bricht aber die Argumentation zusammen, dass aus
> tatsächlicher Konsistenz von ZFC die von ZFC+CH folge, da
> sich aus einem ZFC-Modell [mm]M[/mm] eines von [mm]ZFC+CH[/mm] konstruieren
> lässt.
Dir ist möglicherweis nicht klar, dass [mm] \textbf{Con(ZFC)} [/mm] in einem Universum, dessen natürliche Zahlen [mm] $\mathbb N^U$ [/mm] (U-Interpretation von [mm] $\omega$ [/mm] in ZFC)
Nichtstandardzahlen enthalten, die [mm] \textbf{Nichterfüllbarkeit} [/mm] von [mm] \textbf{Con(ZFC)} [/mm] erst dann etwas für eine 'Ableitbarkeit in diesem Universum' bedeuten könnte, wenn ein dem Ausdruck [mm] $\varphi$ [/mm] entsprechender Ausdruck auch für dieses Universum definiert wäre und in [mm] \textbf{Con(ZFC)} [/mm] benutzt würde. Du redest schließlich von 'undendlichen Ableitungen', die von Dir weder in $U$ definiert, noch in ZFC formalisiert sind. Die Ableitbarkeistrelation in $U$
müßte wenigsten auch für Nichtstandardzahlen definiert sein, um einen Ausdruck zu gewinnen, der auch (die zu definierenden) 'undendlichen Ableitungen' repräsentieren könnte.
Welche Bedeutung soll also "$U [mm] \not \models \textbf{Con(ZFC)}$ [/mm] für Gödels Beweis haben?
'Universen' wie $U$ sagen [mm] \textbf{nicht direkt} [/mm] etwas über Mathematik oder Modelle aus, sondern sie liefern nur interessante 'Stukturen', die vielleicht auch dazu führen könnten unsere naive Vorstellung über ein 'mathematisches Universum' anzupassen. Aber diese zukünftige mögliche Anpassung unserer Vorstellung, hat keine Auswirkung auf die Korrektheit von Gödels Beweis,
da der Modellbegriff mathematisch exakt definiert ist. Deshalb vermute ich, dass Du die Möglichkeit in Betracht ziehst,
dass die Mathematik widerspruchsvoll sein könnte, obwohl ZFC korrekt sein könnte. Eine sich daraus ergebende eher philosophische statt mathematische Frage ist dann: Was soll Korrektheit von ZFC unter der Voraussetzung bedeuten, dass die Mathematik widerspruchsvoll ist? ZFC ist eine durch und durch mathematische Konstruktion (Aufbau der Sprache, [mm] \ldots). [/mm]
> Ist dies nun verständlich für dich?
> Falls nicht, bitte ich dich konkret darauf einzugehen, was
> hieran nicht verständlich ist.
Die Botschaft hör' ich wohl, allein mir fehlt der Glaube.
LG mathfunnel
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 03.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
> > > Du definierst aber einfach keine Ableitbarkeitrelation in
> > > einem [mm]U[/mm] mit Nichtstandardzahlen, beharrst aber darauf,
> > > dass [mm]Con(ZFC)[/mm] definiert ist.
> > Um zu demonstrieren, dass zumindest die Formel [mm]Con(ZFC)[/mm]
> > kein von mir erfundenes Hirngespinst ist, zitiere ich mal
> > wörtlich eine Erklärung dazu von
> > Andres Caicedo, einem
> > Associate Professor mit Interessenschwerpunkt Mengenlehre:
> >
> > "Recall that Con(T) is an arithmetic (in fact [mm]\Pi_1^0[/mm])
> > statement whenever T is recursively enumerable; for
> > example, Con(ZFC) is the statement "no n codes a formal
> > proof of 0=1 from the axioms of ZFC"."
>
> Ich habe Dich doch gebeten, nicht ständig wilde
> Vermutungen zu äußern.
> Ich habe mit keinem Wort bezweifelt, dass
> [mm]\textbf{Con(ZFC)}[/mm] ein präziser ZFC -Ausdruck ist.
Du hattest geschrieben, ich beharrte "aber" darauf, dass $Con(ZFC)$ definiert sei.
Dies hatte ich so verstanden, dass du $Con(ZFC)$ für nicht definiert hieltest.
Darin sehe ich keine "wilde" Vermutung.
OK, dann sind wir doch damit einen Schritt weiter, wenn wir uns einig sind, dass $Con(ZFC)$ ein präziser ZFC-Ausdruck ist und mein Beharren darauf nicht fehl am Platze ist.
Grundsätzlich: Nur wenn ich schreibe, wie ich deine Ausführungen verstehe, kannst du gegebenenfalls falsche Interpretationen meinerseits korrigieren.
Daher halte ich es nicht für hilfreich, wenn du jedes zu Tage tretende Missverständnis als Äußerung einer wilden Vermutung geißelst.
Wenn also in meinem Text ein solches Missverständnis zutage tritt, sie dies doch mal eher als Chance, das Missverständnis zu beseitigen.
> In
> diesem Ausdruck 'steckt' der Ausdruck [mm]\varphi[/mm], der die
> Ableitbarkeitsrelation in unserem naiven mathematischen
> Universum, dessen natürliche Zahlen keine Nichtstandard
> Zahlen enthalten, repräsentiert.
(Mir fehlt ja der feste Glaube an ein naives mathematisches Mengen-Universum ohne Nichtstandardzahlen.)
Wir sind uns auch einig, dass [mm] $\varphi$ [/mm] eine präzise Formel in der nur aus dem [mm] $\in$-Symbol [/mm] bestehenden Sprache der Mengenlehre ist?
> Dir ist möglicherweis nicht klar, dass [mm]\textbf{Con(ZFC)}[/mm]
> in einem Universum, dessen natürliche Zahlen [mm]\mathbb N^U[/mm]
> (U-Interpretation von [mm]\omega[/mm] in ZFC)
> Nichtstandardzahlen enthalten, die
> [mm]\textbf{Nichterfüllbarkeit}[/mm]
Mit "Nichterfüllbarkeit" meinst du hier "Nichterfülltsein", also [mm] $U\not\models [/mm] Con(ZFC)$, oder?
> von [mm]\textbf{Con(ZFC)}[/mm] erst
> dann etwas für eine 'Ableitbarkeit in diesem Universum'
> bedeuten könnte, wenn ein dem Ausdruck [mm]\varphi[/mm]
> entsprechender Ausdruck auch für dieses Universum
> definiert wäre und in [mm]\textbf{Con(ZFC)}[/mm] benutzt würde.
[mm] $\varphi$ [/mm] ist doch eine feste, nicht von $U$ abhängige Formel.
Sie muss also gar nicht für jedes ZFC-Universum $U$ neu definiert werden.
Im Übrigen habe ich in der von dir gerade beantworteten Frage bewusst die Ableitbarkeitsbegriffe völlig außen vor gelassen. Also müsstest du eigentlich meine Argumentation in dieser Frage auch verstehen können, wenn du den Begriff der $U$-Ableitbarkeit noch nicht verstehst bzw. ihn komplett in Frage stellst.
> Du
> redest schließlich von 'undendlichen Ableitungen', die von
> Dir weder in [mm]U[/mm] definiert, noch in ZFC formalisiert sind.
In der von dir beantworteten Frage habe ich mit keiner Silbe von einer unendlichen Ableitung geredet.
Wenn du trotzdem eine Erklärung hierzu suchst: Ich redete nur von tatsächlich unendlichen Ableitungen, die aber natürlich $U$-endlich sind.
Es ist ja gerade der tatsächliche Endlichkeitsbegriff, der im Gegensatz zum $U$-Endlichkeitsbegriff nicht in ZFC formalisierbar ist.
> Die Ableitbarkeistrelation in [mm]U[/mm]
> müßte wenigsten auch für Nichtstandardzahlen definiert
> sein, um einen Ausdruck zu gewinnen, der auch (die zu
> definierenden) 'undendlichen Ableitungen' repräsentieren
> könnte.
Wie gesagt: Wir nehmen einfach die feste Formel [mm] $\varphi$.
[/mm]
An ihr nehmen wir keine Veränderungen für Nichtstandardzahlen vor.
> Welche Bedeutung soll also "[mm]U \not \models \textbf{Con(ZFC)}[/mm]
> für Gödels Beweis haben?
Die, dass es in $U$ kein ZFC-Modell $M$ gibt.
Wir würden also irgendeinen anderen Weg benötigen, um an ein ZFC-Modell $M$ innerhalb eines Mengenuniversums $U$ zu gelangen.
> 'Universen' wie [mm]U[/mm] sagen [mm]\textbf{nicht direkt}[/mm] etwas über
> Mathematik oder Modelle aus, sondern sie liefern nur
> interessante 'Stukturen', die vielleicht auch dazu führen
> könnten unsere naive Vorstellung über ein 'mathematisches
> Universum' anzupassen. Aber diese zukünftige mögliche
> Anpassung unserer Vorstellung, hat keine Auswirkung auf die
> Korrektheit von Gödels Beweis,
> da der Modellbegriff mathematisch exakt definiert ist.
Der Modellbegriff ist mathematisch exakt definiert?
Er hängt doch von dem Mengenuniversum $U$ ab, in dem wir den Modellbegriff betrachten.
> Deshalb vermute ich, dass Du die Möglichkeit in Betracht
> ziehst,
> dass die Mathematik widerspruchsvoll sein könnte,
Was meinst du mit "der Mathematik"?
> obwohl
> ZFC korrekt sein könnte.
Mit korrekt meinst du hier "tatsächlich konsistent"?
> Eine sich daraus ergebende eher
> philosophische statt mathematische Frage ist dann: Was soll
> Korrektheit von ZFC unter der Voraussetzung bedeuten, dass
> die Mathematik widerspruchsvoll ist? ZFC ist eine durch und
> durch mathematische Konstruktion (Aufbau der Sprache,
> [mm]\ldots).[/mm]
Mit der Frage, ob "die Mathematik" widerspruchsvoll ist, kann ich wenig anfangen.
Was ich tatsächlich für möglich halte, ist dass ZFC tatsächlich konsistent ist, aber die Annahme der Existenz eines ZFC-Universums (oder erst Recht eines ohne Nichtstandardzahlen) zu Widersprüchen führen könnte.
> > Ist dies nun verständlich für dich?
> > Falls nicht, bitte ich dich konkret darauf einzugehen,
> was
> > hieran nicht verständlich ist.
>
> Die Botschaft hör' ich wohl, allein mir fehlt der Glaube.
An welchem meiner drei Schritte zweifelst du denn?
1.
> > Wenn du möchtest, kannst du den Begriff der
> > [mm]U[/mm]-Ableitbarkeit ignorieren, solange dir klar ist (und ich
> > glaube, das ist es dir), dass aus tatsächlicher Konsistenz
> > von [mm]ZFC[/mm] eben nicht in bewiesener Weise [mm]U\models Con(ZFC)[/mm]
> > (äquivalent nach dem Vollständigkeitssatz: [mm]U[/mm] enthält ein
> > [mm]ZFC[/mm]-Modell [mm]M[/mm]) für jedes ZFC-Universum [mm]U[/mm] folgt.
2.
> > Also können wir selbst bei tatsächlicher Konsistenz von
> > ZFC nicht einfach ein [mm]ZFC[/mm]-Modell [mm]M[/mm] in einem ZFC-Universum [mm]U[/mm]
> > als existent annehmen.
3.
> > Damit bricht aber die Argumentation zusammen, dass aus
> > tatsächlicher Konsistenz von ZFC die von ZFC+CH folge, da
> > sich aus einem ZFC-Modell [mm]M[/mm] eines von [mm]ZFC+CH[/mm] konstruieren
> > lässt.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
2.
> > Also können wir selbst bei tatsächlicher Konsistenz von
> > ZFC nicht einfach ein $ ZFC $-Modell $ M $ in einem ZFC-Universum $ U $
> > als existent annehmen.
Diese Aussage ist ohne eine Definition von 'Modell in $U$' keine exakte mathematische Aussage.
Ein Modell ist ein Struktur 'im Standarduniversum'. Du sagst einfach nicht, was ein 'Modell in $U$' bedeuten soll, wenn $U$ nicht das 'Standarduniversum' ist.
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mo 04.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
Danke für dein präzises Einhaken!
> 2.
> > > Also können wir selbst bei tatsächlicher Konsistenz von
> > > ZFC nicht einfach ein [mm]ZFC [/mm]-Modell [mm]M[/mm] in einem ZFC-Universum
> [mm]U[/mm]
> > > als existent annehmen.
>
> Diese Aussage ist ohne eine Definition von 'Modell in [mm]U[/mm]'
> keine exakte mathematische Aussage.
>
> Ein Modell ist ein Struktur 'im Standarduniversum'. Du
> sagst einfach nicht, was ein 'Modell in [mm]U[/mm]' bedeuten soll,
> wenn [mm]U[/mm] nicht das 'Standarduniversum' ist.
Du hast mich bisher auch nicht danach gefragt.
Dass in der Definition eines Modells irgendwo das Wort "Standarduniversum" auftauchen soll, ist mir neu.
Genauso, wie mir die Annahme eines "Standarduniversums" (was auch immer das genau ist...) per se neu ist.
Ich wäre daher bisher gar nicht auf die Idee gekommen, in einer Modell-Definition zwischen einem "Standarduniversum" und einem anderen Universum zu unterscheiden.
Eine solche Unterscheidung (die natürlich unpräzise ist, solange nicht klar ist, was ein "Standarduniversum" ist) ist auch eigentlich völlig überflüssig.
Da dir aber dieser Punkt unklar zu sein scheint, erkläre ich ihn an der entscheidenden Definition:
Eine Struktur in der Sprache der Mengenlehre ist eine nichtleere Menge $V$ zusammen mit einer Menge [mm] $\in^V$, [/mm] die [mm] $\in^V\subseteq V^2$ [/mm] erfüllt.
Was bedeuten hierin die Wörter "Menge" und die Aussage [mm] "$\in^V\subseteq V^2$"?
[/mm]
Wir setzen ein (beliebiges) ZFC-Mengenuniversum $U$ voraus. Im Sinne dieses Universums haben wir einen Mengenbegriff und einen Begriff des kartesischen Produktes [mm] $V^2$ [/mm] und einen Teilmengenbegriff.
Ist der Struktur-Begriff, wie ich ihn verstehe, für dich nun klarer?
Falls ich etwas präzisieren soll, frag bitte konkret nach!
Wenn du die "Existenz" eines "Standarduniversums" annimmst, musst du aus meiner Sicht diese (unpräzise) Annahme als Voraussetzung von darauf aufbauenden Überlegungen explizit erwähnen.
FALLS du darüber hinaus annimmst, in diesem "Standarduniversum" gebe es keine Nichtstandardzahlen, nimmst du also die (unpräzise) Annahme (B) an.
Unter dieser Annahme folgt in der Tat aus der tatsächlichen Konsistenz von ZFC die von ZFC+CH.
Nur ist dann diese Annahme (die ungleich stärker als nur die tatsächliche Konsistenz von ZFC ist) explizit als Voraussetzung zu nennen.
Mein Kernpunkt der Kritik ist gar nicht die Verwendung einer unpräzisen Annahme (der Annahme (B)), sondern das Nichterwähnen dieser Annahme.
Ist meine Kritik nun für dich nachvollziehbar?
Wenn nicht: Was siehst du anders?
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo mathfunnel!
>
>
> Danke für dein präzises Einhaken!
Bitte.
>
> > 2.
> > > > Also können wir selbst bei tatsächlicher Konsistenz von
> > > > ZFC nicht einfach ein [mm]ZFC [/mm]-Modell [mm]M[/mm] in einem ZFC-Universum
> > [mm]U[/mm]
> > > > als existent annehmen.
> >
> > Diese Aussage ist ohne eine Definition von 'Modell in [mm]U[/mm]'
> > keine exakte mathematische Aussage.
> >
> > Ein Modell ist ein Struktur 'im Standarduniversum'. Du
> > sagst einfach nicht, was ein 'Modell in [mm]U[/mm]' bedeuten soll,
> > wenn [mm]U[/mm] nicht das 'Standarduniversum' ist.
> Du hast mich bisher auch nicht danach gefragt.
Indirekt schon, indem ich beispielsweise nach der, von Dir in dieser Diskussion für überflüssig gehaltenen, Ableitung(srelation) innerhalb eines Universums mit Nichtstandardzahlen gefragt habe.
> Dass in der Definition eines Modells irgendwo das Wort
> "Standarduniversum" auftauchen soll, ist mir neu.
Das taucht nur auf, weil [mm] \textbf{Du} [/mm] glaubst von Universen sprechen zu müssen und ist natürlich rein informell.
> Genauso, wie mir die Annahme eines "Standarduniversums"
> (was auch immer das genau ist...) per se neu ist.
Auch das ist nur informell und bedeutet, dass wir hier von
metasprachlichen Objekten reden.
> Ich wäre daher bisher gar nicht auf die Idee gekommen, in
> einer Modell-Definition zwischen einem "Standarduniversum"
> und einem anderen Universum zu unterscheiden.
Und ich wäre gar nicht auf die Idee gekommen, in einer Modell-Definition überhaupt ein Universum zu erwähnen.
> Eine solche Unterscheidung (die natürlich unpräzise ist,
> solange nicht klar ist, was ein "Standarduniversum" ist)
> ist auch eigentlich völlig überflüssig.
Die unpräzise Universumsdiskussion ist überflüssig, aber nicht ihre Bedeutung.
>
> Da dir aber dieser Punkt unklar zu sein scheint, erkläre
> ich ihn an der entscheidenden Definition:
Dieser Punkt ist mir nicht unklar.
> Eine Struktur in der Sprache der Mengenlehre ist eine
> nichtleere Menge [mm]V[/mm] zusammen mit einer Menge [mm]\in^V[/mm], die
> [mm]\in^V\subseteq V^2[/mm] erfüllt.
In dieser Definition kommt kein Wort über ein Universum vor.
>
> Was bedeuten hierin die Wörter "Menge" und die Aussage
> "[mm]\in^V\subseteq V^2[/mm]"?
> Wir setzen ein (beliebiges)
> ZFC-Mengenuniversum [mm]U[/mm] voraus. Im Sinne dieses Universums
> haben wir einen Mengenbegriff und einen Begriff des
> kartesischen Produktes [mm]V^2[/mm] und einen Teilmengenbegriff.
Nein, haben wir nicht. Ein ZFC-Modell (das ist u.a. auch eine Struktur) ist ein metasprachliches Objekt oder ein Objekt der Hintergrundmengenlehre (HML). Das hat nur
informell und anschaulich etwas mit einem 'Universum' zu tun. Wir haben hier den Mengenbegriff der HML.
> Ist der Struktur-Begriff, wie ich ihn verstehe, für dich
> nun klarer?
> Falls ich etwas präzisieren soll, frag bitte konkret
> nach!
>
>
> Wenn du die "Existenz" eines "Standarduniversums" annimmst,
> musst du aus meiner Sicht diese (unpräzise) Annahme als
> Voraussetzung von darauf aufbauenden Überlegungen explizit
> erwähnen.
Ich setzte kein 'Standarduniversum' voraus. Das ist nur informell, und bedeutet, dass mathematische Sätze, Sätze der Metasprache (bzw. der HML) sind.
> FALLS du darüber hinaus annimmst, in diesem
> "Standarduniversum" gebe es keine Nichtstandardzahlen,
> nimmst du also die (unpräzise) Annahme (B) an.
In der HML gibt es keine Nichtstandardzahlen innerhalb von [mm] $\mathbb [/mm] N$. Wenn Du metasprachlich Nichtstandardzahlen [mm] $\in \mathbb [/mm] N$ zulassen willst, musst Du beispieslweise erklären, was eine Ableitung (Beweis) ist und ob sie repräsentierbar ist, und wenn ja, wie. Schließlich sprechen wir über ZFC in einer Metasprache, die, beispielsweise bei der Repräsentierbarkeit, von 'naiven natürlichen Zahlen' ausgeht.
> Unter dieser Annahme folgt in der Tat aus der
> tatsächlichen Konsistenz von ZFC die von ZFC+CH.
> Nur ist dann diese Annahme (die ungleich stärker als nur
> die tatsächliche Konsistenz von ZFC ist) explizit als
> Voraussetzung zu nennen.
> Mein Kernpunkt der Kritik ist gar nicht die Verwendung
> einer unpräzisen Annahme (der Annahme (B)), sondern das
> Nichterwähnen dieser Annahme.
Das 'Nichterwähnen dieser Annahme' bedeutet wohl nicht mehr, als nicht zu sagen, dass Mathematik in Metasprache betrieben wird.
> Ist meine Kritik nun für dich nachvollziehbar?
Nein.
> Wenn nicht: Was siehst du anders?
Siehe oben.
Ich denke, dass Du die Sache deutlicher siehst, wenn Du
konkret versuchst Mathematik mit ZFC unter der Annahme zu formalisieren, dass die Menge der natürlichen Zahlen Nichtstandardzahlen enthält. (Wobei wir wieder bei meiner ersten Antwort wären.)
>
> Viele Grüße
> Tobias
LG mathfunnel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:15 So 10.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo!
Vielen Dank, mathfunnel, für dein ausführliches Eingehen auf meine Fragen!
Ich bin nun zu einer neuen Sichtweise auf die relativen Konsistenzbeweise gekommen, die ohne Annahme eines (Standard-)Universums auskommt.
Bevor ich diese Sichtweise schildere, herzlichen Dank an Al-Chwarizmi und besonders dich, mathfunnel für die entscheidenden Gedankenanstöße dafür!
Hier die Sichtweise:
Wir arbeiten mit einem nicht in der Prädikatenlogik formulierbaren Axiomensystem, das ich [mm] $ZFC_\IN$ [/mm] nennen möchte und das aus den ZFC-Axiomen und folgendem zusätzlichen Axiom besteht:
[mm] ($\IN$-Axiom) [/mm] Die kleinste Limesordinalzahl [mm] $\omega$ [/mm] enthält keine Nichtstandardzahlen.
Die relativen Konsistenzbeweise (als Beweise von relativer TATSÄCHLICHER Konsistenz) können nun als Beweise auf Grundlage von [mm] $ZFC_\IN$ [/mm] betrachtet werden.
Das [mm] $\IN$-Axiom [/mm] ist für so gut wie sämtliche heutige Mathematik überflüssig, es wird nicht für die Argumentationen benötigt.
Wohl aus diesem Grunde (und wegen der Nichtformulierbarkeit in der Prädikatenlogik) bin ich diesem Axiom noch nirgendwo begegnet.
Wenn wir relative Konsistenzbeweise jedoch auf Grundlage dieses Axioms als Beweise tatsächlicher relativer Konsistenz interpretieren wollen, halte ich es für zwingend erforderlich, dieses (nicht-Standard-)Axiom explizit zu erwähnen!
Nun zur entscheidenden Frage: Könnte nach wie vor ZFC tatsächlich konsistent und ZFC+CH tatsächlich inkonsistent sein?
Ich sage: Ja.
Dann lassen sich eben aus [mm] $ZFC_\IN$ [/mm] falsche Aussagen über natürliche Zahlen herleiten (und damit ist [mm] $ZFC_\IN$ [/mm] widersprüchlich).
Es ist ja durchaus denkbar, dass ZFC tatsächlich konsistent ist, aber die Annahme von [mm] $ZFC_\IN$ [/mm] zu Widersprüchen führt.
Auch in diesem Fall folgt zwar aus [mm] $ZFC_\IN$ [/mm] die relative tatsächliche Konsistenz von $ZFC+CH$ zu $ZFC$, aber das bedeutet eben dann nicht tatsächlich die relative tatsächliche Konsistenz von $ZFC+CH$ zu $ZFC$.
> In der HML gibt es keine Nichtstandardzahlen innerhalb von
> [mm]\mathbb N[/mm].
Du nimmst also das offenbar das [mm] $\IN$-Axiom [/mm] an. Ich finde, das musst du explizit erwähnen. Denn dieses Axiom ist kein "üblicherweise verwendetes Standard-Axiom".
> Wenn Du metasprachlich Nichtstandardzahlen [mm]\in \mathbb N[/mm]
> zulassen willst, musst Du beispieslweise erklären, was
> eine Ableitung (Beweis) ist
Die Definition einer Ableitung braucht nur ZFC, nicht das [mm] $\IN$-Axiom. [/mm] Es gibt also keinen Grund, die Definition ohne Annahme des [mm] $\IN$-Axioms [/mm] abzuändern.
> und ob sie repräsentierbar
> ist, und wenn ja, wie. Schließlich sprechen wir über ZFC
> in einer Metasprache, die, beispielsweise bei der
> Repräsentierbarkeit, von 'naiven natürlichen Zahlen'
> ausgeht.
Ich rede ja gar nicht von Repräsentierbarkeit. Von daher stellt sich diese Frage für mich nicht.
> > Mein Kernpunkt der Kritik ist gar nicht die Verwendung
> > einer unpräzisen Annahme (der Annahme (B)), sondern das
> > Nichterwähnen dieser Annahme.
>
> Das 'Nichterwähnen dieser Annahme' bedeutet wohl nicht
> mehr, als nicht zu sagen, dass Mathematik in Metasprache
> betrieben wird.
Und eben die Annahme des [mm] $\IN$-Axioms [/mm] in der Metasprache.
> Ich denke, dass Du die Sache deutlicher siehst, wenn Du
> konkret versuchst Mathematik mit ZFC unter der Annahme zu
> formalisieren, dass die Menge der natürlichen Zahlen
> Nichtstandardzahlen enthält.
Außerhalb der mathematischen Logik benötigen wir wie gesagt in der heutigen Mathematik gar nicht das [mm] $\IN$-Axiom. [/mm] Die dortigen Definitionen und Argumentationen funktionieren unabhängig davon, ob [mm] $\omega$ [/mm] Nichtstandardzahlen enthält oder nicht. Daher ist außerhalb der mathematischen Logik gar keine Fallunterscheidung danach nötig, ob [mm] $\omega$ [/mm] Nichtstandardzahlen enthält oder nicht.
Nochmal vielen Dank für die viele Zeit, die du, mathfunnel, für mich investiert hast!
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Sa 02.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal!
> Wir benötigen für den "Beweis", dass aus tatsächlicher
> Konsistenz von [mm]ZFC[/mm] die von [mm]ZFC+CH[/mm] folge, ein ZFC-Modell [mm]M[/mm]
> innerhalb eines [mm]ZFC[/mm]-Mengenuniversums [mm]U[/mm].
> (Die Existenz eines [mm]ZFC[/mm]-Mengenuniversums [mm]U[/mm] ist schon eine
> unpräzise Annahme, die allerdings immerhin noch schwächer
> als (B) ist.)
>
> Dieses Modell [mm]M[/mm] soll uns der Vollständigkeitssatz
> liefern.
> Um ihn aber anwenden zu können, muss [mm]ZFC[/mm] aber schon
> [mm]U[/mm]-konsistent sein.
> Aus der tatsächlichen Konsistenz von [mm]ZFC[/mm] folgt aber gar
> nicht in naheliegender Weise die [mm]U[/mm]-Konsistenz von [mm]ZFC[/mm].
>
> Nun habe ich dich so verstanden, dass du dieses Problem mit
> Annahme (B) "lösen" möchtest, also mit der Annahme der
> Existenz eines [mm]ZFC[/mm]-Universums [mm]U[/mm] ohne Nichtstandardzahlen,
> für das also insbesondere [mm]U[/mm]-Konsistenz und tatsächliche
> Konsistenz zusammenfallen.
> Dann gäbe es natürlich gemäß Vollständigkeitssatz das
> gewünschte [mm]ZFC[/mm]-Modell [mm]M[/mm] in [mm]U[/mm].
>
>
> Falls ich deine Argumentation falsch verstanden haben
> sollte, schildere bitte, wie du stattdessen zu einem
> [mm]ZFC[/mm]-Modell [mm]M[/mm] in einem Mengenuniversum [mm]U[/mm] gelangen möchtest
> oder wie die gesamte Argumentation auch ohne ein [mm]ZFC[/mm]-Modell
> [mm]M[/mm] in einem Mengenuniversum [mm]U[/mm] auskommt.
Ich würde mich freuen, wenn du noch folgende Fragen beantworten würdest:
Habe ich deine Argumentation, dass aus tatsächlicher Konsistenz von ZFC die von ZFC+CH folge, oben falsch wiedergegeben?
Wenn ja: Wie willst du stattdessen argumentieren?
Falls du dabei mit einem ZFC-Modell $M$ innerhalb eines Mengenuniversums $U$ argumentieren möchtest: Wie willst du zu so einem ZFC-Modell $M$ gelangen?
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
> Hallo nochmal!
>
>
> > Wir benötigen für den "Beweis", dass aus tatsächlicher
> > Konsistenz von [mm]ZFC[/mm] die von [mm]ZFC+CH[/mm] folge, ein ZFC-Modell [mm]M[/mm]
> > innerhalb eines [mm]ZFC[/mm]-Mengenuniversums [mm]U[/mm].
> > (Die Existenz eines [mm]ZFC[/mm]-Mengenuniversums [mm]U[/mm] ist schon
> eine
> > unpräzise Annahme, die allerdings immerhin noch schwächer
> > als (B) ist.)
> >
> > Dieses Modell [mm]M[/mm] soll uns der Vollständigkeitssatz
> > liefern.
> > Um ihn aber anwenden zu können, muss [mm]ZFC[/mm] aber schon
> > [mm]U[/mm]-konsistent sein.
> > Aus der tatsächlichen Konsistenz von [mm]ZFC[/mm] folgt aber
> gar
> > nicht in naheliegender Weise die [mm]U[/mm]-Konsistenz von [mm]ZFC[/mm].
> >
> > Nun habe ich dich so verstanden, dass du dieses Problem mit
> > Annahme (B) "lösen" möchtest, also mit der Annahme der
> > Existenz eines [mm]ZFC[/mm]-Universums [mm]U[/mm] ohne Nichtstandardzahlen,
> > für das also insbesondere [mm]U[/mm]-Konsistenz und tatsächliche
> > Konsistenz zusammenfallen.
> > Dann gäbe es natürlich gemäß Vollständigkeitssatz
> das
> > gewünschte [mm]ZFC[/mm]-Modell [mm]M[/mm] in [mm]U[/mm].
> >
> >
> > Falls ich deine Argumentation falsch verstanden haben
> > sollte, schildere bitte, wie du stattdessen zu einem
> > [mm]ZFC[/mm]-Modell [mm]M[/mm] in einem Mengenuniversum [mm]U[/mm] gelangen möchtest
> > oder wie die gesamte Argumentation auch ohne ein [mm]ZFC[/mm]-Modell
> > [mm]M[/mm] in einem Mengenuniversum [mm]U[/mm] auskommt.
> Ich würde mich freuen, wenn du noch folgende Fragen
> beantworten würdest:
>
> Habe ich deine Argumentation, dass aus tatsächlicher
> Konsistenz von ZFC die von ZFC+CH folge, oben falsch
> wiedergegeben?
>
> Wenn ja: Wie willst du stattdessen argumentieren?
>
> Falls du dabei mit einem ZFC-Modell [mm]M[/mm] innerhalb eines
> Mengenuniversums [mm]U[/mm] argumentieren möchtest: Wie willst du
> zu so einem ZFC-Modell [mm]M[/mm] gelangen?
Pardon, ich bin erst jetzt dazu gekommen, zu antworten.
Ein ZFC-Modell ist eine [mm] $\{\in\}$-Interpretation, [/mm] mit der Eigenschaft, dass bei dieser Interpretation, die ZFC Axiome in wahre Aussagen übergehen.
Was ist Deiner Meinung nach 'Wahrheit in einem beliebigen Universum'?
Ich benutze den in der Mathematik üblichen Wahrheitsbegriff.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
LG mathfunnel
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Hallo Tobias,
ich habe eure Diskussion mit Interesse und hie
und da mit gewissem Stirnrunzeln verfolgt.
Der axiomatische Aufbau der Mengenlehre und der
Zahlenbereiche ist ein Thema, mit dem ich mich vor
langer Zeit während meines Studiums auch befasst
habe bzw. befassen musste. Ein "Hirsch" war ich in
diesen Bereichen zwar eher nicht, interessiert bin
ich daran aber auch heute noch etwa so sehr wie an
der Frage, wie es endlich möglich werden könnte,
die wichtigsten Basistheorien der Physik (Quanten-
physik und Allg. Relativität) zu vereinigen bzw.
in einer neuen Theorie zu transzendieren.
Seither bin ich - so weit ich das selber überhaupt
beurteilen darf - einigermaßen erfolgreich mit den
verschiedensten mathematischen Themen auf ver-
schiedenen Stufen umgegangen. Dass aber die
gängigen Theorien keine ausreichende und klare
Charakterisierung der Menge [mm] \IN [/mm] der natürlichen
Zahlen liefern sollen, ist mir auch nach längerer
und neuerlicher Beschäftigung mit solchen Fragen
(eben auch angeregt durch deine Diskussionen
darüber) nicht wirklich einleuchtend geworden.
Nun bin ich zu diesem Thema auf einen interessanten
Artikel gestoßen, über den es sich wohl zu sprechen
lohnen würde:
Johann Cigler
Ein Satz daraus:
"Die gesamte Mathematik auf einem Begriff aufzubauen,
von dem man nicht sagen kann, was er inhaltlich bedeutet,
empfinde ich als schizophren." (Seite 4, oben)
Ich finde, dass Cigler eine ganze Reihe guter Argumente
dafür vorbringt, axiomatische Grundlegungen wenigstens
gründlich zu hinterfragen.
Eine Diskussion darüber könnte natürlich Anlass sein,
einen neuen Thread zu eröffnen.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:06 Sa 02.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al-Chwarizmi!
Danke auch für deinen Beitrag!
> ich habe eure Diskussion mit Interesse und hie
> und da mit gewissem Stirnrunzeln verfolgt.
> Der axiomatische Aufbau der Mengenlehre und der
> Zahlenbereiche ist ein Thema, mit dem ich mich vor
> langer Zeit während meines Studiums auch befasst
> habe bzw. befassen musste. Ein "Hirsch" war ich in
> diesen Bereichen zwar eher nicht, interessiert bin
> ich daran aber auch heute noch etwa so sehr wie an
> der Frage, wie es endlich möglich werden könnte,
> die wichtigsten Basistheorien der Physik (Quanten-
> physik und Allg. Relativität) zu vereinigen bzw.
> in einer neuen Theorie zu transzendieren.
Was genau hat das Stirnrunzeln bei dir ausgelöst?
In der Diskussion hier geht es ja darum, ob wir ausschließen können, dass gleichzeitig ZFC widerspruchsfrei und ZFC+CH (ZFC+Kontinuumshypothese) nicht widerspruchsfrei ist.
Ist für dich diese Fragestellung schon Grund für das Stirnrunzeln oder eher der Umgang mit dieser Fragestellung?
> Seither bin ich - so weit ich das selber überhaupt
> beurteilen darf - einigermaßen erfolgreich mit den
> verschiedensten mathematischen Themen auf ver-
> schiedenen Stufen umgegangen. Dass aber die
> gängigen Theorien keine ausreichende und klare
> Charakterisierung der Menge [mm]\IN[/mm] der natürlichen
> Zahlen liefern sollen, ist mir auch nach längerer
> und neuerlicher Beschäftigung mit solchen Fragen
> (eben auch angeregt durch deine Diskussionen
> darüber) nicht wirklich einleuchtend geworden.
Warum sollte ZFC denn eine Charakterisierung der gewöhnlichen natürlichen Zahlen liefern?
> Nun bin ich zu diesem Thema auf einen interessanten
> Artikel gestoßen, über den es sich wohl zu sprechen
> lohnen würde:
>
> Johann Cigler
>
> Ein Satz daraus:
>
> "Die gesamte Mathematik auf einem Begriff aufzubauen,
> von dem man nicht sagen kann, was er inhaltlich bedeutet,
> empfinde ich als schizophren." (Seite 4, oben)
Ich sehe keinen Widerspruch zwischen axiomatischer Mengenlehre und der intuitiven Rechtfertigung der Axiome (vielleicht abgesehen vom Fundierungsaxiom) durch naive Mengenlehre.
Daher sehe ich das Problem nicht ganz.
> Ich finde, dass Cigler eine ganze Reihe guter Argumente
> dafür vorbringt, axiomatische Grundlegungen wenigstens
> gründlich zu hinterfragen.
Ich sehe keinen Grund dafür.
Axiomatische Grundlegungen schließen inhaltliche Motivationen doch nicht aus.
Die [mm] "$\IN$-Problematik" [/mm] deutet für mich darauf hin, dass wir eben schon die intuitiven natürlichen Zahlen nicht vollständig axiomatisch erfassen können.
Das schließt aber nicht aus, gewisses "Wissen" über die intuitiven natürlichen Zahlen axiomatisch zu erfassen und mit diesen Axiomen zu arbeiten.
> Eine Diskussion darüber könnte natürlich Anlass sein,
> einen neuen Thread zu eröffnen.
Das habe ich getan. Er ist hier (klick) zu finden.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
> > ich habe eure Diskussion mit Interesse und hie
> > und da mit gewissem Stirnrunzeln verfolgt.
> > Der axiomatische Aufbau der Mengenlehre und der
> > Zahlenbereiche ist ein Thema, mit dem ich mich vor
> > langer Zeit während meines Studiums auch befasst
> > habe ....
.....
> Was genau hat das Stirnrunzeln bei dir ausgelöst?
> In der Diskussion hier geht es ja darum, ob wir
> ausschließen können, dass gleichzeitig ZFC
> widerspruchsfrei und ZFC+CH (ZFC+Kontinuumshypothese)
> nicht widerspruchsfrei ist.
>
> Ist für dich diese Fragestellung schon Grund für das
> Stirnrunzeln oder eher der Umgang mit dieser
> Fragestellung?
Das waren nicht bzw. nicht nur kritische, sondern in
erster Linie von Anstrengung kündende Runzeln ...
.....
.....
> > Dass aber die gängigen Theorien keine ausreichende
> > und klare Charakterisierung der Menge [mm]\IN[/mm] der
> > natürlichenZahlen liefern sollen, ist mir auch nach
> > längerer und neuerlicher Beschäftigung mit solchen
> > Fragen (eben auch angeregt durch deine Diskussionen
> > darüber) nicht wirklich einleuchtend geworden.
> Warum sollte ZFC denn eine Charakterisierung der
> gewöhnlichen natürlichen Zahlen liefern?
Nun, bis vor kurzer Zeit bin ich eigentlich immer davon
ausgegangen, dass es eines der wichtigsten Ziele auch
eines axiomatischen Aufbaus der Mengenlehre sei,
die grundlegenden Objekte der Zahlentheorie, nämlich
eben die natürlichen Zahlen sowie auch die Menge [mm] \IN
[/mm]
auf eindeutige Weise zu charakterisieren bzw. in einem
bis auf Isomorphie eindeutigen Modell zu repräsentieren.
Auch war ich der Meinung, dass dies durch die Konstruk-
tion nach dem Muster
0:={}
1:={0}
2:={0,1}
etc.
und mit Unendlichkeitsaxiom und Aussonderungsaxiom
realisiert sei. Siehe den Abschnitt 5 (Unendlich-
keitsaxiom) in diesem Artikel: Axiome.
Da wird die Konstruktion der Menge [mm] \IN [/mm] so erläutert:
Es gibt viele derartige (induktive) Mengen. Der
Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit
diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natür-
lichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt
durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s.u.).
Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch
[mm] $\blue{\mathbb{N}\,:=\, \{ \varnothing, \, \{\varnothing\}, \, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}, \, \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\} \, ,\ldots \}}$ [/mm]
....
> Die "[mm]\IN[/mm]-Problematik" deutet für mich darauf hin,
> dass wir eben schon die intuitiven natürlichen Zahlen nicht
> vollständig axiomatisch erfassen können.
> Das schließt aber nicht aus, gewisses "Wissen" über die
> intuitiven natürlichen Zahlen axiomatisch zu erfassen und
> mit diesen Axiomen zu arbeiten.
Nun ja, ich frage mich, ob ich die [mm] "$\IN$ [/mm] - Problematik" noch
wirklich gar nicht richtig erfasst habe ...
Nur eine kleine Frage noch: könntest du mir eine einzige
"Nichtstandard-Zahl" angeben, die also nach intuitiver
Vorstellung nicht zu [mm] \IN [/mm] gehört, nach axiomatischer aber
schon ?
Gruß , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Mi 06.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Das war für mich der Höhepunkt, aber auch das Ende der Fahnenstange, als in der Logik Vorlesung gezeigt wurde, dass die natürlichen Zahlen nicht bis auf Isomorphie eindeutig darstellbar sind.
Dann habe ich beschlossen, dass ich auch ohne festen Boden weiterleben kann.
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> Das war für mich der Höhepunkt, aber auch das Ende der
> Fahnenstange, als in der Logik Vorlesung gezeigt wurde,
> dass die natürlichen Zahlen nicht bis auf Isomorphie
> eindeutig darstellbar sind.
> Dann habe ich beschlossen, dass ich auch ohne festen Boden
> weiterleben kann.
Hallo chrisno,
danke für die tröstliche Nachricht. Einen ähn-
lichen Trost könnte man vielleicht den Milliarden
von Menschen spenden, welche sich schon bemüht
haben, "in den Himmel" zu kommen. Richtig besehen
sind wir doch eigentlich allesamt schon längst da:
in einem ohne wesentliche Abweichungen unendlichen
Kosmos oder "Universum", dessen Weiten, Abgründe
und Wunder einen noch schwindliger machen können
als alle noch so (anscheinend oder echt) verrückten
axiomatischen Konstruktionen der Mathematiker ...
Gruß , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Do 07.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al-Chwarizmi!
> > Warum sollte ZFC denn eine Charakterisierung der
> > gewöhnlichen natürlichen Zahlen liefern?
>
> Nun, bis vor kurzer Zeit bin ich eigentlich immer davon
> ausgegangen, dass es eines der wichtigsten Ziele auch
> eines axiomatischen Aufbaus der Mengenlehre sei,
> die grundlegenden Objekte der Zahlentheorie, nämlich
> eben die natürlichen Zahlen sowie auch die Menge [mm]\IN[/mm]
> auf eindeutige Weise zu charakterisieren bzw. in einem
> bis auf Isomorphie eindeutigen Modell zu repräsentieren.
Nun, wenn wir irgendein festes ZFC-Mengenuniversum (d.h. einen ZFC-Mengenbegriff) fixieren, gibt es darin auch eine bis auf Isomorphie eindeutige den Peano-Axiomen genügende Menge.
Das Problem ist, dass diese Menge Nichtstandardzahlen enthalten kann (das hängt vom Mengenuniversum ab).
> Auch war ich der Meinung, dass dies durch die Konstruk-
> tion nach dem Muster
>
> 0:={}
> 1:={0}
> 2:={0,1}
> etc.
>
> und mit Unendlichkeitsaxiom und Aussonderungsaxiom
> realisiert sei.
Das Problem ist, dass das Aussonderungsaxiom sozusagen nur erlaubt, durch Formeln darstellbare Teilmengen auszusondern. Und die Gesamtheit der Standardzahlen ist leider nicht durch eine Formel darstellbar.
> Siehe den Abschnitt 5 (Unendlich-
> keitsaxiom) in diesem Artikel:
> Axiome.
> Da wird die Konstruktion der Menge [mm]\IN[/mm] so erläutert:
>
>
> Es gibt viele derartige (induktive) Mengen. Der
> Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit
> diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natür-
> lichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt
> durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s.u.).
> Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch
>
> [mm]\blue{\mathbb{N}\,:=\, \{ \varnothing, \, \{\varnothing\}, \, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}, \, \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\} \, ,\ldots \}}[/mm]
Ich finde irreführend, dass suggeriert wird, es handele sich bei der so konstruierten Menge um die intuitive Menge der natürlichen Zahlen.
Auch die (unpräzisen) Pünktchen untermauern diese falsche Vorstellung.
> > Die "[mm]\IN[/mm]-Problematik" deutet für mich darauf hin,
> > dass wir eben schon die intuitiven natürlichen Zahlen
> nicht
> > vollständig axiomatisch erfassen können.
> > Das schließt aber nicht aus, gewisses "Wissen" über
> die
> > intuitiven natürlichen Zahlen axiomatisch zu erfassen und
> > mit diesen Axiomen zu arbeiten.
>
> Nun ja, ich frage mich, ob ich die "[mm]\IN[/mm] - Problematik"
> noch
> wirklich gar nicht richtig erfasst habe ...
>
> Nur eine kleine Frage noch: könntest du mir eine einzige
> "Nichtstandard-Zahl" angeben, die also nach intuitiver
> Vorstellung nicht zu [mm]\IN[/mm] gehört, nach axiomatischer aber
> schon ?
Ich kann nicht ausschließen, dass es auch ein ZFC-Universum ohne Nichtstandardzahlen gibt.
Angenommen es gibt überhaupt ein ZFC-Universum. Dann kannst du JEDES Objekt zu einer Nichtstandardzahl in einem geeigneten ZFC-Universum machen.
(Beachte: Die ZFC-Axiome sagen ja nicht, was eine Menge ist. Also kann z.B. auch jedes Objekt die Rolle der leeren Menge einnehmen.)
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo Al-Chwarizmi!
>
>
> > > Warum sollte ZFC denn eine Charakterisierung der
> > > gewöhnlichen natürlichen Zahlen liefern?
> >
> > Nun, bis vor kurzer Zeit bin ich eigentlich immer davon
> > ausgegangen, dass es eines der wichtigsten Ziele auch
> > eines axiomatischen Aufbaus der Mengenlehre sei,
> > die grundlegenden Objekte der Zahlentheorie, nämlich
> > eben die natürlichen Zahlen sowie auch die Menge [mm]\IN[/mm]
> > auf eindeutige Weise zu charakterisieren bzw. in einem
> > bis auf Isomorphie eindeutigen Modell zu repräsentieren.
> Nun, wenn wir irgendein festes ZFC-Mengenuniversum (d.h.
> einen ZFC-Mengenbegriff) fixieren, gibt es darin auch eine
> bis auf Isomorphie eindeutige den Peano-Axiomen genügende
> Menge.
> Das Problem ist, dass diese Menge Nichtstandardzahlen
> enthalten kann (das hängt vom Mengenuniversum ab).
>
>
> > Auch war ich der Meinung, dass dies durch die Konstruk-
> > tion nach dem Muster
> >
> > 0:={}
> > 1:={0}
> > 2:={0,1}
> > etc.
> >
> > und mit Unendlichkeitsaxiom und Aussonderungsaxiom
> > realisiert sei.
> Das Problem ist, dass das Aussonderungsaxiom sozusagen nur
> erlaubt, durch Formeln darstellbare Teilmengen
> auszusondern. Und die Gesamtheit der Standardzahlen ist
> leider nicht durch eine Formel darstellbar.
>
>
> > Siehe den Abschnitt 5 (Unendlich-
> > keitsaxiom) in diesem Artikel:
> >
> Axiome.
> > Da wird die Konstruktion der Menge [mm]\IN[/mm] so erläutert:
> >
> >
> > Es gibt viele derartige (induktive) Mengen. Der
> > Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit
> > diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natür-
> > lichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt
> > durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s.u.).
> > Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch
> >
> > [mm]\blue{\mathbb{N}\,:=\, \{ \varnothing, \, \{\varnothing\}, \, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}, \, \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\} \, ,\ldots \}}[/mm]
>
> Ich finde irreführend, dass suggeriert wird, es handele
> sich bei der so konstruierten Menge um die intuitive Menge
> der natürlichen Zahlen.
>
> Auch die (unpräzisen) Pünktchen untermauern diese falsche
> Vorstellung.
>
>
> > > Die "[mm]\IN[/mm]-Problematik" deutet für mich darauf hin,
> > > dass wir eben schon die intuitiven natürlichen Zahlen
> > nicht
> > > vollständig axiomatisch erfassen können.
> > > Das schließt aber nicht aus, gewisses "Wissen" über
> > die
> > > intuitiven natürlichen Zahlen axiomatisch zu erfassen und
> > > mit diesen Axiomen zu arbeiten.
> >
> > Nun ja, ich frage mich, ob ich die "[mm]\IN[/mm] - Problematik"
> > noch
> > wirklich gar nicht richtig erfasst habe ...
> >
> > Nur eine kleine Frage noch: könntest du mir eine einzige
> > "Nichtstandard-Zahl" angeben, die also nach intuitiver
> > Vorstellung nicht zu [mm]\IN[/mm] gehört, nach axiomatischer
> aber
> > schon ?
> Ich kann nicht ausschließen, dass es auch ein
> ZFC-Universum ohne Nichtstandardzahlen gibt.
>
> Angenommen es gibt überhaupt ein ZFC-Universum. Dann
> kannst du JEDES Objekt zu einer Nichtstandardzahl in einem
> geeigneten ZFC-Universum machen.
> (Beachte: Die ZFC-Axiome sagen ja nicht, was eine Menge
> ist. Also kann z.B. auch jedes Objekt die Rolle der leeren
> Menge einnehmen.)
Hallo Tobias,
ich denke, dass genau in deiner letzten Klammerbemerkung
der dicke Wurm steckt, der ZFC eben nach meiner Sichtweise
so wurmstichig macht.
Wenn wir von der Forderung ausgehen, dass jede Menge
eindeutig durch ihre Elemente bestimmt ist (Extensionalitäts-
axiom) , dann sollte es doch auch nur genau eine leere
Menge geben. Falls diese Eindeutigkeit der leeren Menge
durch ZFC nicht gegeben sein sollte (wie du das offenbar
sagst), warum hat man dann noch nicht längst ein
entsprechendes Axiom dazugefügt, um eben die Zahlen
durch ein eindeutiges Modell zu repräsentieren ?
Gruß , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Do 07.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al-Chwarizmi!
> > Angenommen es gibt überhaupt ein ZFC-Universum. Dann
> > kannst du JEDES Objekt zu einer Nichtstandardzahl in einem
> > geeigneten ZFC-Universum machen.
> > (Beachte: Die ZFC-Axiome sagen ja nicht, was eine Menge
> > ist. Also kann z.B. auch jedes Objekt die Rolle der leeren
> > Menge einnehmen.)
> ich denke, dass genau in deiner letzten Klammerbemerkung
> der dicke Wurm steckt, der ZFC eben nach meiner
> Sichtweise
> so wurmstichig macht.
> Wenn wir von der Forderung ausgehen, dass jede Menge
> eindeutig durch ihre Elemente bestimmt ist
> (Extensionalitäts-
> axiom) , dann sollte es doch auch nur genau eine leere
> Menge geben.
Genau aus diesem Grunde gibt es auch in jedem einzelnen ZFC-Universum nur eine leere Menge. Nur wenn wir verschiedene ZFC-Universen vergleichen, werden diese im Allgemeinen verschiedene Objekte als leere Menge haben.
> Falls diese Eindeutigkeit der leeren Menge
> durch ZFC nicht gegeben sein sollte (wie du das offenbar
> sagst), warum hat man dann noch nicht längst ein
> entsprechendes Axiom dazugefügt, um eben die Zahlen
> durch ein eindeutiges Modell zu repräsentieren ?
Die Frage ist, wie dieses Axiom aussehen könnte. Es sollte ja sagen, dass es in unseren Universen keine Nichtstandardzahlen gibt. Das lässt sich leider nicht (wie die ZFC-Axiome) durch Formeln ausdrücken. Wohl daher verzichtet man üblicherweise auf ein solches Axiom.
Ich persönlich würde es gutheißen, würde man ein solches nicht Formel-darstellbares Axiom zu den ZFC-Axiomen hinzufügen. Auch wenn nicht auszuschließen ist, dass ein solches zusätzliches Axiom die Konsistenz von ZFC kaputtmachen würde. Genauer gesagt ist nicht einmal der Konsistenzbegriff für eine solche ZFC-Erweiterung klar. Aber damit muss man wohl leben, wenn man die gewöhnlichen natürlichen Zahlen zur Verfügung haben will.
Ich vermute, dass vielen ein solches nicht durch Formeln darstellbares zusätzliches Axiom zu unpräzise wäre. Ich selbst finde es gerade noch hinreichend präzise, da wir alle eine sehr konkrete Vorstellung von "den" natürlichen Zahlen haben.
Auf Grundlage eines solchen zusätzlichen Axioms würde auch die tatsächliche Konsistenz von ZFC+CH folgen. Aber dazu muss man dieses Axiom explizit aufnehmen. Was ich kritisiere ist die implizite Verwendung eines derartigen Axioms für eine Hintergrundmengenlehre ohne es explizit vorauszusetzen.
Viele Grüße
Tobias
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> Genau aus diesem Grunde gibt es auch in jedem einzelnen
> ZFC-Universum nur eine leere Menge. Nur wenn wir
> verschiedene ZFC-Universen vergleichen, werden diese im
> Allgemeinen verschiedene Objekte als leere Menge haben.
Kann man denn zwischen solchen "Universen" nicht eine
Art von (Isomorphie-)Abbildungen einrichten, welche
Null-treu sind, also die leere Menge des einen auf die
leere Menge des anderen abbilden ?
Hallo Tobias,
für mich klingt dies jetzt allerdings nicht nur ein wenig,
sondern eher extrem schizophren.
Wird da nicht einfach so getan, als ob jede Menge, auch
die leere Menge, noch gewisse (und anscheinend beliebig
viele) nicht wirklich vorstellbare und noch weniger
beschreibbare Phantom-Geschwister habe ?
Ich möchte da an den Witz erinnern, der etwa so geht:
Ein armer Schlucker möchte zu seinem Schnaps auch
etwas essen. An der Menutafel angeschrieben steht:
"Käsebrot 1€80" und "Salamibrot 2€20" . Dafür reicht
jedoch seine Barschaft nicht aus. Er fragt deshalb, was
denn ein Käsebrot ohne Käse koste. Antwort: 60 Cent.
Und was kostet ein Salamibrot ohne Salami ? 80 Cent.
Er bestellt deshalb ein Salamibrot ohne Salami,
denn das kann er sich gerade ganz knapp noch leisten,
aber es ist dann doch immerhin ein "Salamibrot".
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Fr 08.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al-Chwarizmi!
> > Genau aus diesem Grunde gibt es auch in jedem einzelnen
> > ZFC-Universum nur eine leere Menge. Nur wenn wir
> > verschiedene ZFC-Universen vergleichen, werden diese im
> > Allgemeinen verschiedene Objekte als leere Menge haben.
>
> Kann man denn zwischen solchen "Universen" nicht eine
> Art von (Isomorphie-)Abbildungen einrichten, welche
> Null-treu sind, also die leere Menge des einen auf die
> leere Menge des anderen abbilden ?
Verschiedene Universen müssen gar nicht (im anschaulichen Sinne) isomorph sein. Aber wenn [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] ZFC-Universen sind, kann man natürlich durch "Umbenennungen" aus [mm] $U_2$ [/mm] ein Universum [mm] $U_2'$ [/mm] erhalten, dessen leere Menge mit der von [mm] $U_1$ [/mm] übereinstimmt.
> für mich klingt dies jetzt allerdings nicht nur ein
> wenig,
> sondern eher extrem schizophren.
Verschiedene Gruppen haben im Allgemeinen auch verschiedene neutrale Elemente und jedes Objekt lässt sich zu einem neutralen Element einer geeigneten Gruppe machen. Findest du das auch schizophren?
> Wird da nicht einfach so getan, als ob jede Menge, auch
> die leere Menge, noch gewisse (und anscheinend beliebig
> viele) nicht wirklich vorstellbare und noch weniger
> beschreibbare Phantom-Geschwister habe ?
Es macht ja auch keine Probleme, dass verschiedene Gruppen verschiedene neutrale Elemente haben können.
Außerdem arbeitet man ja normalerweise mit einem festen ZFC-Universum. Dessen leere Menge ist natürlich eindeutig bestimmt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Mi 18.12.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
eben war ich bei einem Mengenlehre-Professor mit dieser Problematik in der Sprechstunde.
Das für mich entscheidende Ergebnis: Es ist möglich,
[mm] $PA\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))$
[/mm]
zu zeigen, wobei $PA$ für die Peano-Arithmetik steht (auch wenn der Professor zugab, das noch nie selbst durchdacht zu haben).
Insbesondere ist also [mm] $\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese)}$ [/mm] eine "wahre" arithmetische Formel und damit folgt aus tatsächlicher Konsistenz von ZFC in der Tat die tatsächliche Konsistenz von ZFC+Kontinuumshypothese.
Mein Fazit: Die Lücke, die ich in der Interpretation relativer Konsistenzbeweisen mit tatsächlicher Konsistenz meine gefunden zu haben, lässt sich schließen. Dieser Lückenschluss ist aber alles andere als trivial.
(Übrigens war dem Professor sofort klar, was ich mich Begriffen wie $U$-Konsistenz und tatsächlicher Konsistenz meinte.)
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Fr 20.12.2013 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Tobias!
> Hallo zusammen,
>
>
> eben war ich bei einem Mengenlehre-Professor mit dieser
> Problematik in der Sprechstunde.
>
>
> Das für mich entscheidende Ergebnis: Es ist möglich,
>
> [mm]PA\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm]
>
> zu zeigen, wobei [mm]PA[/mm] für die Peano-Arithmetik steht (auch
> wenn der Professor zugab, das noch nie selbst durchdacht zu
> haben).
>
> Insbesondere ist also
> [mm]\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese)}[/mm]
> eine "wahre" arithmetische Formel und damit folgt aus
> tatsächlicher Konsistenz von ZFC in der Tat die
> tatsächliche Konsistenz von ZFC+Kontinuumshypothese.
>
Ich glaube nicht, dass das der springende Punkt bei der Diskussion war.
Ich wundere mich ein wenig, dass Du diesen Satz, der über Ableitbarkeit spricht,
als Rechtfertigung für Gödels Beweis akzeptierst, obwohl auch das ein Satz der HML ist.
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, ist aber gerade dieser "HML Glaube" Dein Problem gewesen, und nicht, dass der Beweis auch auf Basis der Peano Arithmetik geführt werden kann. Ich vermute deshalb, dass Du hiermit einfach die Problematik auf eine andere Ebene verschoben hast.
>
> Mein Fazit: Die Lücke, die ich in der Interpretation
> relativer Konsistenzbeweisen mit tatsächlicher Konsistenz
> meine gefunden zu haben, lässt sich schließen. Dieser
> Lückenschluss ist aber alles andere als trivial.
Es handelt sich hiebei nicht um ein Lücke in Gödels Beweis,
die durch diesen Satz geschlossen werden müsste.
>
>
> (Übrigens war dem Professor sofort klar, was ich mich
> Begriffen wie [mm]U[/mm]-Konsistenz und tatsächlicher Konsistenz
> meinte.)
Ich hatte auch sofort eine Vorstellung davon .
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
LG mathfunnel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Fr 20.12.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
> > Das für mich entscheidende Ergebnis: Es ist möglich,
> >
> >
> [mm]PA\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm]
> >
> > zu zeigen, wobei [mm]PA[/mm] für die Peano-Arithmetik steht (auch
> > wenn der Professor zugab, das noch nie selbst durchdacht zu
> > haben).
> >
> > Insbesondere ist also
> >
> [mm]\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese)}[/mm]
> > eine "wahre" arithmetische Formel und damit folgt aus
> > tatsächlicher Konsistenz von ZFC in der Tat die
> > tatsächliche Konsistenz von ZFC+Kontinuumshypothese.
> >
>
> Ich glaube nicht, dass das der springende Punkt bei der
> Diskussion war.
> Ich wundere mich ein wenig, dass Du diesen Satz, der über
> Ableitbarkeit spricht,
> als Rechtfertigung für Gödels Beweis akzeptierst, obwohl
> auch das ein Satz der HML ist.
In
[mm]PA\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm]
ist der Satz
[mm] $\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese})$
[/mm]
ist ein zahlentheoretischer und kein Satz irgendeiner (Hintergrund-)Mengenlehre.
> Wenn ich Dich richtig verstanden habe, ist aber gerade
> dieser "HML Glaube" Dein Problem gewesen, und nicht, dass
> der Beweis auch auf Basis der Peano Arithmetik geführt
> werden kann. Ich vermute deshalb, dass Du hiermit einfach
> die Problematik auf eine andere Ebene verschoben hast.
Der springende Punkt war für mich nicht die Annahme der Existenz irgendeines ZFC-Universums ("HML-Glaube"), sondern die (unbewiesene) Annahme der Existenz eines ZFC-Universums ohne Nichtstandardzahlen.
> > Mein Fazit: Die Lücke, die ich in der Interpretation
> > relativer Konsistenzbeweisen mit tatsächlicher Konsistenz
> > meine gefunden zu haben, lässt sich schließen. Dieser
> > Lückenschluss ist aber alles andere als trivial.
>
> Es handelt sich hiebei nicht um ein Lücke in Gödels
> Beweis,
> die durch diesen Satz geschlossen werden müsste.
Wenn Gödels Satz einfach
(*) [mm]ZFC\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm]
lautet, muss in der Tat keine Lücke geschlossen werden.
Die Lücke entsteht erst, wenn man Gödels Satz interpretieren will als
(**) "Wenn ZFC TATSÄCHLICH konsistent ist, so auch ZFC+Kontinuumshypothese".
(*) liefert uns für jedes ZFC-Universum $U$
[mm] $U\models(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))$,
[/mm]
also dass aus $U$-Konsistenz von ZFC die $U$-Konsistenz von ZFC+Kontinuumshypothese folgt.
$U$-Konsistenz stimmt mit tatsächlicher Konsistenz überein, wenn in $U$ keine Nichtstandardzahlen existieren. Aber wir wissen eben nicht, ob ein $U$ ohne Nichtstandardzahlen existiert.
Mithilfe von
(*') [mm]PA\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm]
können wir dagegen erfolgreich argumentieren:
(*') liefert uns für jedes PA-Universum $U$
(***) [mm] $U\models(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))$,
[/mm]
also dass aus $U$-Konsistenz von ZFC die $U$-Konsistenz von ZFC+Kontinuumshypothese folgt.
$U$-Konsistenz stimmt mit tatsächlicher Konsistenz überein, wenn in $U$ keine Nichtstandardzahlen existieren.
Jetzt kommt der entscheidende Unterschied: Es gibt sicher ein PA-Universum $U$ ohne Nichtstandardzahlen, nämlich die gewöhnlichen natürlichen Zahlen aus der Grundschule!
Aus (***) für dieses $U$ folgt wie gewünscht (**).
Der Punkt ist also: In der Mengenlehre wissen wir nicht, ob es ein Universum ohne Nichtstandardzahlen gibt, in der Zahlentheorie schon.
Viele Grüße
Tobias
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> Jetzt kommt der entscheidende Unterschied: Es gibt sicher
> ein PA-Universum [mm]U[/mm] ohne Nichtstandardzahlen, nämlich die
> gewöhnlichen natürlichen Zahlen aus der Grundschule!
Also gibt es die doch noch ?
Da bin ich ja echt beruhigt ...
und dann frohe Festtage !
LG , Al-Chw.
Ja, doch noch etwas:
> Der Punkt ist also: In der Mengenlehre wissen wir nicht,
> ob es ein Universum ohne Nichtstandardzahlen gibt,
> in der Zahlentheorie schon.
Meine Frage: ist dann "die Mengenlehre", von der du
sprichst, nicht irgendwie ein etwas stümperhaftes
Produkt, wenn sie nicht einmal in der Lage sein soll,
die Menge der natürlichen Zahlen "aus der Grundschule"
angemessen zu charakterisieren ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Sa 21.12.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al!
> > Jetzt kommt der entscheidende Unterschied: Es gibt sicher
> > ein PA-Universum [mm]U[/mm] ohne Nichtstandardzahlen, nämlich die
> > gewöhnlichen natürlichen Zahlen aus der Grundschule!
>
>
> Also gibt es die doch noch ?
>
> Da bin ich ja echt beruhigt ...
Zumindest nach platonistischer Sichtweise "gibt" es sie (jenseits jeder Mengenlehre). Wenn ich den Professor richtig verstanden habe, gibt es Leute, die selbst diese Sichtweise ablehnen.
> > Der Punkt ist also: In der Mengenlehre wissen wir nicht,
> > ob es ein Universum ohne Nichtstandardzahlen gibt,
> > in der Zahlentheorie schon.
>
> Meine Frage: ist dann "die Mengenlehre", von der du
> sprichst, nicht irgendwie ein etwas stümperhaftes
> Produkt, wenn sie nicht einmal in der Lage sein soll,
> die Menge der natürlichen Zahlen "aus der Grundschule"
> angemessen zu charakterisieren ?
So sehe ich das auch.
Allerdings kenne ich auch keine Alternative zur Mengenlehre, die dieses Problem löst.
Einer solchen Lösung sind auch prinzipielle Grenzen gesetzt:
Wir würden natürlich gerne ein Axiomensystem beschreiben können, aus dem sich alle "wahren" (d.h. für die gewöhnlichen natürlichen Zahlen gültigen) zahlentheoretischen Sätze (genauer: Sätze der Prädikatenlogik der ersten Stufe) beweisen lassen.
Sicherlich wird man verlangen, dass es algorithmisch möglich ist, alle Axiome zu ermitteln (d.h. das Axiomensystem ist "rekursiv aufzählbar").
Außerdem wird man sich einen Beweisbegriff wünschen, zu dem es einen Algorithmus gibt, der Beweise von anderen Zeichenketten unterscheiden kann (d.h. die Gesamtheit der Beweise ist "rekursiv").
Man kann nun zeigen, dass es ein System mit diesen Eigenschaften leider nicht geben kann.
Auf eine "angemessenen Charakterisierung" der natürlichen Zahlen können wir also allenfalls hoffen, wenn wir unsere Ansprüche an diese Charakterisierung irgendwie reduzieren.
Wer eine Idee hat, wie eine solche "Reduzierung der Ansprüche" aussehen könnte, sei hiermit herzlich eingeladen, seine/ihre Ideen zu posten!
Auch von mir allen schöne Feiertage!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Sa 21.12.2013 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Tobias!
> Hallo mathfunnel!
>
>
> > > Das für mich entscheidende Ergebnis: Es ist möglich,
> > >
> > >
> >
> [mm]PA\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm]
> > >
> > > zu zeigen, wobei [mm]PA[/mm] für die Peano-Arithmetik steht (auch
> > > wenn der Professor zugab, das noch nie selbst durchdacht zu
> > > haben).
> > >
> > > Insbesondere ist also
> > >
> >
> [mm]\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese)}[/mm]
> > > eine "wahre" arithmetische Formel und damit folgt aus
> > > tatsächlicher Konsistenz von ZFC in der Tat die
> > > tatsächliche Konsistenz von ZFC+Kontinuumshypothese.
> > >
> >
> > Ich glaube nicht, dass das der springende Punkt bei der
> > Diskussion war.
> > Ich wundere mich ein wenig, dass Du diesen Satz, der
> über
> > Ableitbarkeit spricht,
> > als Rechtfertigung für Gödels Beweis akzeptierst,
> obwohl
> > auch das ein Satz der HML ist.
> In
>
> [mm]PA\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm]
>
> ist der Satz
>
> [mm]\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese})[/mm]
>
> ist ein zahlentheoretischer und kein Satz irgendeiner
> (Hintergrund-)Mengenlehre.
Der Satz
$ [mm] PA\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese})) [/mm] $
ist ein metasprachlicher Satz über eine Eigenschaft eines Axiomensystems, das in einer Sprache erster Stufe formuliert ist.
>
> > Wenn ich Dich richtig verstanden habe, ist aber gerade
> > dieser "HML Glaube" Dein Problem gewesen, und nicht, dass
> > der Beweis auch auf Basis der Peano Arithmetik geführt
> > werden kann. Ich vermute deshalb, dass Du hiermit einfach
> > die Problematik auf eine andere Ebene verschoben hast.
> Der springende Punkt war für mich nicht die Annahme der
> Existenz irgendeines ZFC-Universums ("HML-Glaube"), sondern
> die (unbewiesene) Annahme der Existenz eines ZFC-Universums
> ohne Nichtstandardzahlen.
Jetzt sprichst Du wieder von Universen? Oder meinst Du damit ZFC-Modelle (siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik_erster_Stufe#Modelle?
>
>
> > > Mein Fazit: Die Lücke, die ich in der Interpretation
> > > relativer Konsistenzbeweisen mit tatsächlicher Konsistenz
> > > meine gefunden zu haben, lässt sich schließen. Dieser
> > > Lückenschluss ist aber alles andere als trivial.
> >
> > Es handelt sich hiebei nicht um ein Lücke in Gödels
> > Beweis,
> > die durch diesen Satz geschlossen werden müsste.
> Wenn Gödels Satz einfach
>
> (*)
> [mm]ZFC\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm]
>
> lautet, muss in der Tat keine Lücke geschlossen werden.
> Die Lücke entsteht erst, wenn man Gödels Satz
> interpretieren will als
>
Ab hier sind Deine Formulierungen wieder etwas ungenau:
Definiere 'tatsächliche Konsistenz'.
> (**) "Wenn ZFC TATSÄCHLICH konsistent ist, so auch
> ZFC+Kontinuumshypothese".
>
>
> (*) liefert uns für jedes ZFC-Universum [mm]U[/mm]
>
> [mm]U\models(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm],
>
> also dass aus [mm]U[/mm]-Konsistenz von ZFC die [mm]U[/mm]-Konsistenz von
> ZFC+Kontinuumshypothese folgt.
>
> [mm]U[/mm]-Konsistenz stimmt mit tatsächlicher Konsistenz überein,
> wenn in [mm]U[/mm] keine Nichtstandardzahlen existieren. Aber wir
> wissen eben nicht, ob ein [mm]U[/mm] ohne Nichtstandardzahlen
> existiert.
>
> Mithilfe von
>
> (*')
> [mm]PA\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm]
>
> können wir dagegen erfolgreich argumentieren:
>
> (*') liefert uns für jedes PA-Universum [mm]U[/mm]
>
> (***)
> [mm]U\models(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese}))[/mm],
>
> also dass aus [mm]U[/mm]-Konsistenz von ZFC die [mm]U[/mm]-Konsistenz von
> ZFC+Kontinuumshypothese folgt.
>
> [mm]U[/mm]-Konsistenz stimmt mit tatsächlicher Konsistenz überein,
> wenn in [mm]U[/mm] keine Nichtstandardzahlen existieren.
>
> Jetzt kommt der entscheidende Unterschied: Es gibt sicher
> ein PA-Universum [mm]U[/mm] ohne Nichtstandardzahlen, nämlich die
> gewöhnlichen natürlichen Zahlen aus der Grundschule!
>
> Aus (***) für dieses [mm]U[/mm] folgt wie gewünscht (**).
>
Inwiefern (*') Deine bisheriges Problem, löst, ist mir
auch wegen der Passage '$ U $-Konsistenz stimmt mit tatsächlicher Konsistenz überein, wenn in $ U $ keine Nichtstandardzahlen existieren.' unklar.
>
> Der Punkt ist also: In der Mengenlehre wissen wir nicht, ob
> es ein Universum ohne Nichtstandardzahlen gibt, in der
> Zahlentheorie schon.
>
Wenn das wirklich Dein Problem (das ich vielleich immer noch nicht richtig verstehe und wenn Du mit Universum Modell meinst) löst, soll es mir recht sein.
Betreibst Du jetzt Mengenlehre oder Zahlentheorie oder eine innerhalb ZFC formalisierte Zahlentheorie?
> Viele Grüße
> Tobias
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:25 So 22.12.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel,
> > Der springende Punkt war für mich nicht die Annahme
> der
> > Existenz irgendeines ZFC-Universums ("HML-Glaube"), sondern
> > die (unbewiesene) Annahme der Existenz eines ZFC-Universums
> > ohne Nichtstandardzahlen.
>
> Jetzt sprichst Du wieder von Universen? Oder meinst Du
> damit ZFC-Modelle
Unter einem ZFC-Universum $U$ verstehe ich "etwas", was den ZFC-Axiomen genügt. Ich setze dabei nicht voraus, dass es sich bei $U$ um ein ZFC-Modell innerhalb eines bestimmten (HML-)Universums handelt.
> Definiere 'tatsächliche Konsistenz'.
Den Begriff der tatsächlichen Konsistenz habe ich bereits hier (unter 4.) eingeführt. Es handelt sich um den "gewöhnlichen" Konsistenzbegriff; "ZFC ist tatsächlich konsistent" ist das, was wir für gewöhnlich meinen, wenn wir einfach sagen "ZFC ist konsistent". Wir meinen damit, dass sich aus ZFC (im Rahmen eines geeignet gewählten Kalküls) kein Widerspruch ableiten lässt. Dabei besteht eine Ableitung innerhalb dieses Kalküls nur aus tatsächlich endlich vielen Schritten und enthält nur tatsächliche Formeln (und keine Nichtstandardformeln).
("ZFC ist tatsächlich konsistent" ist übrigens äquivalent zu
[mm] $\IN\models [/mm] Con(ZFC)$,
wobei [mm] $\IN$ [/mm] für die gewöhnlichen natürlichen Zahlen aus der Grundschule steht. Wenn du möchtest, nimm dies als Definition von tatsächlicher Konsistenz.)
Ich erinnere daran, dass es (nach Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz) in jedem ZFC-Universum ein ZFC-Modell $M$ gibt, so dass ZFC nicht $M$-konsistent ist ("$M$ hält ZFC für inkonsistent"). Das bedeutet jedoch nicht, dass ZFC tatsächlich inkonsistent ist.
Sind dir jetzt die Begriffe $U$-Konsistenz und tatsächliche Konsistenz klar?
> Inwiefern (*') Deine bisheriges Problem, löst, ist mir
> auch wegen der Passage '[mm] U [/mm]-Konsistenz stimmt mit
> tatsächlicher Konsistenz überein, wenn in [mm]U[/mm] keine
> Nichtstandardzahlen existieren.' unklar.
Sei $U$ ein PA-Universum ohne Nichtstandardzahlen (d.h. $U$ stimmt bis auf Benennung der Elemente des Trägers mit [mm] $\IN$ [/mm] überein).
Dann gelten für rekursiv aufzählbare Theorien $T$ in der Sprache der Mengenlehre die Äquivalenzen:
$T$ $U$-konsistent
[mm] $\gdw$ $U\models \operatorname{Con}(T)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\IN\models\operatorname{Con}(T)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $T$ tatsächlich konsistent.
> Betreibst Du jetzt Mengenlehre oder Zahlentheorie oder eine
> innerhalb ZFC formalisierte Zahlentheorie?
Ich setze mich mit der Begründung von
(**) "Wenn ZFC (tatsächlich) konsistent ist, dann auch ZFC+Kontinuumshypothese."
auseinander. Mir sind prinzipiell sowohl Mengenlehre als auch Zahlentheorie recht, wenn sie geeignet sind (**) zu begründen. Mittels des zahlentheoretischen Axiomensystems PA ist es ja möglich (**) zu begründen. Wenn jemand behauptet, (**) auch mit Mitteln der Mengenlehre begründen zu können, muss ich mich eben mit dessen Mengenlehre-Argumenten auseinandersetzen. Bisher hat mir aber noch niemand (**) mit Mengenlehre-Mitteln plausibel machen können.
(Übrigens stammen die IDEEN zum Beweis von
(*') [mm] $PA\vdash(\operatorname{Con(ZFC)}\to\operatorname{Con(ZFC+Kontinuumshypothese)})$
[/mm]
laut dem Professor, mit dem ich mich über diese Problematik ausgetauscht habe, auch aus der Mengenlehre: Man lässt gewisse natürliche Zahlen (bzw. Elemente des Trägers eines beliebigen PA-Universums) Modelle codieren. Dann beweist man eine Art Vollständigkeitssatz, um auch innerhalb von PA auf semantischer statt syntaktischer Ebene arbeiten zu können.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 So 22.12.2013 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Tobias!
> Unter einem ZFC-Universum $ U $ verstehe ich "etwas", was den ZFC-Axiomen
> genügt. Ich setze dabei nicht voraus, dass es sich bei $ U $ um ein ZFC->
> Modell innerhalb eines bestimmten (HML-)Universums handelt.
Dieses 'etwas' ist dann also ähnlich zu dem, was wir mit HML oder 'mathematischem Universum' beschreiben, nur das in der Menge der natürlichen Zahlen auch Nichtstandard-Zahlen vorkommen können.
Falls aber in diesem 'etwas' Nichtstandard-Zahlen in [mm] $\mathbb [/mm] N$ vorkommen,
dann musst Du auch die Analyse von formalen Sprachen und z.B.
die Repräsentierbarkeit von Relationen definieren. Falls Du dann nicht
auf die von mir früher beschriebenen Schwierigkeiten stoßen willst, musst du dann wohl mit der 'Nichtmenge' [mm] $\{0,1,\ldots\}$ [/mm] operieren.
Stimmst Du mit mir hierin überein?
> Den Begriff der tatsächlichen Konsistenz habe ich bereits hier (unter 4.) eingeführt.
> Es handelt sich um den "gewöhnlichen" Konsistenzbegriff; "ZFC ist tatsächlich
> konsistent" ist das, was wir für gewöhnlich meinen, wenn wir einfach sagen "ZFC ist
> konsistent". Wir meinen damit, dass sich aus ZFC (im Rahmen eines geeignet
> gewählten Kalküls) kein Widerspruch ableiten lässt. Dabei besteht eine Ableitung
> innerhalb dieses Kalküls nur aus tatsächlich endlich vielen Schritten und enthält
> nur tatsächliche Formeln (und keine Nichtstandardformeln).
Das ist viel zu lässig. Du musst präzise definieren, was eine Ableitung in diesem "etwas" sein soll.
> ("ZFC ist tatsächlich konsistent" ist übrigens äquivalent zu
> [mm] $\mathbb [/mm] N [mm] \models [/mm] Con(ZFC) $,
> wobei [mm] $\mathbb [/mm] N [mm] \models [/mm] $ für die gewöhnlichen natürlichen Zahlen aus der
> Grundschule steht. Wenn du möchtest, nimm dies als Definition von tatsächlicher
> Konsistenz.)
Du meinst wohl:
[mm] $\mathbf [/mm] N [mm] \models [/mm] Con(ZFC)$, wobei [mm] $\mathbf [/mm] N = [mm] (\mathbb [/mm] N, [mm] +^\mathbb [/mm] N, [mm] \cdot^\mathbb [/mm] N, [mm] 0^\mathbb [/mm] N, [mm] 1^\mathbb [/mm] N)$ eine [mm] $S_{Ar}$-Struktur [/mm] ist.
Aber ich verstehe trotzdem nicht, was Du damit sagen willst.
Was hat die Wahrheit von $Con(ZFC)$ in $ [mm] \mathbf [/mm] N$ mit der Konsistenz von ZFC zu tun?
Die Bedeutung oder Interpretation von $Con(ZFC)$ hängt vom Modell ab.
> Ich erinnere daran, dass es (nach Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz) in jedem ZFC-Universum
> ein ZFC-Modell $ M $ gibt, so dass ZFC nicht $ M $-konsistent ist ("$ M $ hält ZFC für
> inkonsistent"). Das bedeutet jedoch nicht, dass ZFC tatsächlich inkonsistent ist.
Es bleibt nachzureichen, was ein 'Modell in einem Universum'
sein soll. Modelle sind "gewöhnliche" mathematische Objekte
und somit Mengen der HML.
'ZFC ist nich $M$-konsistent' bedeutet natürlich einfach, dass [mm] $Con(ZFC)^M$ [/mm] nicht wahr ist und gegebenenfalls auch etwas völlig anderes als ZFC-Konsistenz bedeutet. Auch [mm] $\in^M$ [/mm] in $M$ bedeutet etwas anderes als [mm] $\in$ [/mm] im mathematischen Universum.
> Sind dir jetzt die Begriffe $ U $-Konsistenz und tatsächliche Konsistenz klar?
Nicht im geringsten
Ich glaube, dass ich Dich von Anfang an verstehe. Deshalb fordere ich,
nach wie vor, eine präzise Definition von "tatsächlich konsistent".
Dazu musst Du definieren was Ableitbarkeit in Deinem Universum ist.
Eine Definition von Repräsentierbarkeit bei Existenz von Nichtstandard natürlichen Zahlen hast Du auch nicht geliefert, obwohl
die Gödelschen Sätze, die Du gern zitierst, darauf aufbauen.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:05 Mo 23.12.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
> > Unter einem ZFC-Universum [mm]U[/mm] verstehe ich "etwas", was den
> ZFC-Axiomen
> > genügt. Ich setze dabei nicht voraus, dass es sich bei
> [mm]U[/mm] um ein ZFC->
> > Modell innerhalb eines bestimmten (HML-)Universums
> handelt.
>
> Dieses 'etwas' ist dann also ähnlich zu dem, was wir mit
> HML oder 'mathematischem Universum' beschreiben, nur das in
> der Menge der natürlichen Zahlen auch Nichtstandard-Zahlen
> vorkommen können.
Ich denke ja.
> Falls aber in diesem 'etwas' Nichtstandard-Zahlen in
> [mm]\mathbb N[/mm] vorkommen,
> dann musst Du auch die Analyse von formalen Sprachen und
> z.B.
> die Repräsentierbarkeit von Relationen definieren. Falls
> Du dann nicht
> auf die von mir früher beschriebenen Schwierigkeiten
> stoßen willst, musst du dann wohl mit der 'Nichtmenge'
> [mm]\{0,1,\ldots\}[/mm] operieren.
>
> Stimmst Du mit mir hierin überein?
Nein. Ich verwende nirgendwo das Wort Repräsentierbarkeit. Mir ist es auch in meinem Logik-Studium noch nie begegnet. Wesentliche Teile der Logik (wie z.B. die Gödelschen Unvollständigkeitssätze) lassen sich auch ohne explizite Verwendung dieses Begriff formulieren.
> > Den Begriff der tatsächlichen Konsistenz habe ich bereits
> hier (unter 4.) eingeführt.
> > Es handelt sich um den "gewöhnlichen"
> Konsistenzbegriff; "ZFC ist tatsächlich
> > konsistent" ist das, was wir für gewöhnlich meinen,
> wenn wir einfach sagen "ZFC ist
> > konsistent". Wir meinen damit, dass sich aus ZFC (im
> Rahmen eines geeignet
> > gewählten Kalküls) kein Widerspruch ableiten lässt.
> Dabei besteht eine Ableitung
> > innerhalb dieses Kalküls nur aus tatsächlich endlich
> vielen Schritten und enthält
> > nur tatsächliche Formeln (und keine
> Nichtstandardformeln).
>
> Das ist viel zu lässig. Du musst präzise definieren, was
> eine Ableitung in diesem "etwas" sein soll.
Hier wird ein Missverständnis deutlich: Tatsächliche Konsistenz hat (zunächst einmal) überhaupt nichts mit irgendwelchen Mengen-Universen zu tun, geschweige denn mit Mengen-Universen mit Nichtstandardzahlen.
Sehr wohl mit Mengen-Universen zu tun hat hingegen der Begriff der $U$-Konsistenz (der von einem Universum $U$ abhängt).
> > ("ZFC ist tatsächlich konsistent" ist übrigens
> äquivalent zu
>
> > [mm]\mathbb N \models Con(ZFC) [/mm],
>
> > wobei [mm]\mathbb N \models[/mm] für die gewöhnlichen natürlichen
> Zahlen aus der
> > Grundschule steht. Wenn du möchtest, nimm dies als
> Definition von tatsächlicher
> > Konsistenz.)
>
> Du meinst wohl:
>
> [mm]\mathbf N \models Con(ZFC)[/mm], wobei [mm]\mathbf N = (\mathbb N, +^\mathbb N, \cdot^\mathbb N, 0^\mathbb N, 1^\mathbb N)[/mm]
> eine [mm]S_{Ar}[/mm]-Struktur ist.
Du hast damit Recht, dass ich mit [mm] $\IN$ [/mm] eigentlich [mm] "$\IN$ [/mm] mit der gewöhnlichen Interpretation der Zeichen der Sprache der Peano-Arithmetik" meine. Natürlich steht [mm] $\IN$ [/mm] nicht für IRGENDEINE Struktur in der Sprache der Peano-Arithmetik, sondern für die Struktur der gewöhnlichen natürlichen Zahlen, wie wir sie aus der Grundschule kennen.
> Aber ich verstehe trotzdem nicht, was Du damit sagen
> willst.
> Was hat die Wahrheit von [mm]Con(ZFC)[/mm] in [mm]\mathbf N[/mm] mit der
> Konsistenz von ZFC zu tun?
Der Satz $Con(ZFC)$ ist gerade so gewählt, dass seine Gültigkeit in [mm] $\IN$ [/mm] äquivalent zur (tatsächlichen) Konsistenz von ZFC ist.
> Die Bedeutung oder Interpretation von [mm]Con(ZFC)[/mm] hängt vom
> Modell ab.
Ja, deshalb betrachte ich bei tatsächlicher Konsistenz ja auch nicht IRGENDEINE Struktur in der Sprache der Peano-Arithmetik, sondern die gewöhnlichen natürlichen Zahlen.
> > Ich erinnere daran, dass es (nach Gödels zweitem
> Unvollständigkeitssatz) in jedem ZFC-Universum
> > ein ZFC-Modell [mm]M[/mm] gibt, so dass ZFC nicht [mm]M [/mm]-konsistent ist
> ("[mm] M[/mm] hält ZFC für
> > inkonsistent"). Das bedeutet jedoch nicht, dass ZFC
> tatsächlich inkonsistent ist.
>
> Es bleibt nachzureichen, was ein 'Modell in einem
> Universum'
> sein soll. Modelle sind "gewöhnliche" mathematische
> Objekte
> und somit Mengen der HML.
Das ist eine Sichtweise (die ich nun meine, verstanden zu haben). Eine andere (allgemeinere): Mit jedem Universum $U$ haben wir einen Modellbegriff in $U$. Zumindest im Spezialfall "$U$ ein Modell in deinem Sinne" ist es nichts Ungewöhnliches in der Mengenlehre, wiederum den Modellbegriff von $U$ zu untersuchen.
Aber steigen wir zunächst mal etwas niedriger ein: Setzen wir ein (beliebiges) ZFC-Mengenuniversum $U$ voraus (wenn es dir hilft, stelle dir zunächst vor, dass $U$ ein ZFC-Modell in deinem Sinne ist). Im Sinne dieses Universums haben wir einen (neuen) Mengenbegriff (eine $U$-Menge ist ein Element des Trägers von $U$) und passend zu diesem Mengenbegriff eine [mm] $\in$-Relation ($\in^U$).
[/mm]
Betrachte nun z.B. folgende Definition:
Definition: Eine Menge $x$ heißt Teilmenge einer Menge $y$, wenn für alle Mengen $z$ mit [mm] $z\in [/mm] x$ auch [mm] $z\in [/mm] y$ gilt.
Nach deiner Sichtweise sind hierin die Begriffe "Menge" und [mm] $\in$ [/mm] zu verstehen im Sinne deiner HML. Nach der allgemeineren Sichtweise erhalten wir hingegen automatisch auch einen "$U$-Teilmengen-Begriff":
Eine $U$-Menge $x$ heißt $U$-Teilmenge einer $U$-Menge $y$, wenn für alle $U$-Mengen $z$ mit [mm] $z\in^Ux$ [/mm] auch [mm] $z\in^Uy$ [/mm] gilt.
Auf ähnliche Weise (verstehe den Begriff "Menge" stets als "$U$-Menge" und die Relation [mm] $\in$ [/mm] stets als [mm] $\in^U$) [/mm] können wir uns alle ZFC-Definitionen und in ZFC beweisbaren Sätze "in $U$ denken". Genauso wie wir einen $U$-Teilmengen-Begriff haben, haben wir beispielsweise einen $U$-Endlichkeitsbegriff, einen $U$-Modellbegriff, einen Begriff einer $U$-Formel in der Sprache der Mengenlehre, einen Begriff einer $U$-Ableitung einer $U$-Formel aus einer $U$-Menge von $U$-Formeln und einen $U$-Konsistenzbegriff.
> 'ZFC ist nich [mm]M[/mm]-konsistent' bedeutet natürlich einfach,
> dass [mm]Con(ZFC)^M[/mm] nicht wahr ist
Ja. Und das ist z.B. jeweils äquivalent zu
1. [mm] $M\not\models [/mm] Con(ZFC)$
2. Es gibt eine $M$-Ableitung eines Widerspruches aus ZFC.
3. In $M$ gibt es kein ZFC-Modell.
> und gegebenenfalls auch
> etwas völlig anderes als ZFC-Konsistenz bedeutet.
Ja, etwas anderes als tatsächliche ZFC-Konsistenz. Es ist hingegen schon äquivalent zur $M$-Konsistenz von ZFC im obigen Sinne.
> Auch
> [mm]\in^M[/mm] in [mm]M[/mm] bedeutet etwas anderes als [mm]\in[/mm] im mathematischen
> Universum.
Selbstverständlich.
> > Sind dir jetzt die Begriffe [mm]U [/mm]-Konsistenz und tatsächliche
> Konsistenz klar?
>
> Nicht im geringsten
Versuchen wir es zunächst mal ein paar Stufen niedriger mit dem Begriff der $U$-Endlichkeit für ein beliebiges ZFC-Universum $U$ im Vergleich zur tatsächlichen Endlichkeit:
Definition: Eine Menge $x$ heißt endlich, wenn ein [mm] $b\in\omega$ [/mm] und eine Bijektion [mm] $x\to\{a\in\omega\;|\;a\le b\}$ [/mm] existieren.
Ist dir klar, dass jedes ZFC-Universum/Modell $U$ einen Endlichkeitsbegriff hat ("$U$-Endlichkeit")? Schau dir dazu ggf. noch einmal das Beispiel mit dem Teilmengenbegriff an.
Beispiel: Sei [mm] $b\in\omega_U$ [/mm] eine Nichtstandardzahl. Ist dir dann klar, dass die $U$-Menge [mm] $\{a\in^U\omega_U\;|\;a\le^U b\}^U$ [/mm] $U$-endlich ist?
Im Gegensatz dazu haben wir den intuitiven Endlichkeitsbegriff ("tatsächliche Endlicheit"). Die $U$-Menge [mm] $\{a\in^U\omega_U\;|\;a\le^U b\}$ [/mm] enthält u.a. die (intuitiv unendlich vielen) "Zahlen" [mm] $0:=\emptyset^U$, $1:=\{0\}^U$, $2:=\{0,1\}^U$, [/mm] ... und wird daher wohl von den meisten intuitiv als unendlich angesehen.
> Ich glaube, dass ich Dich von Anfang an verstehe.
Vermutlich meinst du, dass du mich NICHT verstehst?
> Deshalb
> fordere ich,
> nach wie vor, eine präzise Definition von "tatsächlich
> konsistent".
> Dazu musst Du definieren was Ableitbarkeit in Deinem
> Universum ist.
Tatsächliche Konsistenz hat ja wie gesagt gerade erst einmal nichts mit irgendwelchen Universen zu tun (im Gegensatz zur $U$-Konsistenz für ein Universum $U$).
Versuche zunächst einmal die Begriffe $U$-Endlichkeit und tatsächliche Endlichkeit zu verstehen. Im nächsten Schritt können wir uns dann den $U$-Formeln in der Sprache der Mengenlehre und den tatsächlichen Formeln in der Sprache der Mengenlehre widmen. Erst dann macht es Sinn, $U$-Ableitungen und tatsächliche Ableitungen zu vergleichen. Und wenn letztgenannter Vergleich klar ist, ergeben sich die beiden Konsistenzbegriffe ($U$-Konsistenz für ein Universum $U$ und tatsächliche Konsistenz) fast von alleine.
> Eine Definition von Repräsentierbarkeit bei Existenz von
> Nichtstandard natürlichen Zahlen hast Du auch nicht
> geliefert, obwohl
> die Gödelschen Sätze, die Du gern zitierst, darauf
> aufbauen.
Wie gesagt: Sie lassen sich ohne explizite Verwendung des Begriffes der Repräsentierbarkeit formulieren.
Ich schlage vor, dass wir zunächst über die Endlichkeits-Begriffe statt über die (deutlich komplexeren) Konsistenz-Begriffe diskutieren. Es wäre ein riesiger Fortschritt, wenn du an diesem Beispiel (Endlichkeit) den "$U$-Begriff" und den "tatsächlichen Begriff" verstehen würdest.
Schöne Feiertage!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Mo 23.12.2013 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Tobias!
> Nein. Ich verwende nirgendwo das Wort Repräsentierbarkeit. Mir ist es auch in meinem Logik-
> Studium noch nie begegnet. Wesentliche Teile der Logik (wie z.B. die Gödelschen
> Unvollständigkeitssätze) lassen sich auch ohne explizite Verwendung dieses Begriff
> formulieren.
Das ist selbstverständich möglich, aber implizit werden die Eigenschaften der Repräsentierbarkeit bei den Beweisen benutzt. Beispielsweise gilt, dass [mm] $\Phi_{PA}$ [/mm] (Peanosches Axiomensystem in der Version für Sprachen erster Stufe) "Repräsentierungen erlaubt".
> > Das ist viel zu lässig. Du musst präzise definieren, was
> > eine Ableitung in diesem "etwas" sein soll.
> Hier wird ein Missverständnis deutlich: Tatsächliche Konsistenz hat (zunächst einmal)
> überhaupt nichts mit irgendwelchen Mengen-Universen zu tun, geschweige denn mit Mengen-
> Universen mit Nichtstandardzahlen.
Es handelt sich ganz und gar nicht um ein Missverständnis, wie der Zusatz "(zunächst einmal)" ebenfalls suggeriert. Oder hast Du Deine Ansichten geändert?
Du hast folgendes mitgeteilt:
> Nun könnte es doch sein, dass zwar ZFC widerspruchsfrei ist, aber $ Con(ZFC) $ in unserem
> Mengenuniversum nicht gilt, weil es dort eine Nichtstandardzahl in $ [mm] \omega [/mm] $ gibt, die
> (vermeintlich) einen formalen Beweis eines Widerspruches codiert.
> Das heißt es könnte durchaus sein, dass ZFC tatsächlich konsistent und
> ZFC+Kontinuumshypothese tatsächlich inkonsistent ist?!
> Du hast damit Recht, dass ich mit $ [mm] \mathbb [/mm] N $ eigentlich "$ [mm] \mathbb [/mm] N $ mit der
> gewöhnlichen Interpretation der Zeichen der Sprache der Peano-Arithmetik" meine. Natürlich
> steht $ [mm] \mathbb [/mm] N $ nicht für IRGENDEINE Struktur in der Sprache der Peano-Arithmetik,
> sondern für die Struktur der gewöhnlichen natürlichen Zahlen, wie wir sie aus der
> Grundschule kennen.
Meine Kritik bezieht sich darauf, dass [mm] $\mathbb [/mm] N$ keine Struktur, sondern der [mm] \textbf{Träger}
[/mm]
der Sruktur [mm] $\mathbf [/mm] N$ ist.
> Der Satz $ Con(ZFC) $ ist gerade so gewählt, dass seine Gültigkeit in $ [mm] \mathbb [/mm] N $
> äquivalent zur (tatsächlichen) Konsistenz von ZFC ist.
Gilt das nicht auch für ein 'Nichtstandard-Modell' (wenn man 'tatsächlich' weglässt)?
> Auf ähnliche Weise (verstehe den Begriff "Menge" stets als "$ U $-Menge" und die
> Relation $ [mm] \in [/mm] $ stets als $ [mm] \in^U [/mm] $) können wir uns alle ZFC-Definitionen und
> in ZFC beweisbaren Sätze "in $ U $ denken". Genauso wie wir einen $ U $-
> Teilmengen-Begriff haben, haben wir beispielsweise einen $ U $-
> Endlichkeitsbegriff, einen $ U $-Modellbegriff, einen Begriff einer $ U $-Formel
> in der Sprache der Mengenlehre, einen Begriff einer $ U $-Ableitung einer $ U $-
> Formel aus einer $ U $-Menge von $ U $-Formeln und einen
> $ U $-Konsistenzbegriff.
Lass uns doch den Begriff $ U $-Ableitung etwas genauer betrachten und ihn mit einer ('gewöhnlichen') Ableitung vergleichen. Der ('gewöhnliche') Ableitungsbegriff
in dem zu [mm] $S_{Ar}$ [/mm] gehörenden Sequenzkalkül, läßt sich in [mm] $\Phi [/mm] := [mm] \Phi_{PA}$ [/mm] durch einen Ausdruck [mm] $Abl_\Phi [/mm] (x)$ repräsentieren. Wir haben somit eine
Möglichkeit formal über Ableitbarkeit zu sprechen. Was haben wir aber mit
[mm] $Abl_\Phi (x)^U$ [/mm] erreicht? Das ist einfach die $U$-Interpretation von [mm] $Abl_\Phi [/mm] (x)$, aber wir haben damit keinesfalls definiert, was eine Ableitung in $U$ ist.
> > 'ZFC ist nich $ M $-konsistent' bedeutet natürlich einfach,
> > dass $ [mm] Con(ZFC)^M [/mm] $ nicht wahr ist
> Ja. Und das ist z.B. jeweils äquivalent zu
> 1. $ [mm] M\not\models [/mm] Con(ZFC) $
> 2. Es gibt eine $ M $-Ableitung eines Widerspruches aus ZFC.
Was ist eine $ M $-Ableitung? Das hast Du immer noch nicht definiert!
Scheinbar glaubst Du doch, dass die formalen Sätze im Modell eine modellunabhängige Interpretation haben. Ansonsten hast du mit
der Wahrheit von [mm] $Con(ZFC)^M$ [/mm] nichts gewonnen
> 3. In $ M $ gibt es kein ZFC-Modell.
Du hast immer noch nicht erklärt, was ein "ZFC-Modell in M" ist.
Deine Beteuerung, dass das ein normales Vorgehen ist, ersetzt ja
noch lange keine Definition.
> > Ich glaube, dass ich Dich von Anfang an verstehe.
> Vermutlich meinst du, dass du mich NICHT verstehst?
Diese Vermutung trifft nicht zu
> Ich schlage vor, dass wir zunächst über die Endlichkeits-Begriffe statt über die > (deutlich komplexeren) Konsistenz-Begriffe diskutieren. Es wäre ein riesiger
> Fortschritt, wenn du an diesem Beispiel (Endlichkeit) den "$ U $-Begriff" und
> den "tatsächlichen Begriff" verstehen würdest.
Um Himmels Willen, nur das nicht
Wirklich, ich will Dich nur davon überzeugen, dass Gödels Beweis keine Lücke enthält, die durch "Deine Argumentation" geschlossen werden muss, dass die Menge [mm] $\mathbb [/mm] N$ der natürlichen Zahlen keine Nichtstandardzahlen enthält (Das ist mir wohl in der Zwischenzeit gelungen.) und dass Du, für Universen $U$ mit Nichtstandardzahlen in [mm] $\omega^U$, [/mm] Begriffe, die bisher mit Hilfe von [mm] $\mathbb [/mm] N$ definiert wurden erneut definieren musst.
LG mathfunnel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:30 Sa 08.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathfunnel!
Ersteinmal ein dickes ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") für meine sehr verspätete Reaktion! Leider habe ich in der Zwischenzeit nicht die Zeit gefunden zu reagieren. Falls du nach so langer Zeit nicht mehr an meiner Reaktion interessiert bist, habe ich dafür natürlich volles Verständnis; dann ignoriere diese Mitteilung einfach. Falls du deinerseits noch einmal reagieren möchtest, kann ich leider erneut keine zeitnahe Reaktion meinerseits versprechen.
Zur Diskussion selbst:
> > Hier wird ein Missverständnis deutlich: Tatsächliche
> Konsistenz hat (zunächst einmal)
> > überhaupt nichts mit irgendwelchen Mengen-Universen zu
> tun, geschweige denn mit Mengen-
> > Universen mit Nichtstandardzahlen.
>
>
> Es handelt sich ganz und gar nicht um ein Missverständnis,
> wie der Zusatz "(zunächst einmal)" ebenfalls suggeriert.
> Oder hast Du Deine Ansichten geändert?
>
> Du hast folgendes mitgeteilt:
>
> > Nun könnte es doch sein, dass zwar ZFC widerspruchsfrei
> ist, aber [mm]Con(ZFC)[/mm] in unserem
> > Mengenuniversum nicht gilt, weil es dort eine
> Nichtstandardzahl in [mm]\omega[/mm] gibt, die
> > (vermeintlich) einen formalen Beweis eines Widerspruches
> codiert.
> > Das heißt es könnte durchaus sein, dass ZFC tatsächlich
> konsistent und
> > ZFC+Kontinuumshypothese tatsächlich inkonsistent ist?!
Dass ich meine Ansichten geändert hätte, sehe ich nicht. (Abgesehen natürlich davon, dass sich offenbar durch Arbeiten mit PA statt mit ZFC die relative tatsächliche Konsistenz von ZFC+Kontinuumshypothese zur tatsächlichen Konsistenz von ZFC in der Tat beweisen lässt.)
Gegeben ein Mengenuniversum ohne Nichtstandardzahlen lässt sich zwar tatsächliche Konsistenz mithilfe dieses Mengenuniversums äquivalent charakterisieren (daher der Zusatz "zunächst einmal"). Die "eigentliche Bedeutung" tatsächlicher Konsistenz hat jedoch gar nichts mit Mengenuniversen zu tun. Selbst wenn es z.B. gar keine Mengenuniversen ohne Nichtstandardzahlen geben sollte, macht es Sinn Axiomensystemen wie ZFC eine der Eigenschaften "tatsächlich konsistent"/"tatsächlich inkonsistent" zuzusprechen.
Mit Mengenuniversen mit Nichtstandardzahlen hat tatsächliche Konsistenz jedenfalls (vermutlich) nichts zu tun.
> > Der Satz [mm]Con(ZFC)[/mm] ist gerade so gewählt, dass seine
> Gültigkeit in [mm]\mathbb N[/mm]
> > äquivalent zur (tatsächlichen) Konsistenz von ZFC ist.
>
>
>
> Gilt das nicht auch für ein 'Nichtstandard-Modell' (wenn
> man 'tatsächlich' weglässt)?
Ja, wenn man das "tatsächlich" durch "$U$-" ersetzt (und genau das ist der Punkt!): Für jedes PA- oder ZFC-Universum $U$ gilt:
[mm] $U\models\operatorname{Con}(\operatorname{ZFC})$ $\iff$ [/mm] ZFC $U$-konsistent.
> > Auf ähnliche Weise (verstehe den Begriff "Menge" stets als
> "[mm] U [/mm]-Menge" und die
> > Relation [mm]\in[/mm] stets als [mm]\in^U [/mm]) können wir uns alle
> ZFC-Definitionen und
> > in ZFC beweisbaren Sätze "in [mm]U[/mm] denken". Genauso wie wir
> einen [mm]U [/mm]-
> > Teilmengen-Begriff haben, haben wir
> beispielsweise einen [mm]U [/mm]-
> > Endlichkeitsbegriff, einen [mm]U [/mm]-Modellbegriff,
> einen Begriff einer [mm]U [/mm]-Formel
> > in der Sprache der Mengenlehre, einen Begriff einer [mm]U [/mm]-Ableitung
> einer [mm]U [/mm]-
> > Formel aus einer [mm]U [/mm]-Menge von [mm]U [/mm]-Formeln und
> einen
> > [mm]U [/mm]-Konsistenzbegriff.
>
>
> Lass uns doch den Begriff [mm]U [/mm]-Ableitung etwas genauer
> betrachten und ihn mit einer ('gewöhnlichen') Ableitung
> vergleichen.
Für die Anschauung hilfreich:
Eine gewöhnliche Ableitung enthält nur gewöhnliche Formeln und hat tatsächlich endliche Länge.
Eine $U$-Ableitung besteht aus $U$-Formeln und muss nur $U$-endliche Länge haben. Damit kann eine $U$-Ableitung Nichtstandardformeln enthalten und aus tatsächlich unendlich vielen Formeln bestehen.
> Der ('gewöhnliche') Ableitungsbegriff
> in dem zu [mm]S_{Ar}[/mm] gehörenden Sequenzkalkül, läßt sich
> in [mm]\Phi := \Phi_{PA}[/mm] durch einen Ausdruck [mm]Abl_\Phi (x)[/mm]
> repräsentieren. Wir haben somit eine
> Möglichkeit formal über Ableitbarkeit zu sprechen. Was
> haben wir aber mit
> [mm]Abl_\Phi (x)^U[/mm] erreicht? Das ist einfach die
> [mm]U[/mm]-Interpretation von [mm]Abl_\Phi (x)[/mm], aber wir haben damit
> keinesfalls definiert, was eine Ableitung in [mm]U[/mm] ist.
Ohne, dass ich die Einzelheiten deiner Notationen durchblicke: Anscheinend kann man wie von dir skizziert in der Tat nicht definieren, was eine $U$-Ableitung ist. Mein Ansatz ist auch ein anderer:
Solange wir Mathematik auf Grundlage von ZFC betreiben (und selbst wenn wir das nicht explizit tun, arbeiten wir im Normalfall implizit damit), sind unsere Definitionen und Sätze auf JEDES ZFC-Universum anwendbar. Das ist ja gerade der Clou, wenn man mit einem Axiomensystem arbeitet: Alle Definitionen und Sätze, die man auf Grundlage der Axiome gewinnt, sind auf JEDES Objekt anwendbar, das den Axiomen genügt.
So kannst du im Prinzip (wenn du viel Zeit hast... ) die gesamte "Definitionskette" (u.a. Paare, Abbildungen, [mm] $\omega$, [/mm] Formeln...) bis zur Definition einer Ableitung durchgehen und sie auf jedes Universum $U$ anwenden.
> > > 'ZFC ist nich [mm]M [/mm]-konsistent' bedeutet natürlich einfach,
> > > dass [mm]Con(ZFC)^M[/mm] nicht wahr ist
>
> > Ja. Und das ist z.B. jeweils äquivalent zu
> > 1. [mm]M\not\models Con(ZFC)[/mm]
> > 2. Es gibt eine [mm]M [/mm]-Ableitung eines Widerspruches aus ZFC.
>
> Was ist eine [mm]M [/mm]-Ableitung? Das hast Du immer noch nicht
> definiert!
Im Prinzip müsste ich hierfür die gesamte "Definitionskette" bis zur Definition einer Ableitung durchgehen und überall den Begriff "Menge" durch "Element des Trägers von M" und das Zeichen [mm] "$\in$" [/mm] durch "die Interpretation von [mm] $\in$ [/mm] in M" ersetzen.
Ich bitte um Verständnis, dass ich dies nicht tue, sondern an dein Verständnis appelliere: Alles, was wir im Rahmen von ZFC tun, ist auch auf unser ZFC-Modell $M$ anwendbar.
> Scheinbar glaubst Du doch, dass die formalen Sätze im
> Modell eine modellunabhängige Interpretation haben.
Was ist eine "modellunabhängige Interpretation der formalen Sätze im Modell"?
> Ansonsten hast du mit
> der Wahrheit von [mm]Con(ZFC)^M[/mm] nichts gewonnen
Ich glaube, ich verstehe nicht richtig, was du mir sagen willst. Du willst annehmen, dass [mm] $Con(ZFC)^M$ [/mm] wahr ist und nun etwas daraus gewinnen?
(Die Wahrheit von [mm] $Con(ZFC)^M$ [/mm] impliziert tatsächliche Konsistenz von ZFC, aber nicht umgekehrt.)
>
> > 3. In [mm]M[/mm] gibt es kein ZFC-Modell.
>
> Du hast immer noch nicht erklärt, was ein "ZFC-Modell in
> M" ist.
> Deine Beteuerung, dass das ein normales Vorgehen ist,
> ersetzt ja
> noch lange keine Definition.
Auch hier geht wohl kein Mensch explizit die gesamte Definitionskette bis hin zur Definition eines Modells erneut durch. Im Prinzip wäre wieder genau das zu tun: Überall den Begriff "Menge" durch "Element des Trägers von M" und das Zeichen [mm] "$\in$" [/mm] durch "die Interpretation von [mm] $\in$ [/mm] in M" ersetzen. (Nochmal zur Erinnerung: Alles in ZFC Definierte und Bewiesene ist auf JEDES Objekt anwendbar, das ZFC genügt, also insbesondere auf $M$.)
> > Ich schlage vor, dass wir zunächst über die
> Endlichkeits-Begriffe statt über die > (deutlich
> komplexeren) Konsistenz-Begriffe diskutieren. Es wäre ein
> riesiger
> > Fortschritt, wenn du an diesem Beispiel (Endlichkeit) den "[mm] U [/mm]-Begriff"
> und
> > den "tatsächlichen Begriff" verstehen würdest.
>
> Um Himmels Willen, nur das nicht
Schade... Das erschwert meine Versuche dir die eigentliche Problematik (Konsistenz) näher zu bringen natürlich enorm, wenn du nicht bereit bist, dich zunächst mit dieser einfacheren Problematik (Endlichkeit) auseinanderzusetzen.
> Wirklich, ich will Dich nur davon überzeugen, dass Gödels
> Beweis keine Lücke enthält, die durch "Deine
> Argumentation" geschlossen werden muss,
Wie gesagt ist ja auch
[mm] $ZFC\vdash (Con(ZFC)\Rightarrow [/mm] Con(ZFC+CH))$
lückenlos bewiesen. Nur die Schlussfolgerung daraus, aus tatsächlicher Konsistenz von ZFC die tatsächliche Konsistenz von ZFC+CH folge, ist unbegründet und anscheinend nicht so ohne Weiteres möglich.
> dass die Menge
> [mm]\mathbb N[/mm] der natürlichen Zahlen keine Nichtstandardzahlen
> enthält (Das ist mir wohl in der Zwischenzeit gelungen.)
Das hängt davon ab, ob derjenige, der das Symbol [mm] $\IN$ [/mm] benutzt, damit die "Gesamtheit" der gewöhnlichen natürlichen Zahlen oder die Menge [mm] $\omega$ [/mm] meint.
(Beachte, dass ich lieber von der "Gesamtheit" der gewöhnlichen natürlichen Zahlen statt von der "Menge" der gewöhnlichen natürlichen Zahlen spreche. Dass es sich dabei um eine "Menge" handelt, stimmt nur unter einer entsprechenden Zusatzannahme an das betrachtete Mengenuniversum, von der ich nicht weiß, ob sie in irgendeinem Sinne konsistent ist (selbst wenn ZFC konsistent ist).)
> und dass Du, für Universen [mm]U[/mm] mit Nichtstandardzahlen in
> [mm]\omega^U[/mm], Begriffe, die bisher mit Hilfe von [mm]\mathbb N[/mm]
> definiert wurden erneut definieren musst.
In meiner Sichtweise gibt es, solange wir auf Grundlage von ZFC arbeiten, gar keine Menge [mm] $\IN$, [/mm] sondern nur eine Menge [mm] $\omega$. [/mm] Wenn also irgendwo von der "Menge [mm] $\IN$" [/mm] die Rede ist, gehe ich davon aus, dass die Menge [mm] $\omega$ [/mm] gemeint ist.
Damit gilt wieder: Es gibt gar keinen Grund, Definitionen für jedes ZFC-Universum neu zu treffen. Solange wir in ZFC arbeiten, sind die Definitionen und Resultate auf JEDES ZFC-Universum anwendbar.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mo 23.12.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal!
Mir sind noch einige lose und nicht endgültige Gedanken zum Thema "Präzision von Definitionen wie z.B. der tatsächlichen Konsistenz" gekommen:
1. Stellen wir uns mal vor, Herr Meier versteht nicht, was wir unter der "Gesamtheit der gewöhnlichen natürlichen Zahlen aus der Grundschule" verstehen. Er fordert nun eine präzise Definition von uns.
Da stehen wir ziemlich blöd da... Uns bleibt wohl nichts anderes übrig, als zu hoffen, dass Herr Meiers gesunder Menschenverstand ihm mithilfe unserer anschaulichen Erklärungsversuche klarwerden lässt, was wir unter den natürlichen Zahlen verstehen. Auch wenn wir die natürlichen Zahlen nicht präzise definieren können, haben wir doch eine recht klare Vorstellung von ihnen und zweifeln nicht an unserem Begriff der natürlichen Zahlen.
Ähnlich schwierig erscheint es mir z.B., den Begriff der "tatsächliche Endlichkeit" zu definieren. Das lässt mich wiederum nicht an diesem Begriff an sich zweifeln.
2. Sicherlich ist
"$Con(ZFC)$ ist eine wahre arithmetische Formel" (d.h. [mm] $\IN\models [/mm] Con(ZFC)$)
eine äußerst präzise Definition der tatsächlichen Konsistenz von ZFC (zumindest für diejenigen, die Sätzen in der Sprache der Peano-Arithmetik einen definitiven Wahrheitswert für die "gewöhnlichen natürlichen Zahlen" zubilligen). Aber daran bemängelst du, wenn ich dich richtig verstehe, dass sie die Anschauung von Konsistenz nicht widerspiegele. Wenn ich die Anschauung erläutere, bemängelst du mangelnde Präzision. Vermutlich ist es schwer, Anschauung und Präzision auf einen Schlag zu erhalten, so unbefriedigend dieser Umstand auch sein mag.
Viele Grüße
Tobias
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