Relation < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:34 Sa 10.10.2009 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | | Sei M:= [mm]\IZ[/mm]x[mm]\IZ\setminus\{0\}[/mm]. Erkläre eine Relation ~ auf M durch (a,b) ~(c,d) genau für ad = bc. Zeige, dass ~ Äquivalenzrelation ist. Gib eine Bijektion von M/~ auf die Menge der rationalen Zahlen an. |
Hallo,
Was ist bei dieser Aufgabe zu tun?
Ich verstehe die Aufgabenstellung leider nicht...
Lg,
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Sa 10.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Stell bitte eine konkrete Frage.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Sa 10.10.2009 | | Autor: | r2d2 |
Was bedeutet es eine Relation zu erklären...
Lg,
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Was bedeutet es eine Relation zu erklären...
das bedeutet, dass die Relation auf [mm] $M=\IZ \times (\IZ \setminus \{0\})$ [/mm] so definiert wurde/ist.
So gilt beispielsweise $(3,4) [mm] \sim [/mm] (-6,-8)$, weil [mm] $3*(-8)\blue{=}4*(-6)\;\;\;(=-24)$ [/mm] ist. (Und es sind auch $3,-6 [mm] \in \IZ$ [/mm] und $4,-8 [mm] \in \IZ \setminus \{0\}\,.$) [/mm]
Ferner ist bspw. $(2,5) [mm] \not\sim [/mm] (1,6)$, weil $2*6=12 [mm] \blue{\not=}5=5*1$ [/mm] ist.
Genaugenommen kannst Du das auch so schreiben:
Es ist [mm] $\sim \subseteq [/mm] M [mm] \times [/mm] M$ definiert durch:
$(x,y) [mm] \in \sim$
[/mm]
: [mm] $\gdw$ [/mm] $x [mm] \sim [/mm] y$
: [mm] $\gdw$ [/mm] $x=(a,b), y=(c,d) [mm] \in M=\IZ \times (\IZ \setminus \{0\})$ [/mm] und es gilt [mm] $a*d=b*c\,.$
[/mm]
(Bei der Notation $(3,4) [mm] \sim [/mm] (-6,-8)$ gilt ja wegen $3 [mm] \in \IZ$, [/mm] $4 [mm] \in \IZ \setminus \{0\}$ [/mm] auch $(3,4) [mm] \in [/mm] M$.)
(Oder nochmal anders notiert:
[mm] $\sim :=\left\{(x,y) \in M \times M:\;x=(a,b) \text{ und }y=(c,d) \text{ erfüllen die Gleichung }a*d=b*c\right\}\,.$)
[/mm]
P.S.:
[mm] ":$\gdw$" [/mm] bedeutet: "gilt definitionsgemäß genau dann, wenn"
P.P.S.:
Oben steht ja $x [mm] \sim [/mm] y$ definitonsgemäß für $(x,y) [mm] \in \sim$. [/mm] Analog benutze ich $x [mm] \not\sim [/mm] y$ anstelle von $(x,y) [mm] \notin \sim\,.$
[/mm]
Übrigens könntest Du dann oben anstelle von $(3,4) [mm] \sim [/mm] (-6,-8)$ auch [mm] $\big((3,4),\;(-6,-8)\big) \in \sim$ [/mm] schreiben und analoges. Aber die Schreibweise $x [mm] \sim [/mm] y$ anstatt $(x,y) [mm] \in \sim$ [/mm] soll eigentlich unter anderem der Überschaubarkeit dienen und sie kann auch zu Klammernersparnis führen, wie man oben sieht.
Zudem:
$x=(a,b) [mm] \in M=\IZ \times (\IZ \setminus \{0\})$ [/mm] bedeutet nichts anderes, als, dass [mm] $x\,$ [/mm] ein [mm] $2\,$-Tupel [/mm] $x=(a,b)$ ist, wobei $a [mm] \in \IZ$ [/mm] und $b [mm] \in \IZ \setminus \{0\}$ [/mm] ist.
Z.B. wäre [mm] $\big((3,4),\,(3/2,\,2)\big) \in \sim$ [/mm] falsch, weil $3/2 [mm] \notin \IZ$ [/mm] und somit [mm] $(3/2,\,2) \notin [/mm] M$ ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 So 11.10.2009 | | Autor: | r2d2 |
Hallo,
danke für die Erklärung - ich hab es einmal versucht.
[mm](a,b)\sim(c,d)\gdw c=am\wedge d=bm; m\in\IZ [/mm]
Da [mm]\bruch{c}{d}=\bruch{am}{bm}[/mm]
"Zeige, dass ÄR":
1. reflexiv: [mm]\left(a,b\right)\sim\left(a,b\right), a=am \wedge b=bm[/mm], da [mm] 1\in\IZ[/mm]
2. symmetrisch: [mm]\left(a,b\right)\sim\left(c,d\right)\gdw c=am \wedge d=bm\gdw d=bm\wedge c=am \gdw\left(c,d\right)\sim\left(a,b\right)[/mm]
3. transitiv: [mm]\left(\left(a,b\right)\sim\left(c,d\right)\right)\wedge\left(\left(c,d\right)\right)\gdw\left(c=am\wedge d=bm\right)\wedge\left(a=c\bar{m}\wedge b=d\bar{m}\right)[/mm]
Nur dann weiß ich bei der Transitivität nicht mehr weiter...
Oder hab ich etwas Grundlegendes falsch?
"Bijektion von M/~ auf die Menge der rationalen Zahlen":
[mm]f:\IZ\times\IN^\*\to\IQ[/mm]
[mm]x,x'\mapsto\f\left(\left(x,x'\right)\right)[/mm]
injektiv, da [mm]\forallz,z'\in\M\/\sim\:f\left(z\right)=f\left(z'\right)\Rightarrow\z=z'[/mm] für [mm] z=\left(x,x'\right)[/mm]
surjektiv: [mm]f\left(M/\sim\right):=Im_f=\IQ=\{f\left(\left(x,x'\right)\right)|x\in\IZ\,x'\in\IN\*\}[/mm]
daher bijektiv.
Das einzige Problem ist, dass [mm]x'\in\IN^\*[/mm], obwohl [mm]M:=\IZ \times\IZ^\*[/mm].
Aber wenn [mm]x'[/mm] aus den ganzen Zahlen wäre, dann wäre f nicht bijektiv.
Lg,
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 So 11.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> danke für die Erklärung - ich hab es einmal versucht.
>
> [mm](a,b)\sim(c,d)\gdw c=am\wedge d=bm; m\in\IZ[/mm]
wie kommt das zustande? An einem Beispiel:
Es gilt zwar $(3,6) [mm] \sim [/mm] (-4,-8)$, weil mit [mm] $a=3\,,$ $b=6\,,$ $c=-4\,$ [/mm] und $d=-8$ gilt $a*d=3*(-8)=-24$ und [mm] $b*c=6*(-4)=-24\,,$ [/mm] aber $c=a*m$ mit einem $m [mm] \in \IZ$ [/mm] würde bedeuten, dass $-4=3*m$ mit einem $m [mm] \in \IZ$ [/mm] bzw. [mm] $m=\frac{-4}{3} \in \IZ$ [/mm] wäre. Was offensichtlich Unfug ist. Vielleicht gehst Du oben an irgendeiner Stelle, ohne es zu erwähnen, quasi von einem vollständig gekürzten Bruch aus bzw. analog zu einer solchen Überlegung vor. Aber zum einen ist das so, wie es oben steht, ohne weitere Ergänzungen falsch, und zum anderen ist das unnötig!
$(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$ bedeutet definitionsgemäß einfach nur:
Es sind $a,c [mm] \in \IZ$, [/mm] $b,d [mm] \in \IZ^{\*}:=\IZ \setminus \{0\}$ [/mm] und es gilt [mm] $a*d=b*c\,.$
[/mm]
> Da [mm]\red{\bruch{c}{d}=\bruch{am}{bm}}[/mm]
S.o.!
> "Zeige, dass ÄR":
>
> 1. reflexiv: [mm]\left(a,b\right)\sim\left(a,b\right), a=am \wedge b=bm[/mm],
> da [mm]1\in\IZ[/mm]
S.o., wozu das [mm] $m\,$?
[/mm]
Die Reflexivität ist einfach einzusehen:
Seien $a [mm] \in \IZ$ [/mm] und $b [mm] \in \IZ^{\*}\,$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann gilt
$$(a,b) [mm] \sim (\underbrace{a}_{\hat=c},\underbrace{b}_{\hat=d})\,,$$
[/mm]
weil offensichtlich [mm] $a*\underbrace{b}_{\hat=d}=\underbrace{b}_{\hat=c}*a$ [/mm] gilt.
> 2. symmetrisch: [mm]\left(a,b\right)\sim\left(c,d\right)\gdw c=am \wedge d=bm\gdw d=bm\wedge c=am \gdw\left(c,d\right)\sim\left(a,b\right)[/mm]
Auch hier:
Seien $a,c [mm] \in \IZ$ [/mm] und $b,d [mm] \in \IZ^{\*}$ [/mm] beliebig, fest. Es gelte $(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$. Nun ist zu zeigen, dass dann auch $(c,d) [mm] \sim [/mm] (a,b)$ gilt.
Voraussetzung ist hier also:
$(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$ bzw. äquivalent dazu: $a,c [mm] \in \IZ$ [/mm] und $b,d [mm] \in \IZ^{\*}$ [/mm] und es gilt [mm] $a*d=b*c\,.$
[/mm]
Ziel ist es nun, unter dieser Voraussetzung nachzuweisen, dass dann auch $(c,d) [mm] \sim [/mm] (a,b)$ gilt, bzw. äquivalent dazu (unter Beachtung von $c,a [mm] \in \IZ$ [/mm] und $d,b [mm] \in \IZ^{\*}$) [/mm]
[mm] $$c*b=d*a\,.$$
[/mm]
Das ist so gut wie offensichtlich, ich schreibe es dennoch mal auf:
Aus $(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$ folgt per Definitionem von [mm] $\sim$, [/mm] dass $a,c [mm] \in \IZ$, [/mm] $b,d [mm] \in \IZ^{\*}$ [/mm] gilt und dass zudem die Gleichung $a*d=b*c$ wahr ist. Wegen der Kommutativität der Multiplikation in [mm] $\IR$ [/mm] folgt somit [mm] $d*a=c*b\,$ [/mm] bzw. [mm] $c*b=d*a\,.$ [/mm] Per Definitionem von [mm] $\sim$ [/mm] gilt somit, auch unter Beachtung von $c,a [mm] \in \IZ$ [/mm] und $d,b [mm] \in \IZ^{\*}$, [/mm] auch [mm] $(c,d)\sim(a,b)\,.$
[/mm]
> 3. transitiv:
> ...
Probier' das nochmal selber:
Du startest mit $(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$ und $(c,d) [mm] \sim (e,f)\,$ [/mm] wobei $a,c,e [mm] \in \IZ$ [/mm] und $b,d,f [mm] \in \IZ^{\*}$ [/mm] sind. Nun willst Du zeigen, dass dann $(a,b) [mm] \sim [/mm] (e,f)$ gilt, bzw., wenn Du beachtest, dass eh schon $a,e [mm] \in \IZ$ [/mm] und $b,f [mm] \in \IZ^{\*}$ [/mm] gilt: Du hast nachzuweisen, dass dann die Gleichung [mm] $a*f=b*e\,$ [/mm] gilt.
> "Bijektion von M/~ auf die Menge der rationalen Zahlen":
>
> [mm]f:\IZ\times\IN^\*\to\IQ[/mm]
> [mm]x,x'\mapsto\f\left(\left(x,x'\right)\right)[/mm]
Versteh' ich nicht. Ein Element $X [mm] \in \IZ \times \IN^\*$ [/mm] ist ein [mm] $2\,$-Tupel, [/mm] kann sich also schreiben als $X=(x,x')$ mit einem $x [mm] \in \IZ$ [/mm] und einem $x' [mm] \in \IN^\*\,.$
[/mm]
Die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] sollte also eher mit der Funktionsvorschrift:
[mm] $\IZ \times \IN^\* \ni [/mm] X=(x,x') [mm] \mapsto f((x,x')):=f(x,x'):=\frac{x}{x'}\,.$
[/mm]
Denn hier ist dann ja [mm] $\frac{x}{x'}$ [/mm] offensichtlich eine rationale Zahl (insbesondere ist ja stets $x' [mm] \not=0$). [/mm] Das Paar $(x,x')$ an sich ist ja nun keine rationale Zahl.
Aber:
> injektiv, da ...
das ist doch schon Quatsch: [mm] $f(3,6)=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=f(4,8)$, [/mm] obwohl $(3,6) [mm] \not=(4,8)\,.$ [/mm] Das Problem hier ist schon:
Dein [mm] $f\,$ [/mm] wäre auf [mm] $M\,$ [/mm] definiert. Eine Bijektion von [mm] $M\,$ [/mm] nach [mm] $\IQ$ [/mm] wirst Du nicht finden. Du musst schon beachten, dass die gesuchte Bijektion auf [mm] $M/\sim$ [/mm] definiert werden soll. Denn in [mm] $\IQ$ [/mm] identifiziert man ja auch Brüche mit verschiedenen Darstellungen, so ist etwa [mm] $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{27}{54}\,\ldots$ [/mm]
> surjektiv:
> [mm]f\left(M/\sim\right):=Im_f=\IQ=\{f\left(\left(x,x'\right)\right)|x\in\IZ\,x'\in\IN\*\}[/mm]
>
> daher bijektiv.
Da steht nun einfach irgendeine Behauptung, die weder nachgerechnet noch begründet wird.
Du musst also so vorgehen:
[mm] $M/\sim=\{[X]:\;X \in M\}\,,$ [/mm] wobei [mm] $[X]:=[X]_\sim:=\{(a,b) \in M:\;X \sim (a,b)\}\,.$
[/mm]
Für $[X] [mm] \in M/\sim$ [/mm] ist also $X [mm] \in M\,,$ [/mm] d.h. man kann $X=(x,x')$ mit einem $x [mm] \in \IZ$ [/mm] und $x' [mm] \in \IN^\*$ [/mm] schreiben.
Nun hast Du [mm] $f([X])\,$ [/mm] zu definieren. Das machst Du vermittels:
[mm] $$f([X]):=f(X):=f((x,x')):=f(x,x'):=\frac{x}{x'}\,.$$
[/mm]
Bevor Du Dich nun an die Injektivität bzw. Surjektivität von $f: [mm] M/\sim \to \IQ$ [/mm] machst, wäre erst mal die Wohldefiniertheit von [mm] $f\,$ [/mm] zu prüfen. D.h. es wäre nachzuweisen (beachte: $Y [mm] \in [/mm] [X] [mm] \Rightarrow [/mm] [X]=[Y]$):
Ist $Y [mm] \in [X]\,,$ [/mm] so gilt auch [mm] $f([Y])=f([X])\,.$
[/mm]
P.S.:
Es kann sein, dass Du anfangs anstelle von [mm] $\IZ^\*$ [/mm] an einigen Stellen [mm] $\IN^\*:=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] meintest. Kontrolliere das bitte nochmal selber nach!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:09 Di 13.10.2009 | | Autor: | r2d2 |
> > 3. transitiv:
> > ...
>
> Probier' das nochmal selber:
> Du startest mit [mm](a,b) \sim (c,d)[/mm] und [mm](c,d) \sim (e,f)\,[/mm]
> wobei [mm]a,c,e \in \IZ[/mm] und [mm]b,d,f \in \IZ^{\*}[/mm] sind. Nun willst
> Du zeigen, dass dann [mm](a,b) \sim (e,f)[/mm] gilt, bzw., wenn Du
> beachtest, dass eh schon [mm]a,e \in \IZ[/mm] und [mm]b,f \in \IZ^{\*}[/mm]
> gilt: Du hast nachzuweisen, dass dann die Gleichung
> [mm]a*f=b*e\,[/mm] gilt.
Transitivität:
[mm] a,c,e\in\IZ; b,d,f\in\IZ^\*[/mm]
[mm] \left(\left(a,b\right) \sim \left(c,d\right)\right)\wedge\left(\left(c,d\right)\sim\left(e,f\right)\right)\gdw\left(a,b\right)\sim\left(e,f\right)\gdw\left(ad=bc\right)\wedge\left(cf=de\right)\gdw\left(\bruch{d}{c}=\bruch{b}{a}\right)\wedge\left(\bruch{f}{e}=\bruch{d}{c}\right)\gdw\left(\bruch{b}{a}=\bruch{f}{e}\right)\gdw be=af\gdw af=be\gdw\left(a,b\right)\sim\left(e,f\right)[/mm]
> Bevor Du Dich nun an die Injektivität bzw. Surjektivität
> von [mm]f: M/\sim \to \IQ[/mm] machst, wäre erst mal die
> Wohldefiniertheit von [mm]f\,[/mm] zu prüfen. D.h. es wäre
> nachzuweisen (beachte: [mm]Y \in [X] \Rightarrow [X]=[Y][/mm]):
> Ist
> [mm]Y \in [X]\,,[/mm] so gilt auch [mm]f([Y])=f([X])\,.[/mm]
zu zeigen:
[mm] a\in\C_b\Rightarrow f\left(C_a\right)=f\left(C_b\right)[/mm]
indirekter Beweis:
[mm] f\left(C_a\right)\not=f\left(C_b\right)\Rightarrow C_a\not= C_b\Rightarrow C_a\cap C_b=\{\}\Rightarrow a\not\in C_b [/mm]
Stimmt das so?
Warum muss ich zeigen, dass f wohldefiniert ist?
Was bedeutet wohldefiniert genau (ich finde leider nirgends eine Erklärung).
Bijektivität:
Reicht es zu zeigen, dass es eine Umkehrabbildung gibt:
[mm] f^{-1}\circ f = id_{M/\sim} [/mm]
[mm] f: M/\sim\to\IQ; \left(x,x'\right)\mapsto\bruch{x}{x'}[/mm]
[mm] f^{-1}: \IQ\toM/\sim; \bruch{x}{x'}\mapsto\left(x,x'\right)[/mm]
[mm] f^{-1}\circf\Rightarrow f^{-1}\left(f\left(x,x'\right)\right)\Rightarrow f^{-1}\left(\bruch{x}{x'}\right)\Rightarrow\left(x,x'\right) [/mm]
Die andere Idee wäre zu zeigen, dass injektiv/surjektiv:
injektiv:
[mm] M/\sim\to\IQ; \left(x,x'\right)\mapsto\bruch{x}{x'}[/mm]
[mm]\forall C_x,C_z\in M/\sim[/mm] gilt [mm] f\left(C_x\right) = f\left(C_z\right)\Rightarrow C_x = C_z [/mm]
indirekt:
[mm] C_x\not= C_z \Rightarrow\left(x,x'\right)\not\sim\left(z,z'\right)\Rightarrow xz'=x'z\Rightarrow\bruch{x}{x'}\not=\bruch{z}{z'}\Rightarrow f\left(C_x\right)\not= f\left(C_z\right)[/mm] wobei [mm]\left(x,x'\right)\in C_x; \left(z,z'\right)[/mm]
Liebe Grüße,
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Di 13.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hi Daniel,
> > > 3. transitiv:
> > > ...
> >
> > Probier' das nochmal selber:
> > Du startest mit [mm](a,b) \sim (c,d)[/mm] und [mm](c,d) \sim (e,f)\,[/mm]
> > wobei [mm]a,c,e \in \IZ[/mm] und [mm]b,d,f \in \IZ^{\*}[/mm] sind. Nun willst
> > Du zeigen, dass dann [mm](a,b) \sim (e,f)[/mm] gilt, bzw., wenn Du
> > beachtest, dass eh schon [mm]a,e \in \IZ[/mm] und [mm]b,f \in \IZ^{\*}[/mm]
> > gilt: Du hast nachzuweisen, dass dann die Gleichung
> > [mm]a*f=b*e\,[/mm] gilt.
>
> Transitivität:
>
> [mm]a,c,e\in\IZ; b,d,f\in\IZ^\*[/mm]
> [mm]\left(\left(a,b\right) \sim \left(c,d\right)\right)\wedge\left(\left(c,d\right)\sim\left(e,f\right)\right)\red{\gdw}\left(a,b\right)\sim\left(e,f\right)\gdw\left(ad=bc\right)\wedge\left(cf=de\right)\gdw\left(\bruch{d}{c}=\bruch{b}{a}\right)\wedge\left(\bruch{f}{e}=\bruch{d}{c}\right)\gdw\left(\bruch{b}{a}=\bruch{f}{e}\right)\gdw be=af\gdw af=be\gdw\left(a,b\right)\sim\left(e,f\right)[/mm]
ich versteh' nicht genau, was Du da machst. Alleine schon beim ersten (nun rotmarkierten) [mm] $\gdw$ [/mm] frage ich mich, wie Du die Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] begründest. Und zu zeigen ist hier bei der Transitivität folgendes:
Wenn $a,c,e [mm] \in \IZ$ [/mm] und $b,d,f [mm] \in \IZ^\*$ [/mm] sind, dann gilt:
Aus $(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$ und $(c,d) [mm] \sim [/mm] (e,f)$ folgt $(a,b) [mm] \sim (e,f)\,.$
[/mm]
Das ist die Behauptung!
Also:
Generelle Voraussetzung (die könnte man sich auch sparen, da [mm] $\sim$ [/mm] ja eh nur auf einer gewissen Menge definiert ist, aber ich schreibe sie mal, damit Du diese "Nebensächlichkeit" (die trotzdem nicht unwichtig ist) stets präsent hast):
$a,c,e [mm] \in \IZ$ [/mm] und $b,d,f [mm] \in \IZ^\*$
[/mm]
Behauptung:
Unter (Beachtung) der generellen Voraussetzung gilt die Folgerung:
$(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$ und $(c,d) [mm] \sim [/mm] (e,f)$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $(a,b) [mm] \sim (e,f)\,.$
[/mm]
Wenn Du das nun beweist:
Wegen $(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$ gilt
[mm] $$I)\;\;\;ad=bc\,.$$
[/mm]
Aus $(c,d) [mm] \sim [/mm] (e,f)$ folgt
[mm] $$II)\;\;\; cf=de\,.$$
[/mm]
Nach Definition von [mm] $\sim$ [/mm] gilt auch
[mm] $$\blue{af=be} \Rightarrow [/mm] (a,b) [mm] \sim (e,f)\,.$$
[/mm]
Deswegen solltest Du nun mit [mm] $I)\,$ [/mm] und [mm] $II)\,$ [/mm] zeigen, dass die blaue Gleichung gilt.
Also hier mal die Beweisstruktur:
$(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] \Rightarrow I)\;\;\; ad=bc\,,$ [/mm]
und $(c,d) [mm] \sim [/mm] (e,f) [mm] \Rightarrow II)\;\;\; [/mm] cf=de$
[mm] $\Rightarrow$[blue][b] [/mm] ...[/b][/blue]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $af=be [mm] \Rightarrow$ [/mm] $(a,b) [mm] \sim (e,f)\,.$
[/mm]
Hier hast Du bei den " ..." noch was zu tun! Z.B.:
Wegen [mm] $I)\,$ [/mm] und $d [mm] \in \IZ^\*$, [/mm] insbesondere $d [mm] \not=0$, [/mm] gilt [mm] $a=\frac{bc}{d}\,.$ [/mm]
Nun gibt es zwei Fälle:
1. Fall: $c=0$: Dann ist (wegen [mm] $I)\,$ [/mm] und [mm] $d\not=0$) [/mm] auch $a=0$, wegen [mm] $II)\,$ [/mm] und $d [mm] \not=0$ [/mm] ist [mm] $e=0\,$ [/mm] und somit gilt...
2. Fall: $c [mm] \not=0$: [/mm] Wegen [mm] $II)\,$ [/mm] gilt dann [mm] $f=\,\ldots$ [/mm] und somit ist [mm] $af=\ldots$
[/mm]
Zum Rest:
Die Bijektivität einer Funktion $f: X [mm] \to [/mm] Y$ kann man natürlich zeigen, indem man Injektivität und Surjektivität der Funktion zeigt, oder aber, indem man zeigt, dass $f: X [mm] \to [/mm] Y$ injektiv ist und es eine Abbildung $g: Y [mm] \to [/mm] X$ gibt mit $f [mm] \circ g=\text{id}_Y$ [/mm] (vergleiche ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Surjektivität [mm] $\rightarrow$ [/mm] "... [mm] $f\ldots$ [/mm] ist genau dann surjektiv, wenn [mm] $f\,$ [/mm] eine rechte Inverse hat..."; man zeigt hier also nur die Surjektivität auf anderem Wege).
Zur Wohldefiniertheit von der oben vorgeschlagenen Funktion [mm] $f\,$ [/mm] hab' ich schon gesagt, was das heißt: Das bedeutet hier einfach die Repräsentantenunabhängigkeit.
So gilt (genau) für jedes $Y [mm] \in [X]\,,$ [/mm] dass [mm] $[Y]=[X]\,.$ [/mm] Da aber $f([X])$ in Abhängigkeit von $X [mm] \in [/mm] [X]$ definiert wurde, sollte, wenn $Y [mm] \not=X\,,$ [/mm] $Y [mm] \in [X]\,,$ [/mm] dann auch $f([Y])=f([X])$ gelten.
Würde ich z.B. für $x=p/q [mm] \in \IQ$ [/mm] definieren: [mm] $f(x)=p*q\,,$ [/mm] so wäre das nicht wohldefiniert. Es gilt zum Beispiel [mm] $3/7=6/14\,,$ [/mm] aber dann wäre $f(3/7)=3*7=21 [mm] \not=84=6*14=f(6/14)\,.$
[/mm]
P.S.:
Sorry, ich habe gerade nicht die Zeit, mir den Rest Deiner Frage mit korrigierender Reaktion zu beantworten. Vielleicht kann sich dafür ja jemand anderes die Zeit nehmen, oder ich hol' das ein andermal nach...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 15.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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