Relation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 So 24.02.2008 | | Autor: | semaJ |
Dange Angela, ich hab die Gruppenaxiome so weit durch :)
Mal ne andere kurze frage:
Die Relation [mm]R[/mm] in [mm]\IZ[/mm] sei gegeben durch
[mm]R = \{(a,b)}|a*b \ ist \ ungerade\} \subseteq \IZ \times \IZ[/mm]
In [mm]R[/mm] sind ja dann nur sowas wie [mm](1,1), (1,3), (1,5)[/mm] usw, also nur ungerade
Dann erfüllt [mm]R[/mm] ja keine Eigenschaften einer Aquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv) oder?
gruß
|
|
| |
|
Doch, das dürfte eine Äquivalenzrelation sein:
Reflexiv:
(a,a) ist [mm] \in [/mm] R, denn (a,a) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] a*a = [mm] a^{2} [/mm] ist ungerade; eine Quadratzahl [mm] a^{2} [/mm] ist ungerade wenn a ungerade ist; und es sind ja nur ungerade Paare in R, wie wir wissen.
Symmetrisch:
(a,b) [mm] \in [/mm] R --> (b,a) [mm] \in [/mm] R
Das ist auch logisch: Wenn (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] a*b ungerade, dann ist auch b*a ungerade [mm] \gdw [/mm] (b,a) [mm] \in [/mm] R
Transitiv:
(a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,c) [mm] \in [/mm] R --> (a,c) [mm] \in [/mm] R
Auch das funktioniert:
(a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] a*b ungerade --> a,b ungerade
(b,c) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] b*c ungerade --> b,c ungerade
--> a,c sind ungerade --> a*c ungerade --> (a,c) [mm] \in [/mm] R.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 24.02.2008 | | Autor: | semaJ |
Aber es heißt doch:
[mm]R[/mm] ist Relation in [mm]\IZ[/mm]! Also muss Reflexivität, Transitivität oder Symmetrie für alle Elemente aus [mm]\IZ[/mm] gelten. Ansonsten ist [mm]R[/mm] ja nicht reflexiv, transitiv oder symmetrisch!
Grad nochma ne Definition aus meinem Vorlesungsscript gefunden:
Definition 1.26. Sei [mm]R[/mm] Relation in [mm]X[/mm].
1. [mm]R[/mm] heißt reflexiv, wenn gilt [mm]\forall x \in X : xRx[/mm]
2. [mm]R[/mm] heißt symmetrisch, wenn gilt [mm]\forall x,y \in X : xRy \to yRx[/mm]
3. [mm]R[/mm] heißt transitiv, wenn gilt [mm]\forall x,y,z \in X : xRy \wedge yRx \to xRz[/mm]
[mm]xRx = (x,x) \in R[/mm]
[mm]xRy = (x,y) \in R[/mm]
Und das ist doch nicht gegeben?
[mm](2,2) \in \IZ[/mm] aber [mm](2,2) \notin R[/mm]
gruß
|
|
|
| |
|
Hallo semaj,
Dein Einwand ist berechtigt, diese Relation ist nicht reflexiv, wie das Gegenbeispiel zeigt. Gerade Zahlen stehen nämlich nicht zu sich selbst in Relation. Sie ist jedoch symmetrisch und transitiv.
Viele Grüße,
StefanK
|
|
|
| |
|
Ja, ihr habt recht - auf gesamt Z gilt es natürlich nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:03 Mo 25.02.2008 | | Autor: | steppenhahn |
Es wäre eine Äquivalenzrelation, wenn es nur auf der Menge der ungeraden ganzen Zahlen definiert wäre; da es aber auf der Menge aller ganzen Zahlen definiert ist und z.B. (2,2) eindeutig nicht Element der Relation ist (und somit die Reflexivität verletzt ist), ist diese Antwort falsch.
|
|
|
|
