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Rekursive Folge Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Mo 14.05.2012
Autor: MaxPlanck

Aufgabe
Eine Folge [mm] \[(x_{n})_{n\in\IN}\] [/mm] in R sei durch vorgegebene reelle Werte [mm] \[x_{0} [/mm] und [mm] \[x_{1}\], [/mm] sowie durch
[mm] \[x_{n} [/mm] := [mm] 6x_{n−1} [/mm] − [mm] 5x_{n−2} [/mm] für [mm] \[n\in\IN\], \[n\ge 2\] [/mm] gegeben.

a) Setze für [mm] \[n\in\IN\] [/mm] den Vektor [mm] \[X_{n}=\vektor{x_{n} \\ x_{n+1}}\]. [/mm] Finde eine Matrix A, sodass [mm] \[X_{n} [/mm] = [mm] AX_{n-1} [/mm]
für alle [mm] \[n\in\IN\] [/mm] gilt.

b) Es seien jetzt [mm] \[x_{0}=3\] [/mm] und [mm] \[x_{1}=7\]. [/mm] Zeige durch vollständige Induktion, dass [mm] \[x_{n}=2+5^{n}\] [/mm]
für alle [mm] \[n\in\IN\] [/mm] gilt.

Punkt a) ist mir klar,
[mm] \[\vektor{x_{n} \\ 6x_{n}-5x_{n-1}}=\pmat{ 0 & 1 \\ -5 & 6 }\vektor{x_{n-1} \\ x_{n}}\] [/mm]

Bei b) hab ich mit [mm] \[n=2\] [/mm] angefangen, stimmt, denn [mm] \[6*7-5*3=2+5^{2}\]. [/mm] Und jetzt der Induktionsschritt nach [mm] \[n+1\]. [/mm] Da fangen meine Probleme an.
[mm] \[x_{n+1}=6x_{n}-5x_{n-1}=6*(2+5^{n})-5(...)\] [/mm]

Wie mache ich weiter?

        
Bezug
Rekursive Folge Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Mo 14.05.2012
Autor: Blech

Hi,

> Bei b) hab ich mit $ [mm] \[n=2\] [/mm] $ angefangen, stimmt, denn $ [mm] \[6\cdot{}7-5\cdot{}3=2+5^{2}\]. [/mm] $

Du solltest n=0 und n=1 als Induktionsanfang überprüfen (beide, damit die Regel allgemein gültig ist für [mm] $n\in\IN_0$), [/mm] und n=2 kann man schon in den Induktionsschritt packen.

> [mm] $x_{n+1}=6x_{n}-5x_{n-1}=6\cdot{}(2+5^{n})-5*(2+5^{n-1}) =\ldots$ [/mm]

Und weiter?

> Wie mache ich weiter?

Mit den Rechenregeln der 5.-9. Klasse. Als erstes mit dem Distributivgesetz. =)

ciao
Stefan


Bezug
                
Bezug
Rekursive Folge Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Mo 14.05.2012
Autor: MaxPlanck

Also [mm] \[12+6*5{n}-10+5^{n}=2+7*5^{n}\] [/mm]
Was sagt mir das?
Ich blicke da nicht durch



Bezug
                        
Bezug
Rekursive Folge Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:44 Di 15.05.2012
Autor: Blech


> Also $ [mm] \[12+6\cdot{}5{n}-10+5^{n}=2+7\cdot{}5^{n}\] [/mm] $
> Was sagt mir das?

Daß sich Dein 5. Klass-Lehrer im Lehrerzimmer umdreht.

[mm] $-(10+5^n) [/mm] = -10 [mm] -5^n$ [/mm]


Du solltest wirklich entweder an Deiner Sorgfalt (oder Deinen Rechenregeln) arbeiten. Das Ausrechnen ist mit Abstand das Leichteste an jeder Klausur. Es ist wirklich blöd, da Punkte liegen zu lassen. =)

ciao
Stefan <- Spricht aus Erfahrung

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