Rekursive Folge / Induktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Nico82 |
| Aufgabe | Die Folge [mm](a_n, n \in \IN)[/mm] in [mm] \IN [/mm] sei gegeben durch
[mm]a_1 = 1, a_2 = 1, a_{n+1} = a_n + a_{n-1}[/mm]
Beweisen Sie für m, n [mm] \in \IN:
[/mm]
b) [mm]a_{2n} = a_n(a_{n+1} + a_{n-1}),[/mm]
c) [mm]a^2_{2n+1} = a^2_{2n} + a_{2n}a_{2n+1} + 1[/mm]
d) Ist diese Folge konvergent? Falls ja, so berechnen Sie den Grenzwert |
Zunächst meine Lösungsansätze:
b) Beweis über Induktion
IA: n = 2(da [mm]a_0[/mm] undefiniert)
... ist wahr für n=2
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm]a_{2(n+1)} = a_{n+1}(a_{n+2} + a_n) = (nach Def.) (a_n + a_{n-1})(a_{n+2} + a_n) = a_n a_{n+2} + a_n a_n + a_{n-1}a_{n+2} + a_{n-1}a_n = ...[/mm]
Ab hier komme ich nicht mehr weiter.
c)
IA: n=1, .. wahr für beliebiges aber festes n [mm] \in \IN
[/mm]
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm]a^2_{2(n+1)+1} = a^2_{2(n+1)} + a_{2(n+1)}a_{2(n+1)+1} + 1 = a^2_{2n+2} + a_{2n+2}a_{2n+3} + 1[/mm]
.. erneut stecke ich hier fest, ich sehe nicht wie ich die Gleichung in eine entsprechende Form bringen kann um den IS zu beweisen.
Und zu guter letzt die d) Wie zeigt man dies bei einer derart definierten Folge? Dank der Rekursion gestaltet sich das Abschätzen / Grenzwert raten recht schwierig wie ich finde..
Vielen Dank im Voraus für alle Tips und Hilfestellungen!
Grüsse,
Nico
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hiho,
ist vllt. nicht so gewollt, aber wäre auch einen Weg:
Du leitest dir die ![[]](/images/popup.gif) explizite Formel her und beweist den Rest darüber.
Bis auf die Konvergenz, die lässt sich einfach Widerlegen.
Schau dir die Rekursionsvorschrift an, was fällt dir auf?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Nico82 |
> Schau dir die Rekursionsvorschrift an, was fällt dir auf?
Offen gesagt nicht allzuviel, ich bin mir nicht sicher inwiefern ich damit weiterkommen kann :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
gucke gerade "You can dance" auf "Pro 7"  . Also los:
zu (b):
1. Induktionsanfang beginnt bei $n=1$ (nicht bei n=2), d.h.
[mm] $a_{2\cdot{1}}=a_2=1$ [/mm] (nach Definition)
und
[mm] $a_1\left(a_2+a_0\right)=$ (a_0=0, [/mm] da wir hier die Fibonacci-Folge vorleigen haben)
2. Induktionsschluß:
Du verwendest die Induktionsvorraussetzung zu früh! Beginne mit der Definition der Folge.
In etwa so:
[mm] $a_{2(n+1)}=a_{(2n+1)+1}=a_{2n+1}+a_{2n}$ [/mm] (nach Definition)
[mm] $=a_{2n+1}+a_n(a_{n+1}+a_{n-1})$ [/mm] (nich IV)
[mm] $=a_{2n}+a_{2n-1}+a_n(a_{n+1}+a_{n-1})$ [/mm] (nach Definition)
[mm] $=a_n(a_{n+1}+a_{n-1})+a_{2n-1}+a_n(a_{n+1}+a_{n-1})$ [/mm] (nach Definition)
[mm] $=a_n(a_{n+1}+a_{n-1})+ +a_n(a_{n+1}+a_{n-1})$
[/mm]
(...) versuch du's mal. Aber so gehts los. und rauskommen muss:
[mm] $=a_{n+1}(a_{n+2}+a_{n})$
[/mm]
zu (c):
Du machst wie in (b) den selben Fehler: Du nutzt die Induktionsvorrausetzung für $n+1$ an.
Das darfst du nicht. Du musst die Definition verwenden.
z.B. Induktionsschritt in (c): [mm] $n\longrightarrow{n+1}$
[/mm]
[mm] $a_{2n+2+1}^2=a_{2n+2}+a_{2n+2-1}$
[/mm]
Ich hoffe du weißt was ich meine. Versuchs mal, das ist nicht schwierig. Du bekommst das schon hin.
zu (d):
Da die Folge divergiert kannst du keinen Grenzwert bestimmen. Das kann man sich leicht klar machen:
Die Folge ist so definiert, dass sich das Folgenglied durch die Summe ihrer beiden Vorgänger berechnet und eine solche Folge kann gegen keinen festen (bestimmten) Wert konvergieren.
Schreib dir am besten mal die ersten 10 oder 15 Werte auf, dann siehst du was ich meine.
Schönen Gruß
Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Nico82 |
Super, vielen Dank für die ausführliche Antwort! :)
Huch ja.. Fibonacci, ist mir gar nicht aufgefallen.
Viel Spass bei der Tanzshow!
Grüsse,
Nico
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Danke. Viel Spaß bei der Aufgabe.
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