Rekursive Definition < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:04 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Labatyd |
| Aufgabe | [mm] a\ge0 [/mm] Die Folge a(n) [mm] n\in\IN [/mm] sei rekursiv definiert durch a(1)=a und [mm] a(n+1)=\bruch{1}{2}*(a(n)+\bruch{a}{a(n)})
[/mm]
1. Aufgabe [mm] a(n)\ge\wurzel{a} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] nachweisen
2. Aufgabe nachweisen, dass [mm] a(n)n\in\IN [/mm] monoton fällt
3. Aufgabe den Grenzwert der Folge angeben |
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist nachzuweisen oder zu wenigstens zu verstehen, dass a(n) > 0 gilt. Mein Lehrbuch und die Musterlösung zu dieser Aufgabe kommentiert dies nur mit der Anmerkung, dass man dies leicht durch vollständige Induktion zeigen könnte. Nun bin ich in der Lage Aufgabe 1,2,3 problemlos zu lösen unter der Annahme, dass [mm] a(n)\ge0 [/mm] tatsächlich gilt.
Die Frage:
Ich weiss nun, dass aus [mm] a(1)\ge0 [/mm] logisch folgt, dass [mm] a(2)\ge0 [/mm] gelten muss, daraus wieder, dass [mm] a(3)\ge0 [/mm] usw. Muss ich überhaupt beweisen, dass [mm] a(n)\ge0 [/mm] gilt, oder kann ich dies als Induktionsvoraussetzung direkt nutzen um daraus a(n+1)>0 durch simples umformen zu beweisen?
danke für Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Fr 24.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_0>0 [/mm] ist der Anfang. Dann werden doch nur Addition und Division benutzt. damit ist klar, dass nie was negatives entstehen kann. Das kann man natuerlich auch mit Induktionsanfang: [mm] a_0>0 [/mm] und dann Induktionsvorrausetzung [mm] a_n>0 [/mm] daraus schliessen [mm] a_{n=1}>0
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:36 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Labatyd |
| Aufgabe | $ [mm] a\ge0 [/mm] $ Die Folge a(n) $ [mm] n\in\IN [/mm] $ sei rekursiv definiert durch a(1)=a und $ [mm] a(n+1)=\bruch{1}{2}\cdot{}(a(n)+\bruch{a}{a(n)}) [/mm] $
1. Aufgabe $ [mm] a(n)\ge\wurzel{a} [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $ nachweisen
2. Aufgabe nachweisen, dass $ [mm] a(n)n\in\IN [/mm] $ monoton fällt
3. Aufgabe den Grenzwert der Folge angeben |
danke schonmal für die erste Antwort, die mir mit der ersten Problemstellung schon sehr weitergeholfen hat. Mir ist jetzt noch ein weiteres Problem aufgefallen, dass ich mit Aufgabenteil 2 habe.
Zu beweisen ist ja, dass [mm] $a(n)\ge [/mm] a(n+1)$ gilt.
In meiner Musterlösung wurde das nun so bewiesen:
A(n)-A(n+1) = A(n) - [mm] \bruch{1}{2}a(n) [/mm] + [mm] \bruch{a}{2a(n)} \ge [/mm] 0
A(n)-A(n+1) = [mm] \bruch{1}{2}a(n) [/mm] + [mm] \bruch{a}{2a(n)} \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] A(n) [mm] \ge [/mm] A(n+1)
ist hier nicht schon in der ersten Zeile ein fehler? Müsste es nicht
A(n) - [mm] (\bruch{1}{2}a(n) [/mm] + [mm] \bruch{a}{2a(n)}) [/mm] heissen und daraus
A(n) - [mm] \bruch{1}{2}a(n) [/mm] - [mm] \bruch{a}{2a(n)} [/mm] folgen?
in diesem Fall währe dann ja zuerst mal
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(a(n)\ge\bruch{a}{a(n)} [/mm] zu beweisen, damit das ganze größer 0 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:37 Sa 25.07.2009 | | Autor: | Labatyd |
Hallo,
ich finde nach dem Vorschlag aus deiner Antwort keine Möglichkeit
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(a(n)\ge\bruch{a}{a(n)} [/mm] mit meinen bisherigen Ergebnissen durch umformen zu beweisen!
Bisher habe ich
a(n) [mm] \ge \wurzel[2]{a} [/mm]
a(n+1) [mm] \ge \wurzel[2]{a}
[/mm]
a [mm] \ge [/mm] 1 ( nach dem Tipvon Al-Chwarizmi mit der falschen Aufgabenstellung)
A(n+1) = [mm] \bruch{1}{2}a(n) [/mm] + [mm] \bruch{a}{2a(n)} \ge \wurzel[2]{a}
[/mm]
Forme ich nun [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(a(n)\ge\bruch{a}{a(n)} [/mm] um komme ich nur auf
[mm] \bruch{1}{2}(a(n)^2 \ge [/mm] a
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] a(n) [mm] \ge \wurzel{a} [/mm] was mit den obigen Ergebnissen keinesfalls ein Beweis ist!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Sa 25.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schreibst:
$ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(a(n)\ge\bruch{a}{a(n)} [/mm] $
richtig waere aber
$ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(a(n)\ge\bruch{a}{2*a(n)} [/mm] $
irgendwo ist das 1/2 beim zweiten Bruch verlorengegangen, schon ein post vorher>
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Sa 25.07.2009 | | Autor: | Labatyd |
Eureka! das ist natürlich ein blöder Fehler gewesen und erklärt einiges.
danke
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> [mm]a\ge0[/mm] Die Folge a(n) [mm]n\in\IN[/mm] sei rekursiv definiert durch
> a(1)=a und [mm]a(n+1)=\bruch{1}{2}*(a(n)+\bruch{a}{a(n)})[/mm]
>
> 1. Aufgabe [mm]a(n)\ge\wurzel{a}[/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] nachweisen
> 2. Aufgabe nachweisen, dass [mm]a(n)n\in\IN[/mm] monoton fällt
> 3. Aufgabe den Grenzwert der Folge angeben
Die ersten zwei Behauptungen kann man
nicht beweisen, weil sie falsch sind.
Beispiel: $\ a=0.01$ führt auf
[mm] $a_1\ [/mm] =\ 0.01\ <\ [mm] \wurzel{a}$ [/mm] Widerspruch zu (1)
[mm] $a_2\ [/mm] =\ 0.505\ >\ [mm] a_1$ [/mm] Widerspruch zu (2)
[mm] $a_3\ \approx\ [/mm] 0.262$
Vermutlich sollte die Voraussetzung für a
nicht [mm] a\ge [/mm] 0 heissen (für a=0 geht's so
oder so schief !), sondern [mm] a\ge [/mm] 1 .
Oder man verlangt a>0 und behauptet
(1) und (2) nicht für alle [mm] n\in\IN, [/mm] sondern
nur für [mm] n\ge [/mm] 2 .
LG Al-Chwarizmi
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig erkannt.
