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| Aufgabe | Geg. sei die durch $ [mm] x_0 [/mm] $ = 1 und $ [mm] x_{n+1}=e^{2-\bruch{1}{x_n}} [/mm] $
für $ [mm] n\ge [/mm] $ 0 definierte Folge.
a) Man zeige, dass die Folge konvergiert.
b) Man begründe, dass der Grenzwert a der Folge eine Lösung der Gleichung $ [mm] x=e^{2-\bruch{1}{x}} [/mm] $ ist. |
Ich zeige, dass die Folge konvertiert:
1) Monoton
2) beschränkt
zu1) Ich setze ein paar Werte ein (n=0,...) und sehe, dass die Folge monoton wachsend ist.
Induktionsanfang: klar
Induktionsschritt: n-> n+1
Zu zeigen:
[mm] x_n+1 \le x_n+2.
[/mm]
Dann will ich mal einsetzen:
[mm] e^{2-\bruch{1}{x_n}} \le e^{2-\bruch{1}{x_n+1} }
[/mm]
Wie kann ich jetzt weiterverfahren?
Wie kann ich hier die Beschränktheit zeigen?
Ich weiß, das [mm] x_0 [/mm] = 1 ist, dann würde ich sagen, dass 1 untere Grenze ist. Welche Grenze nehme ich für oben?
DANKE.
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Hallo!
> Geg. sei die durch [mm]x_0[/mm] = 1 und
> [mm]x_{n+1}=e^{2-\bruch{1}{x_n}}[/mm]
> für [mm]n\ge[/mm] 0 definierte Folge.
> a) Man zeige, dass die Folge konvergiert.
> b) Man begründe, dass der Grenzwert a der Folge eine
> Lösung der Gleichung [mm]x=e^{2-\bruch{1}{x}}[/mm] ist.
> Ich zeige, dass die Folge konvertiert:
> 1) Monoton
> 2) beschränkt
>
> zu1) Ich setze ein paar Werte ein (n=0,...) und sehe, dass
> die Folge monoton wachsend ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Induktionsanfang: klar
>
> Induktionsschritt: n-> n+1
> Zu zeigen:
> [mm]x_n+1 \le x_n+2.[/mm]
Jetzt, wenn ich mir den Quelltext anschaue, sehe ich, dass du das richtige meinst, nämlich dass [mm] $x_{n+1}\le x_{n+2}$ [/mm] zu zeigen ist. Du musst beim Tiefstellen von Werten eine geschweifte Klammer um den Index machen, sobald er aus mehr als einem Zeichen besteht: x_{n+1}.
Also, du machst Folgendes:
[mm] $x_{n+1}\le x_{n+2}$
[/mm]
[mm] $\gdw e^{2-\frac{1}{x_{n}}} \le e^{2-\frac{1}{x_{n+1}}}$
[/mm]
Jetzt auf beiden Seiten den Logarithmus naturalis ziehen. Das Relationszeichen dreht sich dabei nicht um, weil der Logarithmus monoton wachsend ist.
[mm] $\gdw 2-\frac{1}{x_{n}} \le 2-\frac{1}{x_{n+1}}$
[/mm]
[mm] $\gdw -\frac{1}{x_{n}} \le -\frac{1}{x_{n+1}}$
[/mm]
Nun wenden wir an, dass [mm] $x_{n} [/mm] > 0$ ist für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Das ist klar, weil [mm] $e^{z} [/mm] > 0$ für alle [mm] $z\in\IR$. [/mm] Das heißt, wir dürfen mal [mm] x_{n}
[/mm]
bzw. [mm] x_{n+1} [/mm] auf beiden Seiten rechnen, ohne eine Fallunterscheidung machen zu müssen, ob sich das Relationszeichen umdreht oder nicht.
[mm] $\gdw -x_{n+1} \le -x_{n}$
[/mm]
[mm] $\gdw x_{n+1} \ge x_{n}$
[/mm]
... Was die Induktionsvoraussetzung ist. Du solltest diesen Beweis nun genau umgekehrt aufschreiben, weil es eleganter ist bei etwas "Wahrem" (der Induktionsvoraussetzung) zu beginnen und dann die Behauptung zu zeigen als umgekehrt.
Zur Beschränktheit: Da [mm] $x_{0} [/mm] = 1$ und die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] monoton wachsend, kannst du zunächst [mm] $x_{n} \ge [/mm] 1$ für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] folgern, also ist [mm] $0\le \frac{1}{x_{n}}\le [/mm] 1$.
Welchen kleinsten Wert kann [mm] $x_{n} [/mm] = [mm] e^{2-\frac{1}{x_{n}}}$ [/mm] dann annehmen?
Analog: Welchen größten Wert kann [mm] $x_{n} [/mm] = [mm] e^{2-\frac{1}{x_{n}}}$ [/mm] dann annehmen?
Grüße,
Stefan
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Ich würde sagen, e als größten Wert und 1 als kleinsten Wert. Liege ich richtig?
Danke für die Hilfestellung, habe den Rest jetzt super verstanden
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Hallo!
> Ich würde sagen, e als größten Wert und 1 als kleinsten
> Wert. Liege ich richtig?
1 als niedrigster Wert ist richtig, der höchste Wert ist jedoch zunächst erstmal [mm] e^{2}. [/mm] Der Wert e wird doch schon von [mm] x_{1} [/mm] erreicht!
Nun müsstest du nur noch kurz begründen, warum [mm] e^{2} [/mm] garantiert eine obere Schranke ist.
Grüße,
Stefan
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Wie kommt man denn auf [mm] e^{2}? [/mm] Wenn ich doch für [mm] x_0 [/mm] = 1 habe, dann setze ich ein und komme auf: 2-1=1 -> e und nicht [mm] e^{2}! [/mm] Habe ich hier meinen Denkfehler?
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Hallo!
Es ist
[mm] x_{0} [/mm] = 1
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] e^{2-\frac{1}{x_{0}}} [/mm] = [mm] e^{2-\frac{1}{1}} [/mm] = [mm] e^{1} [/mm] = e
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] e^{2-\frac{1}{x_{1}}} [/mm] = [mm] e^{2-\frac{1}{e}} [/mm] > e,
denn jetzt ist der Exponent von e ja offenbar größer als 1 [mm] (\frac{1}{e} [/mm] < 1) !
Bleibt also nur noch die Frage, wie groß [mm] x_{n} [/mm] höchstens wird. Und da [mm] x_{n} [/mm] monoton wachsend ist, dürfte der schlimmste Wert für (ein provisorisches) [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] eintreten, und dann ist
[mm] x_{\infty} [/mm] = [mm] e^{2-\frac{1}{\infty}} [/mm] = [mm] e^{2}
[/mm]
Grüße,
Stefan
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