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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Rekursiv definierte Folge
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Rekursiv definierte Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Do 30.04.2015
Autor: brudi

Aufgabe
Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Konvergenzkriteriums, dass die rekursiv definierte Folge [mm] ${(a_n)}_{n\in\IN}$ [/mm] mit $ [mm] a_1 [/mm] = 0 $ und $ [mm] {a}_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2+a_n}$ [/mm] konvergiert. Bestimmen Sie den Grenzwert!

Dies ist meine erste rekursiv definierte Folge, daher bin ich etwas ratlos!

Zur Grenzwertberechnung bin ich folgendermaßen vorgegangen:

$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {a}_{n+1}$ [/mm]

$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {a}_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2+a_n}$ [/mm]

Daher
$ a = [mm] \frac{1}{2+a} [/mm] $

Allerdings stockt es dann bei

$ 2a + [mm] {a}^{2} [/mm] = 1 $ und ich weiß nicht mehr weiter...


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Rekursiv definierte Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Fr 01.05.2015
Autor: DieAcht

Hallo brudi und [willkommenmr]


> Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Konvergenzkriteriums, dass
> die rekursiv definierte Folge [mm]{(a_n)}_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_1 = 0[/mm]
> und [mm]{a}_{n+1} = \frac{1}{2+a_n}[/mm] konvergiert.

Hast du diesen Teil bereits gezeigt?

> Bestimmen Sie den Grenzwert!
> Dies ist meine erste rekursiv definierte Folge, daher bin
> ich etwas ratlos!
>  
> Zur Grenzwertberechnung bin ich folgendermaßen
> vorgegangen:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n = \limes_{n\rightarrow\infty} {a}_{n+1}[/mm]

Falls du den ersten Teil der Aufgabe bereits gezeigt hast,
dann ist es soweit in Ordnung. Anderenfalls schreibe davor
sowas wie "Angenommen, die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert ...".

Bezüglich deiner Argumentation unten ist es hier sinnvoll

      [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty} {a}_{n+1}=:a [/mm]

zu definieren.

> Daher [mm]a = \frac{1}{2+a}[/mm]

Richtig. [ok]

> Allerdings stockt es dann bei
>  
> [mm]2a + {a}^{2} = 1[/mm] und ich weiß nicht mehr weiter...

Es ist

      [mm] $2a+{a}^{2}=1$ [/mm]

      [mm] $\Rightarrow a^2+2a-1=0$. [/mm]

Das ist eine quadratische Gleichung. Das schaffst du bestimmt.
Du wirst offensichtlich zwei Lösungen erhalten. Welche davon
ist aber zu vernachlässigen und warum?


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Rekursiv definierte Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Fr 01.05.2015
Autor: brudi


> Es ist
>  
> [mm]2a+{a}^{2}=1[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow a^2+2a-1=0[/mm].
>  
> Das ist eine quadratische Gleichung. Das schaffst du
> bestimmt.
>  Du wirst offensichtlich zwei Lösungen erhalten. Welche
> davon
>  ist aber zu vernachlässigen und warum?
>  

Ich komme auf die beiden Werte

[mm] $a_1 [/mm] = -1 + [mm] \wurzel{2}$ [/mm] und [mm] $a_2 [/mm] = -1 - [mm] \wurzel{2}$ [/mm]

Da [mm] $a_1$ [/mm] positiv ist, ist dies der gesuchte Grenzwert!

Beim Beweis der Konvergenz mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums tue ich mich auch schwer... Also ich würde jetzt induktiv beweisen, dass [mm] $a_n$ [/mm] monoton fallend und 0 eine untere Schranke ist. Aber das ist ja nicht das Cauchy-Kriterium... Habt ihr 'nen Tipp?

Viele Grüße,

Sebi

Bezug
                        
Bezug
Rekursiv definierte Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Fr 01.05.2015
Autor: reverend

Hallo Sebi,

eigentlich bist Du jetzt schon ganz schön weit gekommen, aber Dein aktueller Plan geht nicht auf.

> > Es ist
>  >  
> > [mm]2a+{a}^{2}=1[/mm]
>  >  
> > [mm]\Rightarrow a^2+2a-1=0[/mm].
>  >  
> > Das ist eine quadratische Gleichung. Das schaffst du
> > bestimmt.
>  >  Du wirst offensichtlich zwei Lösungen erhalten. Welche
> > davon
>  >  ist aber zu vernachlässigen und warum?
>  >  
>
> Ich komme auf die beiden Werte
>  
> [mm]a_1 = -1 + \wurzel{2}[/mm] und [mm]a_2 = -1 - \wurzel{2}[/mm]
>  
> Da [mm]a_1[/mm] positiv ist, ist dies der gesuchte Grenzwert!

1) Stimmt.
2) Die Indizierung [mm] a_{\blue{1}}, a_{\blue{2}} [/mm] ist nicht geschickt, weil es ja auch zwei Folgenglieder gibt, die so "heißen". Sagen wir lieber [mm] g_1, g_2. [/mm]
3) Hast Du schon gezeigt, dass alle Folgenglieder positiv sind?

> Beim Beweis der Konvergenz mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums
> tue ich mich auch schwer... Also ich würde jetzt induktiv
> beweisen, dass [mm]a_n[/mm] monoton fallend

Das könnte schwierig werden. Die Folge ist nicht monoton fallend.

> und 0 eine untere
> Schranke ist.

Das ist doch viel zuwenig. Wenn der Grenzwert existiert, dann kennst Du doch schon seinen Wert.

Definiere [mm] b_n=|a_n-g_1| [/mm]
Das ist in der Tat eine monoton fallende Nullfolge.
Wenn Du das zeigen kannst, dann hast Du auch die Konvergenz von [mm] a_n [/mm] gezeigt und sogar faktisch das Cauchy-Kriterium angewandt.
Überleg Dir vor allem, warum Letzteres so ist.

Und dann ran an die Buletten...

Grüße
reverend

> Aber das ist ja nicht das Cauchy-Kriterium...
> Habt ihr 'nen Tipp?
>  
> Viele Grüße,
>  
> Sebi  


Bezug
                                
Bezug
Rekursiv definierte Folge: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 01:09 Sa 02.05.2015
Autor: bezier

Hallo,

Um die Konvergenz der Folge [mm] a_n [/mm] zu beweisen
ist das Cauchy-Kriterium hier anwendar :

Zunächst müssen wir beweisen,
dass für alle n,
| [mm] a_n [/mm] | [mm] \le \frac{1}{2}[/mm]

Dann :
für alle n,p grösser als 1,
| [mm] a_n - a_p [/mm] | = | [mm] a_{n-1} - a_{p-1} [/mm] || [mm] a_n [/mm] || [mm] a_p [/mm] |

Dann die Begrenzung:
| [mm] a_n - a_p [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] a_{n-1} - a_{p-1} [/mm] |[mm](\frac{1}{2})^2[/mm]

Dann:
N = inf{n, p }
M = sup{ n, p }
| [mm] a_n - a_p [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] a_{M-N} - 1 [/mm] |[mm](\frac{1}{4})^N[/mm]

Dann die Uniform-Begrenzung mit Geometrischer Folge :
| [mm] a_n - a_p [/mm] | [mm] \le [/mm] 2[mm] (\frac{1}{4})^N[/mm]

So, für alle [mm]\epsilon [/mm]> 0
gibt es N
so dass für alle n, p [mm] \ge [/mm] N,
| [mm] a_n - a_p [/mm] | [mm] \le \epsilon[/mm]

d.h. Cauchy-Konvergenz der Folge [mm] a_n [/mm]

Grüsse.


> Hallo Sebi,
>  
> eigentlich bist Du jetzt schon ganz schön weit gekommen,
> aber Dein aktueller Plan geht nicht auf.
>  
> > > Es ist
>  >  >  
> > > [mm]2a+{a}^{2}=1[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]\Rightarrow a^2+2a-1=0[/mm].
>  >  >  
> > > Das ist eine quadratische Gleichung. Das schaffst du
> > > bestimmt.
>  >  >  Du wirst offensichtlich zwei Lösungen erhalten.
> Welche
> > > davon
>  >  >  ist aber zu vernachlässigen und warum?
>  >  >  
> >
> > Ich komme auf die beiden Werte
>  >  
> > [mm]a_1 = -1 + \wurzel{2}[/mm] und [mm]a_2 = -1 - \wurzel{2}[/mm]
>  >  
> > Da [mm]a_1[/mm] positiv ist, ist dies der gesuchte Grenzwert!
>  
> 1) Stimmt.
> 2) Die Indizierung [mm]a_{\blue{1}}, a_{\blue{2}}[/mm] ist nicht
> geschickt, weil es ja auch zwei Folgenglieder gibt, die so
> "heißen". Sagen wir lieber [mm]g_1, g_2.[/mm]
>  3) Hast Du schon
> gezeigt, dass alle Folgenglieder positiv sind?
>  
> > Beim Beweis der Konvergenz mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums
> > tue ich mich auch schwer... Also ich würde jetzt induktiv
> > beweisen, dass [mm]a_n[/mm] monoton fallend
>
> Das könnte schwierig werden. Die Folge ist nicht monoton
> fallend.
>  
> > und 0 eine untere
> > Schranke ist.
>
> Das ist doch viel zuwenig. Wenn der Grenzwert existiert,
> dann kennst Du doch schon seinen Wert.
>  
> Definiere [mm]b_n=|a_n-g_1|[/mm]
>  Das ist in der Tat eine monoton fallende Nullfolge.
>  Wenn Du das zeigen kannst, dann hast Du auch die
> Konvergenz von [mm]a_n[/mm] gezeigt und sogar faktisch das
> Cauchy-Kriterium angewandt.
>  Überleg Dir vor allem, warum Letzteres so ist.
>  
> Und dann ran an die Buletten...
>  
> Grüße
>  reverend
>  
> > Aber das ist ja nicht das Cauchy-Kriterium...
> > Habt ihr 'nen Tipp?
>  >  
> > Viele Grüße,
>  >  
> > Sebi  
>  


Bezug
                                        
Bezug
Rekursiv definierte Folge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Mo 04.05.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Rekursiv definierte Folge: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:38 Sa 02.05.2015
Autor: brudi


> Hallo Sebi,
>  
> eigentlich bist Du jetzt schon ganz schön weit gekommen,
> aber Dein aktueller Plan geht nicht auf.
>  
> > > Es ist
>  >  >  
> > > [mm]2a+{a}^{2}=1[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]\Rightarrow a^2+2a-1=0[/mm].
>  >  >  
> > > Das ist eine quadratische Gleichung. Das schaffst du
> > > bestimmt.
>  >  >  Du wirst offensichtlich zwei Lösungen erhalten.
> Welche
> > > davon
>  >  >  ist aber zu vernachlässigen und warum?
>  >  >  
> >
> > Ich komme auf die beiden Werte
>  >  
> > [mm]a_1 = -1 + \wurzel{2}[/mm] und [mm]a_2 = -1 - \wurzel{2}[/mm]
>  >  
> > Da [mm]a_1[/mm] positiv ist, ist dies der gesuchte Grenzwert!
>  
> 1) Stimmt.
> 2) Die Indizierung [mm]a_{\blue{1}}, a_{\blue{2}}[/mm] ist nicht
> geschickt, weil es ja auch zwei Folgenglieder gibt, die so
> "heißen". Sagen wir lieber [mm]g_1, g_2.[/mm]
>  3) Hast Du schon
> gezeigt, dass alle Folgenglieder positiv sind?

Nein noch nicht.
Bei einer normalen Folge hätte ich das per Induktion gezeigt. Also erst für $ [mm] a_n [/mm] > 0$ mit $n = 1$ und dann $ [mm] a_n+1 [/mm] > 0$... Bei der rekursiv definierten Folge weiß ich nicht so recht wie der Induktionsanfang auszusehen hat. Wäre das dann:

$ [mm] \frac{1}{2+a_n} [/mm] > 0 $ nach [mm] $a_n$ [/mm] umstellen und anschließend $ [mm] \frac{1}{2+{a}_{n+1}} [/mm] =  [mm] \frac{1}{2+\frac{1}{2+a_n}} [/mm] > 0 $ nach [mm] $a_n$ [/mm] umstellen? Oder liege ich da falsch?

>  
> > Beim Beweis der Konvergenz mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums
> > tue ich mich auch schwer... Also ich würde jetzt induktiv
> > beweisen, dass [mm]a_n[/mm] monoton fallend
>
> Das könnte schwierig werden. Die Folge ist nicht monoton
> fallend.
>  
> > und 0 eine untere
> > Schranke ist.
>
> Das ist doch viel zuwenig. Wenn der Grenzwert existiert,
> dann kennst Du doch schon seinen Wert.
>  
> Definiere [mm]b_n=|a_n-g_1|[/mm]

Mir bereitet der Satz $ [mm] \forall \varepsilon >0\quad \exists [/mm] { n [mm] }_{ 0 }\in \IN \quad \forall [/mm] n,m [mm] \ge n_0 [/mm] : | [mm] a_n [/mm] - [mm] a_m [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $ immer noch Schwierigkeiten. Also lesen kann ich den Satz schon, ich kann mir das nicht so recht vorstellen. Vielleicht hat ja jemand eine gute Erklärung, wie man sich das verdeutlichen kann.

Wie würdest du [mm]b_n=|a_n-g_1|[/mm] definieren?

Als [mm] $b_n [/mm] = [mm] \frac{1}{2+a_n} [/mm] - [mm] (-1+\wurzel{2})$? [/mm] Aber das wäre ja dann [mm]b_n=|{a}_{n+1}-g_1|[/mm]... Und was würde mir das Ganze dann sagen? Ich kann das nicht so richtig mit dem Cauchy-Satz in Verbindung bringen.

Fragen über Fragen... HILFE BITTE! :-D

>  Das ist in der Tat eine monoton fallende Nullfolge.
>  Wenn Du das zeigen kannst, dann hast Du auch die
> Konvergenz von [mm]a_n[/mm] gezeigt und sogar faktisch das
> Cauchy-Kriterium angewandt.
>  Überleg Dir vor allem, warum Letzteres so ist.
>  
> Und dann ran an die Buletten...
>  
> Grüße
>  reverend
>  
> > Aber das ist ja nicht das Cauchy-Kriterium...
> > Habt ihr 'nen Tipp?
>  >  
> > Viele Grüße,
>  >  
> > Sebi  
>  


Bezug
                                        
Bezug
Rekursiv definierte Folge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mo 04.05.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Rekursiv definierte Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Fr 01.05.2015
Autor: fred97

So einfach wie sich der reverend das vorstellt ist das nicht.

Zeige zunächst:

[mm] |a_{n+1}-a_n| \le \bruch{1}{2^n} [/mm]  für n [mm] \in \IN [/mm]


Dann finde eine Nullfolge [mm] (b_n) [/mm] mit

(*) [mm] |a_{n+k}-a_n| \le b_n [/mm]  für n,k [mm] \in \IN. [/mm]

(*) zeigt: [mm] (a_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge, als konvergent.

Ist a der Grenzwert von [mm] (a_n), [/mm] so gilt


$ a = [mm] \frac{1}{2+a} [/mm] $

Aus der letzten Gl. kannst Du a berechnen.

FRED

Bezug
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