Rekursiv definierte Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Do 30.04.2015 | | Autor: | brudi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Konvergenzkriteriums, dass die rekursiv definierte Folge [mm] ${(a_n)}_{n\in\IN}$ [/mm] mit $ [mm] a_1 [/mm] = 0 $ und $ [mm] {a}_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2+a_n}$ [/mm] konvergiert. Bestimmen Sie den Grenzwert! |
Dies ist meine erste rekursiv definierte Folge, daher bin ich etwas ratlos!
Zur Grenzwertberechnung bin ich folgendermaßen vorgegangen:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {a}_{n+1}$
[/mm]
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {a}_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2+a_n}$
[/mm]
Daher
$ a = [mm] \frac{1}{2+a} [/mm] $
Allerdings stockt es dann bei
$ 2a + [mm] {a}^{2} [/mm] = 1 $ und ich weiß nicht mehr weiter...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Fr 01.05.2015 | | Autor: | brudi |
> Es ist
>
> [mm]2a+{a}^{2}=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a^2+2a-1=0[/mm].
>
> Das ist eine quadratische Gleichung. Das schaffst du
> bestimmt.
> Du wirst offensichtlich zwei Lösungen erhalten. Welche
> davon
> ist aber zu vernachlässigen und warum?
>
Ich komme auf die beiden Werte
[mm] $a_1 [/mm] = -1 + [mm] \wurzel{2}$ [/mm] und [mm] $a_2 [/mm] = -1 - [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
Da [mm] $a_1$ [/mm] positiv ist, ist dies der gesuchte Grenzwert!
Beim Beweis der Konvergenz mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums tue ich mich auch schwer... Also ich würde jetzt induktiv beweisen, dass [mm] $a_n$ [/mm] monoton fallend und 0 eine untere Schranke ist. Aber das ist ja nicht das Cauchy-Kriterium... Habt ihr 'nen Tipp?
Viele Grüße,
Sebi
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Hallo Sebi,
eigentlich bist Du jetzt schon ganz schön weit gekommen, aber Dein aktueller Plan geht nicht auf.
> > Es ist
> >
> > [mm]2a+{a}^{2}=1[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow a^2+2a-1=0[/mm].
> >
> > Das ist eine quadratische Gleichung. Das schaffst du
> > bestimmt.
> > Du wirst offensichtlich zwei Lösungen erhalten. Welche
> > davon
> > ist aber zu vernachlässigen und warum?
> >
>
> Ich komme auf die beiden Werte
>
> [mm]a_1 = -1 + \wurzel{2}[/mm] und [mm]a_2 = -1 - \wurzel{2}[/mm]
>
> Da [mm]a_1[/mm] positiv ist, ist dies der gesuchte Grenzwert!
1) Stimmt.
2) Die Indizierung [mm] a_{\blue{1}}, a_{\blue{2}} [/mm] ist nicht geschickt, weil es ja auch zwei Folgenglieder gibt, die so "heißen". Sagen wir lieber [mm] g_1, g_2.
[/mm]
3) Hast Du schon gezeigt, dass alle Folgenglieder positiv sind?
> Beim Beweis der Konvergenz mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums
> tue ich mich auch schwer... Also ich würde jetzt induktiv
> beweisen, dass [mm]a_n[/mm] monoton fallend
Das könnte schwierig werden. Die Folge ist nicht monoton fallend.
> und 0 eine untere
> Schranke ist.
Das ist doch viel zuwenig. Wenn der Grenzwert existiert, dann kennst Du doch schon seinen Wert.
Definiere [mm] b_n=|a_n-g_1|
[/mm]
Das ist in der Tat eine monoton fallende Nullfolge.
Wenn Du das zeigen kannst, dann hast Du auch die Konvergenz von [mm] a_n [/mm] gezeigt und sogar faktisch das Cauchy-Kriterium angewandt.
Überleg Dir vor allem, warum Letzteres so ist.
Und dann ran an die Buletten...
Grüße
reverend
> Aber das ist ja nicht das Cauchy-Kriterium...
> Habt ihr 'nen Tipp?
>
> Viele Grüße,
>
> Sebi
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:09 Sa 02.05.2015 | | Autor: | bezier |
Hallo,
Um die Konvergenz der Folge [mm] a_n [/mm] zu beweisen
ist das Cauchy-Kriterium hier anwendar :
Zunächst müssen wir beweisen,
dass für alle n,
| [mm] a_n [/mm] | [mm] \le \frac{1}{2}[/mm]
Dann :
für alle n,p grösser als 1,
| [mm] a_n - a_p [/mm] | = | [mm] a_{n-1} - a_{p-1} [/mm] || [mm] a_n [/mm] || [mm] a_p [/mm] |
Dann die Begrenzung:
| [mm] a_n - a_p [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] a_{n-1} - a_{p-1} [/mm] |[mm](\frac{1}{2})^2[/mm]
Dann:
N = inf{n, p }
M = sup{ n, p }
| [mm] a_n - a_p [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] a_{M-N} - 1 [/mm] |[mm](\frac{1}{4})^N[/mm]
Dann die Uniform-Begrenzung mit Geometrischer Folge :
| [mm] a_n - a_p [/mm] | [mm] \le [/mm] 2[mm] (\frac{1}{4})^N[/mm]
So, für alle [mm]\epsilon [/mm]> 0
gibt es N
so dass für alle n, p [mm] \ge [/mm] N,
| [mm] a_n - a_p [/mm] | [mm] \le \epsilon[/mm]
d.h. Cauchy-Konvergenz der Folge [mm] a_n [/mm]
Grüsse.
> Hallo Sebi,
>
> eigentlich bist Du jetzt schon ganz schön weit gekommen,
> aber Dein aktueller Plan geht nicht auf.
>
> > > Es ist
> > >
> > > [mm]2a+{a}^{2}=1[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow a^2+2a-1=0[/mm].
> > >
> > > Das ist eine quadratische Gleichung. Das schaffst du
> > > bestimmt.
> > > Du wirst offensichtlich zwei Lösungen erhalten.
> Welche
> > > davon
> > > ist aber zu vernachlässigen und warum?
> > >
> >
> > Ich komme auf die beiden Werte
> >
> > [mm]a_1 = -1 + \wurzel{2}[/mm] und [mm]a_2 = -1 - \wurzel{2}[/mm]
> >
> > Da [mm]a_1[/mm] positiv ist, ist dies der gesuchte Grenzwert!
>
> 1) Stimmt.
> 2) Die Indizierung [mm]a_{\blue{1}}, a_{\blue{2}}[/mm] ist nicht
> geschickt, weil es ja auch zwei Folgenglieder gibt, die so
> "heißen". Sagen wir lieber [mm]g_1, g_2.[/mm]
> 3) Hast Du schon
> gezeigt, dass alle Folgenglieder positiv sind?
>
> > Beim Beweis der Konvergenz mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums
> > tue ich mich auch schwer... Also ich würde jetzt induktiv
> > beweisen, dass [mm]a_n[/mm] monoton fallend
>
> Das könnte schwierig werden. Die Folge ist nicht monoton
> fallend.
>
> > und 0 eine untere
> > Schranke ist.
>
> Das ist doch viel zuwenig. Wenn der Grenzwert existiert,
> dann kennst Du doch schon seinen Wert.
>
> Definiere [mm]b_n=|a_n-g_1|[/mm]
> Das ist in der Tat eine monoton fallende Nullfolge.
> Wenn Du das zeigen kannst, dann hast Du auch die
> Konvergenz von [mm]a_n[/mm] gezeigt und sogar faktisch das
> Cauchy-Kriterium angewandt.
> Überleg Dir vor allem, warum Letzteres so ist.
>
> Und dann ran an die Buletten...
>
> Grüße
> reverend
>
> > Aber das ist ja nicht das Cauchy-Kriterium...
> > Habt ihr 'nen Tipp?
> >
> > Viele Grüße,
> >
> > Sebi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 04.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:38 Sa 02.05.2015 | | Autor: | brudi |
> Hallo Sebi,
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> eigentlich bist Du jetzt schon ganz schön weit gekommen,
> aber Dein aktueller Plan geht nicht auf.
>
> > > Es ist
> > >
> > > [mm]2a+{a}^{2}=1[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow a^2+2a-1=0[/mm].
> > >
> > > Das ist eine quadratische Gleichung. Das schaffst du
> > > bestimmt.
> > > Du wirst offensichtlich zwei Lösungen erhalten.
> Welche
> > > davon
> > > ist aber zu vernachlässigen und warum?
> > >
> >
> > Ich komme auf die beiden Werte
> >
> > [mm]a_1 = -1 + \wurzel{2}[/mm] und [mm]a_2 = -1 - \wurzel{2}[/mm]
> >
> > Da [mm]a_1[/mm] positiv ist, ist dies der gesuchte Grenzwert!
>
> 1) Stimmt.
> 2) Die Indizierung [mm]a_{\blue{1}}, a_{\blue{2}}[/mm] ist nicht
> geschickt, weil es ja auch zwei Folgenglieder gibt, die so
> "heißen". Sagen wir lieber [mm]g_1, g_2.[/mm]
> 3) Hast Du schon
> gezeigt, dass alle Folgenglieder positiv sind?
Nein noch nicht.
Bei einer normalen Folge hätte ich das per Induktion gezeigt. Also erst für $ [mm] a_n [/mm] > 0$ mit $n = 1$ und dann $ [mm] a_n+1 [/mm] > 0$... Bei der rekursiv definierten Folge weiß ich nicht so recht wie der Induktionsanfang auszusehen hat. Wäre das dann:
$ [mm] \frac{1}{2+a_n} [/mm] > 0 $ nach [mm] $a_n$ [/mm] umstellen und anschließend $ [mm] \frac{1}{2+{a}_{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2+\frac{1}{2+a_n}} [/mm] > 0 $ nach [mm] $a_n$ [/mm] umstellen? Oder liege ich da falsch?
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> > Beim Beweis der Konvergenz mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums
> > tue ich mich auch schwer... Also ich würde jetzt induktiv
> > beweisen, dass [mm]a_n[/mm] monoton fallend
>
> Das könnte schwierig werden. Die Folge ist nicht monoton
> fallend.
>
> > und 0 eine untere
> > Schranke ist.
>
> Das ist doch viel zuwenig. Wenn der Grenzwert existiert,
> dann kennst Du doch schon seinen Wert.
>
> Definiere [mm]b_n=|a_n-g_1|[/mm]
Mir bereitet der Satz $ [mm] \forall \varepsilon >0\quad \exists [/mm] { n [mm] }_{ 0 }\in \IN \quad \forall [/mm] n,m [mm] \ge n_0 [/mm] : | [mm] a_n [/mm] - [mm] a_m [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $ immer noch Schwierigkeiten. Also lesen kann ich den Satz schon, ich kann mir das nicht so recht vorstellen. Vielleicht hat ja jemand eine gute Erklärung, wie man sich das verdeutlichen kann.
Wie würdest du [mm]b_n=|a_n-g_1|[/mm] definieren?
Als [mm] $b_n [/mm] = [mm] \frac{1}{2+a_n} [/mm] - [mm] (-1+\wurzel{2})$? [/mm] Aber das wäre ja dann [mm]b_n=|{a}_{n+1}-g_1|[/mm]... Und was würde mir das Ganze dann sagen? Ich kann das nicht so richtig mit dem Cauchy-Satz in Verbindung bringen.
Fragen über Fragen... HILFE BITTE! :-D
> Das ist in der Tat eine monoton fallende Nullfolge.
> Wenn Du das zeigen kannst, dann hast Du auch die
> Konvergenz von [mm]a_n[/mm] gezeigt und sogar faktisch das
> Cauchy-Kriterium angewandt.
> Überleg Dir vor allem, warum Letzteres so ist.
>
> Und dann ran an die Buletten...
>
> Grüße
> reverend
>
> > Aber das ist ja nicht das Cauchy-Kriterium...
> > Habt ihr 'nen Tipp?
> >
> > Viele Grüße,
> >
> > Sebi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 04.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Fr 01.05.2015 | | Autor: | fred97 |
So einfach wie sich der reverend das vorstellt ist das nicht.
Zeige zunächst:
[mm] |a_{n+1}-a_n| \le \bruch{1}{2^n} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
Dann finde eine Nullfolge [mm] (b_n) [/mm] mit
(*) [mm] |a_{n+k}-a_n| \le b_n [/mm] für n,k [mm] \in \IN.
[/mm]
(*) zeigt: [mm] (a_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge, als konvergent.
Ist a der Grenzwert von [mm] (a_n), [/mm] so gilt
$ a = [mm] \frac{1}{2+a} [/mm] $
Aus der letzten Gl. kannst Du a berechnen.
FRED
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