Rekursionsformel für Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:02 Mi 07.01.2009 | | Autor: | marcello |
| Aufgabe | Es sei
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x^{n}*e^{ax} dx}
[/mm]
mit a [mm] \not= [/mm] 0 reell und n [mm] \ge [/mm] 0 ganzzahlig.
Mit Hilfe der partiellen Integration gebe man eine Rekursionsformel zur Berechnung von [mm] I_{n} [/mm] an mit n [mm] \ge [/mm] 1. Weiterhin gebe man [mm] I_{0}, I_{1} [/mm] und [mm] I_{2} [/mm] an. |
Ich komme bei dieser Aufgabenstellung leider nicht weiter. Mir fehlt jeglicher Ansatz zur Lösung des Problems.
Meine bisherigen Überlegungen waren, durch die partielle Integration ein [mm] I_{n+1} [/mm] zu erzeugen und die Formel nach [mm] I_{n+1} [/mm] umzustellen. Jedoch ist das Ergebnis nie befriedigend, da ich durch die partielle Integration immer ein "Restintegral" habe, dass ich leider nicht wegbekomme.
Die Lösungssuche hat mich schon einige Nerven gekostet und ich bin für jede Hilfe absolut dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo marcello,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du musst hier aus [mm] $I_n$ [/mm] ein [mm] $I_{n\red{-}1}$ [/mm] ermitteln. Und dass dort noch immer ein Restintegral verbleibt, macht ja gerade die Rekursion aus.
Wie lautet denn das Ergebnis Deiner 1. partiellen Integration?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mi 07.01.2009 | | Autor: | marcello |
Also, mein Ergebnis aus der ersten partiellen Integration lautet:
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] x^{n}*\bruch{e^{a*x}}{a}-\integral_{}^{}{n*x^{n-1}*\bruch{e^{a*x}}{a} dx}
[/mm]
Theoretisch könnte ich die partielle Integration ja unendlich oft durchführen. Ich denke, mein Problem ist, dass ich den Punkt, ab dem ich die Formel zu [mm] I_{n} [/mm] = [mm] I_{n-1}*\alpha [/mm] zusammenfassen kann, nicht sehe.
Wenn ich jetzt die partielle Integration noch mehrmals durchführe, müsste sich ja ein gewisses Schema im Ergebnis abzeichen, aus dem ich vielleicht meine Rekusionsformel ableiten könnte, oder?
Danke für die Hilfe!!! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo marcello!
Formen wir noch etwas um:
[mm] $$I_{n} [/mm] \ = \ [mm] x^n*\bruch{e^{a*x}}{a}-\integral{n*x^{n-1}*\bruch{e^{a*x}}{a} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^n*\bruch{e^{a*x}}{a}-\bruch{n}{a}*\blue{\integral{x^{n-1}*e^{a*x} \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] x^n*\bruch{e^{a*x}}{a}-\bruch{n}{a}*\blue{I_{n-1}}$$
[/mm]
Fertig!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mi 07.01.2009 | | Autor: | marcello |
Danke für die schnelle und tolle Hilfe! :)
Beste Grüße,
marcello
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