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Forum "Integrationstheorie" - Rekursionsformel, Partielle I.
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Rekursionsformel, Partielle I.: Auf Rekursionsformel integrier
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:17 Mo 16.07.2012
Autor: mesmo

Aufgabe
Beweisen Sie, dass für die unbestimmten Integrale

[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(x^{2} +1)^{n}} dx}, n\in \IN/(0) [/mm]

die Rekursionsformel

[mm] I_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2n}*\bruch{x}{(x^{2}+1)^{n}}+\bruch{2n-1}{2n}*I_{n}, [/mm]  
[mm] I_{1} [/mm] =arctan(x)

gilt



Hallo,

ich habe versucht es durch Partielle Integration zu lösen, könnte aber nicht auf dieses Ergebnis kommen. Auf der Suche habe ich folgende identische Aufgabe gefunden, aber ich komme irgendwie nicht auf das Ergebnis.
identische Aufgabe
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Danke im Voraus

        
Bezug
Rekursionsformel, Partielle I.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:09 Mo 16.07.2012
Autor: reverend

Hallo mesmo,

> Beweisen Sie, dass für die unbestimmten Integrale
>
> [mm]I_{n}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(x^{2} +1)^{n}} dx}, n\in \IN/(0)[/mm]
>  
> die Rekursionsformel
>  
> [mm]I_{n+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2n}*\bruch{x}{(x^{2}+1)^{n}}+\bruch{2n-1}{2n}*I_{n},[/mm]
>  
> [mm]I_{1}[/mm] =arctan(x)
>  
> gilt
>  
>
> Hallo,
>  
> ich habe versucht es durch Partielle Integration zu lösen,
> könnte aber nicht auf dieses Ergebnis kommen. Auf der
> Suche habe ich folgende identische Aufgabe gefunden, aber
> ich komme irgendwie nicht auf das Ergebnis.
>  identische Aufgabe
>  
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Dann rechne Deine partielle Integration mal vor.
Und am besten auch das Ergebnis für [mm] I_1. [/mm]

Sonst werden wir Dir nicht helfen können. Wie auch?

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Rekursionsformel, Partielle I.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 05:11 Mo 16.07.2012
Autor: mesmo

Ich würde für [mm] I_{1} [/mm] wie folgt vorgehen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(x^{2} +1)} dx} [/mm] =  [mm] \bruch{x}{1+x^{2}}+2*\integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{(x^{2} +1)^{2}} dx} [/mm]
=   [mm] \bruch{x}{1+x^{2}}+2*[{\bruch{x^{3}}{3}*\bruch{x^{2}}{(1+x^2)^{2}}}]-\integral_{}^{}\bruch{x^{3}}{3}* \bruch{4x(x^{2} -1)}{(x^{2} +1)^{3}} [/mm] dx = ...

es muss arctan geben, aber irgendwie geht es in eine andere Richtung.
Die alternative wäre x durch tan(x) zu ersetzen, dies wurde in dem Link gemacht, aber da weiss ich auch nicht ab wo ich anders vorgehen sollte, weil das Vorgehen dort alles stimmt.

Bezug
                        
Bezug
Rekursionsformel, Partielle I.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:20 Mi 18.07.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Rekursionsformel, Partielle I.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:56 Mo 16.07.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Beweisen Sie, dass für die unbestimmten Integrale
>
> [mm]I_{n}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(x^{2} +1)^{n}} dx}\quad,\quad n\in \IN/(0)[/mm]

Ich schreibe die Bedingung für n mal noch korrekt hin:

    $\  n\ [mm] \in\ \IN \backslash \{0\}$ [/mm]
  

> die Rekursionsformel
>  
>    [mm]I_{n+1}\ =\ \bruch{1}{2n}*\bruch{x}{(x^{2}+1)^{n}}+\bruch{2n-1}{2n}*I_{n},[/mm]
>  
> [mm]I_{1}[/mm] =arctan(x)
>  
> gilt


Guten Tag mesmo,

da eine Formel vorgegeben wird, könntest du für deren
Nachweis (falls sie überhaupt stimmt) einfach ihre Ableitung
berechnen und geeignet umformen.

LG   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Rekursionsformel, Partielle I.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:27 Mo 16.07.2012
Autor: mesmo

Hallo Al Chwarizmi,
vielen dank fürs Antworten, aber auch wenn ich es ableite, kommt etwas anderes raus. Kannst du mir nochmal den Term, den ich ableiten muss. Vielleicht bastele ich die falsche Sachen zusammen.

Bezug
                        
Bezug
Rekursionsformel, Partielle I.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Mo 16.07.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Hallo Al Chwarizmi,
>  vielen dank fürs Antworten, aber auch wenn ich es
> ableite, kommt etwas anderes raus. Kannst du mir nochmal
> den Term, den ich ableiten muss. Vielleicht bastele ich die
> falsche Sachen zusammen.


Geh von der Gleichung

    $\ I_{n+1}\ =\ \bruch{1}{2n}\cdot{}\bruch{x}{(x^{2}+1)^{n}}+\bruch{2n-1}{2n}\cdot{}I_{n} $

aus und bilde beidseitig die Ableitung nach x, also:

    $\ \frac{d}{dx}\ I_{n+1}\ =\ \bruch{1}{2n}\cdot{}\underbrace{\left(\bruch{x}{(x^{2}+1)^{n}}\right)'}_{Quotientenregel\ !}\ +\ \bruch{2n-1}{2n}\cdot{}\underbrace{\left(I_{n}\right)'}_{\frac{1}{(x^2+1)^n}} $

Fasse dann zusammen und zeige, dass man dabei auf das
Ergebnis    $\frac{1}{(x^2+1)^{n+1}$   kommt !

LG    Al-Chwarizmi






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