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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Mo 27.02.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, für welche [mm] x\in\IR [/mm] die Kurve
[mm] \gamma:[0,1]\to\IR, t\mapsto e^{x/t}\sin\frac{x}{t}, [/mm] t>0 und [mm] \gamma(0)=0
[/mm]
rektifizierbar ist. |
Hallo,
für x> 0 ist sie nicht rektifizierbar, da dann keine endliche Variation (das habe ich schon gezeigt).
Für x=0 hat die Kurve Länge 0 ist also rektifizierbar.
Ich vermute, dass die Kurve für x<0 rektifizierbar ist, kann es aber nicht beweisen.
Zu zeigen ist ja, [mm] sup_Z\sum_{k=1}^n|\gamma(x_k)-\gamma(x_{k+1})|<\infty, [/mm] wobei Z alle möglichen Zerlegungen von [0,1] durchläuft.
Hat jemand einen zielführenden Ansatz?
Danke und Gruß,
mili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie, für welche [mm]x\in\IR[/mm] die Kurve
> [mm]\gamma:[0,1]\to\IR, t\mapsto e^{x/t}\sin\frac{x}{t},[/mm] t>0
> und [mm]\gamma(0)=0[/mm]
> rektifizierbar ist.
> Hallo,
>
> für x> 0 ist sie nicht rektifizierbar, da dann keine
> endliche Variation (das habe ich schon gezeigt).
>
> Für x=0 hat die Kurve Länge 0 ist also rektifizierbar.
>
> Ich vermute, dass die Kurve für x<0 rektifizierbar ist,
> kann es aber nicht beweisen.
> Zu zeigen ist ja,
> [mm]sup_Z\sum_{k=1}^n|\gamma(x_k)-\gamma(x_{k+1})|<\infty,[/mm]
> wobei Z alle möglichen Zerlegungen von [0,1] durchläuft.
>
> Hat jemand einen zielführenden Ansatz?
schau' mal ![[]](/images/popup.gif) hier in das Kapitel 26 über Wege und Kurven.
Wenn Du Satz 26.15 anwendest, kommst Du sicher zum Ziel:
[mm] $\gamma'$ [/mm] existiert ja auf [mm] $(0,1]\,,$ [/mm] und es wäre dann nur noch zu zeigen, dass [mm] $\gamma$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] (rechts-)seitig differenzierbar ist - und das würde ich auch erwarten für $x < [mm] 0\,,$ [/mm] denn $g: t [mm] \mapsto t^2*\sin(1/t)$ [/mm] für $t [mm] \not=0$ [/mm] und $g(0):=0$ ist ja schon (bekanntlich?) rechtsseitig diff'bar an der Stelle [mm] $0\,$... [/mm]
Die Stetigkeit von [mm] $\gamma'$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] wäre dann noch zu zeigen, wobei ich aber hoffe, dass das auch gelingt...
Ansonsten: Vielleicht kann man auch generell hier mal den MWS ins Spiel bringen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mo 27.02.2012 | | Autor: | mili03 |
dankeschön!
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