Reihenfolge von Quantoren < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Do 23.10.2008 | | Autor: | pratzor |
| Aufgabe 1 | Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
[mm] \forall{x}\in\IN\exists{y}\in\IN\forall{z}\in\IN: [/mm] x+y+z ist ungerade.
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| Aufgabe 2 | | [mm] \forall{x}\in\IN\forall{y}\in\IN\exists{z}\in\IN: [/mm] x+y+z ist ungerade. |
Hallo,
ich verstehe nicht ganz, wie ich die obigen Aussagen zu verstehen habe.
zu Aufgabe 1:
Wenn ich versuche, sie auszuformulieren erhalte ich:
Zu allen x gibt es ein y, dass für alle z gilt: x+y+z ist ungerade.
Wenn ich nun versuche, zu zeigen, ob die Aussage wahr oder falsch ist, erhalte ich: Die Aussage ist falsch, weil für x=5, y=2 und z=3 die Summe gerade ist.
zu Aussage 2:
Mein Formulierungsversuch:
Zu allen x und zu allen y gibt es ein z für das gilt: x+y+z ist ungerade.
Mein Lösungsversuch: Die Aussage ist falsch, weil für x=5, y=3 und z=2 die Summe gerade ist.
Stimmt das so? Ich finde keinen Unterschied in den beiden Aussagen, vermute aber einen:)
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Do 23.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo pratzor,
natürlich besteht ein Unterschied zwischen den beiden Aufgaben, der durch die Reihenfolge der Quantoren entsteht. Die Reihenfolge stellt eine gegenseitige Abhängigkeit dar:
Bei Aufgabe 1 muss es für beliebiges (vorgegebenes) x ein y geben, sodass, egal welches z man nimmt, x+y+z ungerade ist. Nehmen wir also mal x = 1. Die interessanten y-Werte sind entweder ein gerades y oder ein ungerades. Bei geradem y (z.B. y=2) nimmst Du z ungerade (z.B. z=3) und die Summe ist gerade (=6). Bei ungeradem y lässt ein gerades z die Behauptung scheitern. Der Grund dafür, dass die Behauptung falsch ist, liegt letztlich daran, dass Du für z noch alle Freiheiten hast, nach dem Du Dich für y festgelegt hast (und festlegen musstest).
Bei Aufgabe 2 ist die Situation anders: x und y sind beliebig und wenn man sie festgelegt hat, dann kann man ein z bestimmen ... na welches? Einfach so, dass x+y+z ungerade ist (also, wenn x+y gerade ist, dann nimmst Du ein ungerades z, wenn x+y ungerade ist, dann nimmst Du z gerade).
Knoten im Kopf?
Hoffentlich ist es ein trivialer.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Do 23.10.2008 | | Autor: | pratzor |
Hallo Uli,
Knoten gelöst, ich danke!
Die 1. Aussage ist also falsch, weil sie nicht wie gefordert für alle z gelten kann, und die 2. ist wahr, weil ich selbst ein einzelnes z so wählen kann, dass ich immer auf ein ungerades Ergebnis komme.
Gruß,
Pratzor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:13 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Uli,
>
> Knoten gelöst, ich danke!
>
> Die 1. Aussage ist also falsch, weil sie nicht wie
> gefordert für alle z gelten kann, und die 2. ist wahr, weil
> ich selbst ein einzelnes z so wählen kann, dass ich immer
> auf ein ungerades Ergebnis komme.
so ist es. Du kannst auch die Abhängigkeiten mal explizit mit reinschreiben:
1.) $ [mm] \forall{x}\in\IN\exists{y}\in\IN\forall{z}\in\IN: [/mm] $ x+y+z ist ungerade.
würde ich schreiben als:
$ [mm] \forall{x}\in\IN\exists{y=y(x)}\in\IN\forall{z}\in\IN: [/mm] $ x+y+z ist ungerade.
Formal kann man die Aussage auch so widerlegen:
Angenommen, sie würde stimmen. Zu $x=1$ wähle ich dann $y=y(1)$ so, dass $x+y+z=1+y+z$ für alle $z [mm] \in \IN$ [/mm] ungerade ist. Dann ist aber $x+y+z=1+y+z$ insbesondere für $z=1$ ungerade, also ist $2+y$ eine ungerade natürliche Zahl.
Nach Annahme ist $x+y+z$ ja für alle $z$ ungerade, daher auch für $z=2$. Also muss auch $x+y+2=3+y$ eine ungerade natürliche Zahl sein. Daraus folgt, dass sowohl $2+y$ als auch $3+y$ ungerade Zahlen sein müssen. Das kann aber nicht sein. Widerspruch.
Nun zu Aufgabe 2:
$ [mm] \forall{x}\in\IN\forall{y}\in\IN\exists{z}\in\IN: [/mm] $ x+y+z ist ungerade.
Ich formuliere nochmal um:
$ [mm] \forall{x}\in\IN\forall{y}\in\IN\exists{z=z(x,y)}\in\IN: [/mm] $ x+y+z ist ungerade.
Das diese Aussage stimmt, beweist man so, wie schon oben geschrieben wurde:
Für beliebige $x,y [mm] \in \IN$ [/mm] ist $x+y$ entweder gerade, oder ungerade. Im Falle $x+y$ ungerade setzen wir $z(x,y):=2$, und im Falle $x+y$ gerade setzen wir [mm] $z(x,y):=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Wie würdet ihr denn das ganze "umformulieren", wenn die Aussage:
[mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \exists [/mm] z : x+y+z ungerade/gerade
lauten würde?
(Analog zum Beitrag von Marcel)
Was wäre dann von was abhängig?
Gruß
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frage ist in der mitteilung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:53 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie würdet ihr denn das ganze "umformulieren", wenn die
> Aussage:
>
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] y [mm]\exists[/mm] z : x+y+z ungerade/gerade
>
> lauten würde?
> (Analog zum Beitrag von Marcel)
>
> Was wäre dann von was abhängig?
diese Aussage bedeutet:
Es gibt ein (universelles) $x$ derart, dass für alle $y$ ein $z=z(y)$ so existiert, dass stets $x+y+z$ ungerade/gerade ist.
Hier waren $x,y,z$ stets ganze Zahlen, glaube ich. Die obige Aussage ist übrigens wahr:
1.) Wir behandeln den Fall "ungerade":
Mit $x:=1$ gilt: Ist $y$ irgendeine ganze Zahl, so wähle
[mm] $$z:=\begin{cases} 2 & \mbox{falls } y \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{falls } y \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Hier gilt stets, dass $x+y+z$ ungerade ist.
2.) Nun behandeln wir den Fall "gerade":
Mit $x:=1$ gilt: Ist $y$ irgendeine ganze Zahl, so wähle
[mm] $$z:=\begin{cases} 1 & \mbox{falls } y \mbox{ gerade} \\ 2, & \mbox{falls } y \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Hier gilt stets, dass $x+y+z$ ungerade ist.
Gruß,
Marcel
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