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Hallo,
folgende Aufgabe.
Die Funktion [mm] F(x)=\integral_{0}^{x}{ \bruch{sin(t)}{t*\wurzel[3]{(1+t^2)}}dt} [/mm] soll auf [-1;1] näherungsweise durch eine Reihenentwicklung des Integranden dargestellt werden.
(i) Für den Integranden geben man die Potenzreihe bis einschließlich [mm] t^4 [/mm] an.
Dazu habe ich gerechnet:
Einsetzen der bekannten sin(t) Reihe :
[mm] \bruch{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{t^(2k+1)}{(2k+1)!}}{{t*\wurzel[3]{(1+t^2)}}}
[/mm]
Vereinfachen :
[mm] (1+t^2)^-3*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{t^(2k)}{(2k+1)!}
[/mm]
Nun bilde ich solang die einzelnen Glieder bis ein erstes mal [mm] t^4 [/mm] auftaucht.
Ist das so richtig ?
(ii) Man gebe eine Häherungspolynom 5. Grades für F(x) an
Hier bin ich mir nicht sicher wie ich vorgehen soll.
Hätte gedacht die Stammfunktion von F(x) zu bilden und diese in die Taylorreihe einzusetzen bis ich ein [mm] x^5 [/mm] erhalte
(iii)Man berechne F(1) approximativ.
Hier hätte ich gedacht das Integral für x=1 auszurechnen
Alle meine überlegen und die damit verbunden Rechnungen wären aber sehr lang und extrem umfangreich. Daher würde ich gerne wissen ob meine Schritte richtig sind bervor ich mich in diese sehr aufwändigen Rechnungen stürze.
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo tunetemptation!
Die Idee ist schon ganz gut. Aber Deine Anwendung der  Potengesetze ist eine kleine Vergewaltigung dessen.
Es gilt:
[mm] $$\bruch{1}{\wurzel[3]{1+t^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(1+t^2\right)^{\bruch{1}{3}}} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+t^2\right)^{-\bruch{1}{3}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Stimmt ja habe ich übersehen. Ansonsten alles richtig oder muss ich etwas anders machen in den einzelnen schritten ?
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Hallo tunetemptation!
Soweit ich die Texte der Aufgabenstellung von Deinen Ansätzen korrekt entziffern und auseinanderhalten kann, klingt das so ganz gut.
Rechne mal vor ...
Gruß vom
Roadrunner
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zu Aufgabe (i)
$ [mm] (1+t^2)^{1/3}\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\bruch{t^(2k)}{(2k+1)!} [/mm] $
Ich setze ein :
[mm] \bruch{1*1}{1!}*(1+t^2)^{\bruch{1}{3}} [/mm] - [mm] \bruch{t^2}{3!}*(1+t^2)^{\bruch{1}{3}} [/mm] + [mm] \bruch{t^4}{5!}*(1+t^2)^{\bruch{1}{3}
}[/mm]
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Hallo tunetemptation!
Wo ist jeweils das Minuszeichen in den Exponenten abgeblieben?
Gruß vom
Roadrunner
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Danke für den Hinweis ( Copy paste fehler )
Ansonsten wäre das meine Lösung für (i).Richtig?
zu ( ii)
Stammfunktion bilden :
Dafür schreibe ich um :
[mm] \integral sin(t)*\bruch{1}{t*(t^2+1)^(\bruch{1}{3})} [/mm] und integrierePartiell:
Und nun taucht mein Problem auf. Die partielle Integration wird hier total aufwendig und furchtbar kompliziert und lang was im Kopf nicht so schnell möglich ist.
Gibts keine Alternative ?
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> zu ( ii)
> Stammfunktion bilden :
> Dafür schreibe ich um :
> [mm]\integral sin(t)*\bruch{1}{t*(t^2+1)^(\bruch{1}{3})}[/mm] und
> integrierePartiell:
>
> Und nun taucht mein Problem auf. Die partielle Integration
> wird hier total aufwendig und furchtbar kompliziert und
> lang was im Kopf nicht so schnell möglich ist.
Hallo tunetemptation,
hier eine Stammfunktion zu suchen ist
wohl ein hoffnungsloses Unterfangen.
Im Kontrast zur Situation beim Ableiten,
wo man eine komplexere Funktion,
die aus einzelnen Funktionen durch
Grundoperationen und Verkettung
aufgebaut ist, ableiten kann, wenn
man die Teilfunktionen ableiten kann,
ist dies beim Integrieren keineswegs so.
Das vorliegende Integral gehört zur
Sorte, wo dies wohl eben nicht geht.
Das Näherungspolynom 5.Ordnung
für F erhältst du natürlich, wenn du
das Näherungspolynom 4.Ordnung für
f=F', das du in (i) bestimmt hast,
gliedweise integrierst.
LG
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Okay, dann wäre meine erstes zu bestimmendes Integral :
[mm] \integral (1+t^2)^{\bruch{-1}{3}} [/mm] dt
Ich weiß dass das [mm] \integral (t^2)^{\bruch{-1}{3}} [/mm] dt so aussieht [mm] 3*t^{\bruch{1}{3}. Aber mit der 1 in der Klammer kann ich nichts anfangen, Wie kann ich dies integrieren ?
}[/mm]
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Wenn ich $ [mm] \integral (1+t^2)^{\bruch{-1}{3}} [/mm] $ dt in den Taschenrechner eingebe kann er dies nicht berechnen. Wenn ich allerdinges als obere Grenze 1 und untere Grenze 0 eingebe kommt er auf den Wert 0,918113. Kann mir das jemand erklären ?Vielleicht kann ich dieses Vorgehen auch anwenden ohne TR !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mo 06.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht wirklich eine Potenzreihe, da kommen keine gebrochenen Exponenten vor. es bleibt dir wohl nichts uebrig, als wirklich die echte Potenzreihe zu nehmen. ich wuerde also auch den 1/Nenner als Potenzreihe schreiben und dann bis [mm] t^4 [/mm] ausmultiplizieren. Direkt durch Bilden der 4 ten ableitung zum taylorpolynom zu kommen denk ich ist noch arbeitsaufwendiger.
eine echte Potenzreihe zu integrieren ist dann sehr leicht.
Gruss leduartdann nimmst du das naechstliegende,
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