Reihenberechnung durch Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Gegeben sei die Folge an = [mm] 0.7^{n}, [/mm] n = 1,2,3,... Berechnen Sie
Sn = [mm] \summe_{i=3}^{n - 1} [/mm] ai für n = 10, 50, 100 sowie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}Sn.
[/mm]
b) Geben Sie eine Reihe Sn = [mm] \summe_{i=0}^{n - 1}bi [/mm] an, welche gegen eine vorgegebne Zahl b > 1 konvergiert.
Hinweis: Geometrische Reihe |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bereits getan:
> Grundlagen: Folgen und Reihen wiederholt durch: "Mathematik für Studierende der Wirtschaftswissenschaften"
Frage:
Mir ist die Herangehensweise komplett unbekannt. Ich könnte die ersten Folgenglieder von an für n = 1,2,3 bilden. Das wäre dann:
a1 = 0.7
a2 = 0.7²
a3 = 0.7³
Und nun die Summe der folgenglieder a100 bis a50, da bei der Reihe nach der Summe des dritten Folgenglieds bis zum Vorgänger verlangt ist?
Ich stehe komplett auf dem Schlauch und bin mir nicht sicher ob solche unsicheren Behauptungen meinerseits sinnvoll sind.
Ich wäre sehr dankbar für einen klitzekleinen Hinweis der mich auf die richtige Spur führt.
Vielen Dank für Eure Zeit, Mühe und Engagement.
Ich hoffe dass Alles den Forengesetzen entspricht, ansonsten bitte einmal kurz anstupsen ;)
Lg Staigernetwork
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 23.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
es handelt sich um eine sogenannte "geometrische Reihe" deren Summe man kennen sollte. Um nicht die Formel und den einfachen Beweis dazu aufzuschreiben, sieh einfach in wiki nach dem Begriff das stand doch auch als Hinweis darunter, warum suchst du dann nicht danach?
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
Vielen Dank für deine Antwort und deinen offensichtlichen Tipp zum Hinweis.
Leider gab es Differenzen zwischen meinem schlauen Mathebuch für wiwiler und dem genannten Wiwi-artikel. Oder meine Interpretation macht mir einen Strich durch die Rechnung.
Lange Rede kurzer Sinn:
Mathebuch:
"Für die Summe der ersten n Folgenglieder einer geometrischen Reihe ergibt sich:
sn = a1 * [mm] \bruch{q^{n} - 1}{q - 1}
[/mm]
Auf Die aufgabe angewendet wäre a1 = 0.7, und q = 0.7
folglich:
S10 = 0.7 * [mm] \bruch{0.7^{10} - 1}{0.7 - 1} [/mm] = 3.239
Wiki-Artikel
S10 = 1 * [mm] \bruch{1 - 0.7^{11}}{1 - 0.7} [/mm] = 3.267
durch die Formel: wenn q [mm] \not= [/mm] 1
a0 * [mm] \bruch{1 - q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
a0 = 1
q = 0.7
Was ist nun richtig, was falsch?
Weiterhin verstehe ich nicht ganz wie der Index von sn (siehe Aufgabenstellung) angewendet werden soll.
Sorry.
Auch wenn mir das Fragen nach der Lösung als "dumm" vorkommt, so muss ich gestehen eine Lösung besser nachvollziehen zu können und gezieltere Fragen stellen zu können. Für euch evtl. auch angenehmer, nur ein Vorschlag.
Vielen Dank für eure Zeit.
Lg Staigernetwork
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Ebri |
Die Angaben zur geometrischen Reihe im Wiki stimmen, was genau in deinem Buch steht weiß ich nicht, aber so stimmt das nicht.
Es ist: [mm] \sum_{i=0}^n z^i=\frac{1-z^{n+1}}{1-z} \qquad z\neq 1\!
[/mm]
Beachte wie [mm] s_{n} [/mm] definiert ist.
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=3}^{n-1}a_{i}
[/mm]
Für n=10 also:
[mm] s_{10} [/mm] = [mm] \summe_{i=3}^{9}a_{i}
[/mm]
Die Summe der geometrische Reihe startet bei i=0, aber [mm] s_{10} [/mm] startet bei i=3.
Eine Idee wie man das beheben kann?
Ebri
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