Reihen und Grenzwert. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k + n^2}} [/mm] = 1
Verwenden sie :
wenn für zwei Folgen [mm] {a_n} [/mm] und [mm] {b_n}gilt: a_n [/mm] --> a , [mm] b_n [/mm] --> a und [mm] a_n [/mm] < [mm] c_n [/mm] < [mm] b_n,
[/mm]
so folgt [mm] c_n [/mm] --> a |
Hi,
so wie ich es verstanden habe, muss ich zwei Reihen finden, bei denen einmal die Reihenglieder immer kleiner sind und eine bei der die Reihenglieder immer größer sind, die den selben Grenzwert haben. Jedoch komme ich auf keine Idee...
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
da ich mir meiner Lösung nicht zu hundert Prozent sicher bin, schreibe ich dir erstmal nur eine Mitteilung und lasse die Aufgabe damit noch unbeantwortet.
Also zur Aufgabe:
Wie der Tipp schon sagt, wird hier das Eingrenzungsverfahren oder auch Quetschlemma genannt gebraucht:
Dafür schreibe ich mir die Summe immer erstmal auch und schau mir dann das kleinste bzw. größte Glied an.
Also:
[mm] c_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k + n^2}}=\bruch{1}{\wurzel{1 + n^2}}+...+\bruch{1}{\wurzel{n + n^2}}=(\bruch{1}{1 + n^2})^\bruch{1}{2}+...+(\bruch{1}{n + n^2})^\bruch{1}{2}
[/mm]
Das kleinste Glied ist also:
[mm] (\bruch{1}{n + n^2})^\bruch{1}{2}
[/mm]
Das größte Glied ist:
[mm] (\bruch{1}{1 + n^2})^\bruch{1}{2}
[/mm]
Jetzt müssen wir aus dem kleinsten und größten Glied ein Folge bauen:
Wähle dafür:
[mm] a_n:=n*(\bruch{1}{n + n^2})^\bruch{1}{2}
[/mm]
und
[mm] b_n:=n*(\bruch{1}{1 + n^2})^\bruch{1}{2}
[/mm]
Hiervon bestimmen wir nun den Grenzwert jeweils und daraus folgt:
[mm] a_n:=n*(\bruch{1}{n + n^2})^\bruch{1}{2}=(\bruch{n^2}{n + n^2})^\bruch{1}{2}=(\bruch{1}{1/n + 1})^\bruch{1}{2}
[/mm]
Da 1/n gegen 0 läuft folgt [mm] a_n [/mm] geht gegen [mm] 1^\bruch{1}{2}=1
[/mm]
Das selbe kann man nun auch für [mm] b_n [/mm] machen und schon hat man das gewünschte.
Gruß Fawkes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Sa 24.04.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Fawkes,
da Du z.B. die Begründung auslässt, wo das "n*" herkommt (ein Faktor, der in der eigentlichen Folgendefinition nicht vorkommt, wohl aber in der Summe), liest sich Dein Beitrag noch etwas kraus. Aber die darin enthaltene gute Idee genügt völlig zur Lösung der Aufgabe und ist klar erkennbar. Ich habe darum mal die Frage auf beantwortet gestellt und Deinen Beitrag als Antwort klassifiziert.
Zum Verständnis: die angegebenen Folgen sind konstante Folgen, so dass ihre Summe leicht zu bestimmen ist, so auch der Grenzwert für [mm] n\to\infty.
[/mm]
Es gilt hier [mm] a_n \le c_n \le b_n.
[/mm]
Grüße
reverend
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Hi,
kannst du mir nur noch erklären, woher der Faktor n kommt bei den Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n?
[/mm]
Gruß
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Hallo SnafuBernd,
der Faktor gehört nicht zu den Folgen. Die werden einfach konstant gesetzt, und wenn man dann alle Glieder von 1 bis n summiert, kommt eben der Faktor n mit ins Spiel.
Grüße
reverend
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OK,
verstehe ich noch nicht ganz, kann man das an einem kleine Bsp. vllt deutlich machen..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 So 25.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
setze [mm] a_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{1+n^2}} [/mm] und [mm] b_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n+n^2}} [/mm] dann gilt
[mm] b_n\le c_n\le a_n [/mm] mit [mm] c_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k + n^2}} [/mm] nach Fawkes.
[mm] a_n=n*\bruch{1}{\wurzel{1+n^2}} [/mm] und [mm] b_n=\bruch{1}{\wurzel{n+n^2}}
[/mm]
und nach Fawkes gehen beide Folgen, [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n, [/mm] gegen 1, also auch [mm] c_n.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
> Hi,
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> setze [mm]a_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{1+n^2}}[/mm] und
> [mm]b_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n+n^2}}[/mm] dann gilt
>
> [mm]b_n\le c_n\le a_n[/mm] mit [mm]c_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k + n^2}}[/mm]
> nach Fawkes.
>
> [mm]a_n=n*\bruch{1}{\wurzel{1+n^2}}[/mm] und
> [mm]b_n=\bruch{1}{\wurzel{n+n^2}}[/mm]
Hi,
hier fehlt natürlich noch das n mal:
[mm] b_n=n*\bruch{1}{\wurzel{n+n^2}}
[/mm]
ansonsten wäre vielleicht auch noch dieser Einschub ganz hilfreich:
Ist das Folgeglied konstant (genauer: unabhängig von der Laufvariablen), kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden:
[mm] \summe_{k=m}^{n}x=(n-m+1)*x
[/mm]
vergleiche: http://de.wikipedia.org/wiki/Summe
Gruß Fawkes
> und nach Fawkes gehen beide Folgen, [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n,[/mm] gegen 1,
> also auch [mm]c_n.[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mo 26.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> hier fehlt natürlich noch das n mal:
> [mm]b_n=n*\bruch{1}{\wurzel{n+n^2}}[/mm]
Ja, das hab ich verschwitzt, danke für die Korrektur.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Mo 26.04.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Alles klar, vielen Dank, nun hab ich es!
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