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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^4}{3^n} [/mm] |
Hallo, ich brauche hilfe zu dieser Aufgabe und habe noch zwei andere Reihen aber bevor ich mit denen anfangen möchte wäre es besser, dass ich erstmal diese hier fertig rechne. ^^
aufjedenfall zu dieser Reihe habe ich das Quotientenkriterium angewendet.
habe es ausgeklammert und bin jetzt bei:
[mm] \bruch{4n^3+6n^2+4n+1}{3^n+1} [/mm] * [mm] 3^n
[/mm]
meine Frage ist das bis hierhin richtig oder hab ich dort schon einfehler gemacht? und zweitens mein nächster Ansatz wäre dass ich [mm] 3^n [/mm] mit [mm] 3^n+1 [/mm] kürze aber was schreib ich denn im Nenner hin?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mi 09.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^4}{3^n}[/mm]
> Hallo, ich brauche
> hilfe zu dieser Aufgabe und habe noch zwei andere Reihen
> aber bevor ich mit denen anfangen möchte wäre es besser,
> dass ich erstmal diese hier fertig rechne. ^^
>
> aufjedenfall zu dieser Reihe habe ich das
> Quotientenkriterium angewendet.
>
> habe es ausgeklammert und bin jetzt bei:
>
> [mm]\bruch{4n^3+6n^2+4n+1}{3^n+1}[/mm] * [mm]3^n[/mm]
>
> meine Frage ist das bis hierhin richtig oder hab ich dort
> schon einfehler gemacht?
ja, da sind einige Fehler drin.
Der fragliche Quotient lautet:
[mm] \bruch{(n+1)^4*3^n}{n^4*3^{n+1}}=\bruch{(n+1)^4}{3*n^4}
[/mm]
FRED
> und zweitens mein nächster Ansatz
> wäre dass ich [mm]3^n[/mm] mit [mm]3^n+1[/mm] kürze aber was schreib ich
> denn im Nenner hin?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Okay habe mein Fehler entdeckt.
[mm] \bruch{(n+1)^4}{3n^4} [/mm] = [mm] \bruch{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}{3n^4}, [/mm] dann habe ich [mm] n^4 [/mm] aus geklammert und gekürz dann kommt als Ergebnis [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und damit konvergiert die Reihe. Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Mi 09.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay habe mein Fehler entdeckt.
>
> [mm]\bruch{(n+1)^4}{3n^4}[/mm] = [mm]\bruch{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}{3n^4},[/mm]
> dann habe ich [mm]n^4[/mm] aus geklammert und gekürz dann kommt als
> Ergebnis [mm]\bruch{1}{3}[/mm] und damit konvergiert die Reihe.
> Richtig?
Ja
FRED
P.S.: mit dem Wurzelkriterium gehts flotter.
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bei der nächsten Reihe hätt ich auch ein Problem:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2+n+1}{n^3+1} [/mm]
dort habe ich das QK wieder angewendet. und bin als Ergebnis auf [mm] \infty [/mm] gekommen. Also ist diese Reihe bestimmt Konvergent oder hab ich ein Fehler gemacht?
[mm] \bruch{n^3+1}{n^2+n+1} [/mm] oder ist der Schritt bis hierhin wieder falsch? -.-
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Hallo,
> bei der nächsten Reihe hätt ich auch ein Problem:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2+n+1}{n^3+1}[/mm]
>
> dort habe ich das QK wieder angewendet. und bin als
> Ergebnis auf [mm]\infty[/mm] gekommen. Also ist diese Reihe bestimmt
> Konvergent oder hab ich ein Fehler gemacht?
Du meinst sicherlich: bestimmt divergent?
Das ist sie, aber das zeigt man aber einfacher mit dem Minorantenkriterium. Auf jeden Fall ist dein obiger Schritt falsch, denn du musst ja den Quotienten
[mm]\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm]
untersuchen.
Gruß, Diophant
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hab ich ja habe:
[mm] \bruch{(n+1)^2+(n+1)+1}{(n+1)^3+1} [/mm] * [mm] \bruch{(n^3+1)}{n^2+n+1} [/mm] dann halt gekürzt und dann hab ich [mm] \bruch{n^3+1}{n^2+n+1} [/mm] erhalten.
Wie macht man es denn mit dem Minoranten? Hab ich noch nie angewendet.
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Hallo,
> hab ich ja habe:
>
> [mm]\bruch{(n+1)^2+(n+1)+1}{(n+1)^3+1}[/mm] *
> [mm]\bruch{(n^3+1)}{n^2+n+1}[/mm] dann halt gekürzt und dann hab
> ich [mm]\bruch{n^3+1}{n^2+n+1}[/mm] erhalten.
>
da warst du ziemlich kreativ, und das ist definitiv falsch.
> Wie macht man es denn mit dem Minoranten? Hab ich noch nie
> angewendet.
Aber behandelt wurde es vermutlich, wenn du schon mit dem Quotientenkriterium arbeitest? Nun, man sucht sich eine divergente Minorante. Wenn man eine solche findet, ist die bestimmte Divergenz nachgewiesen der ursprünglichen Reihe nachgewiesen. Schaue dazu deine Unterlagen durch!
Tipp: zeige hier, dass für alle n die Ungleichung
[mm]\bruch{n^2+n+1}{n^3}>\bruch{1}{n}[/mm]
gilt.
Gruß, Diophant
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okay danke werde ich mal machen :)
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ein Tippfehler ist drinne im Nenner, die plus 1 gehört noch zu der Potenz. ^^
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