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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Do 19.06.2008 | | Autor: | Rumba |
| Aufgabe | Wahr oder Falsch: Wenn die Folge [mm] (na_{n})_{n\in\IN} [/mm] aus dem Banachraum (X,||.||) eine Nullfolge ist, folgt daraus, dass [mm] \summe (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergent ist.
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Stimmt das soweit: Aus [mm] (na_{n})_{n\in\IN} [/mm] Nullfolge folgt, dass auch [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge ist.
So aber das reicht ja nicht. Könnte ich hier Quotienten oder Wurzelkriterium sinnvoll anwenden?
Danke für eure Hilfe!
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> Wahr oder Falsch: Wenn die Folge [mm](na_{n})_{n\in\IN}[/mm] aus dem
> Banachraum (X,||.||) eine Nullfolge ist, folgt daraus, dass
> [mm]\summe (a_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergent ist.
>
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> Stimmt das soweit: Aus [mm](na_{n})_{n\in\IN}[/mm] Nullfolge folgt,
> dass auch [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine Nullfolge ist.
Das schon, denn es ist ja $\parallel a_n\parallel \leq \parallel n a_n\parallel$, für $n\in \IN$.
>
> So aber das reicht ja nicht.
Stimmt.
> Könnte ich hier Quotienten oder Wurzelkriterium sinnvoll anwenden?
Hmm. Es ist sicher falsch zu glauben, dass die harmonische Reihe "die am langsamsten divergente Reihe" sei. Deshalb würde ich an Deiner Stelle versuchen, eine Folge $a_n$ anzugeben, die zwar die Bedingung $n a_n\rightarrow 0$ erfüllt, deren Beträge aber nicht genügend schnell gegen $0$ gehen, um die Konvergenz von $\sum_{n\in \IN} a_n$ sicherzustellen.
Sei etwa $a_1$ ein beliebiger normierter Vektor dieses Banachraumes. Betrachte dann die Folge $a_{n} := \frac{1}{n\ln(n)} a_1$ (für $n>1$). Offenbar ist $n a_n$ eine Nullfolge.
Ich vermute, dass diese Reihe $\sum_{n\in \IN} a_n$ divergiert. Zwar konvergiert für jedes noch so kleine $\varepsilon >0$ die Reihe $\sum_{n=2}\frac{1}{n\cdot n^\varepsilon$ (aber gegen einen beliebig grossern Wert, wenn $\varepsilon$ nur klein genug gewählt wird): $n\ln(n)$ wächst aber asymptotisch langsamer als jedes dieser $n\cdot n^\varepsilon$. Die Divergenz von $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln(n)}$ lässt sich (über den Daumen gepeilt) durch Vergleich mit $\int_2^\infty \frac{1}{x\ln(x)}\; dx$ zeigen: denn für dieses divergente[!] Integral findet man ja durch Substitution $u=\ln(x)$ leicht die Stammfunktion $\ln(\ln(x))$...
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