Reihen, Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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a)
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} (n!)^2 3^n)/(2n)!
[/mm]
b)
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] (1+3/n!)/ [mm] \wurzel{n} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{n}
[/mm]
brauch dringend Hilfe bei den Aufgaben.............
hab ne Stunde gebraucht um es mit dem Formeledi einzugeben............
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Mo 18.12.2006 | | Autor: | thisby |
kann das sein, dass du i und n verwechselt hast
also nicht
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} (n!)^2 3^n)/(2n)! [/mm] ,
sondern
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2 3^n)}{(2n)!}
[/mm]
gemeint war. Ebenso bei der zweiten Summe?
Gruß
Thisby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Student!
Ich nehme mal an, dass Du hier auf Konvergenz überprüfen sollst (das ist Deinem Post nicht eindeutig zu entnehmen).
Bei der 1. Aufgabe bietet sich das  Quotientenkriterium an:
[mm] $\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{\bruch{[(n+1)!]^2*3^{n+1}}{[2*(n+1)]!}}{\bruch{(n!)^2*3^n}{(2n)!}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{[(n+1)!]^2*3^{n+1}*(2n)!}{(2n+2)!*(n!)^2*3^n}\right| [/mm] \ = \ ...$
Die 2. Aufgabe ist leider nicht eindeutig zu entziffern.
Meinst Du hier: [mm] $\bruch{1+\bruch{3}{n!}}{\wurzel{n}}*\wurzel[n]{n}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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1) 3/4<1
kommst das raus bei 1?
2)
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (1+3/n!) / [mm] (\wurzel{n}*\wurzel[n]{n})
[/mm]
1+3/n! geteilt durch Wurzel von n mal n-te Wurzel von N
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Student!
> 1) 3/4<1
> kommst das raus bei 1?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Was heißt das also für die Konvergenz (also konvergent oder nicht)?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Student!
Betrachte die aufzusummierende Folge [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3+\bruch{1}{n!}}{\wurzel{n}*\wurzel[n]{n}}$ [/mm] bzw. deren Grenzwert für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] .
Ist hier das notwendige Kriterium für die Reihenkonvergenz erfüllt, dass es sich bei [mm] $a_n$ [/mm] um eine Nullfolge handelt?
Gruß
Loddar
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1) 3/4<1 heißt nach dem Qutientenkriterium das die Reihe
konvergent ist........
2)
also ich weiß das 1/(Wurzel n) den Grenzwert 0 hat........
wie kann das begründen das es ne Nullfolge ist?
oder muß ich es ausrechnen? und womit?
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Student!
Betrachte doch hier mal den Zähler [mm] $3+\bruch{1}{n!}$ [/mm] und den Nenner [mm] $\wurzel{n}*\wurzel[n]{n}$ [/mm] getrennt für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] .
Was erhältst Du dann insgesamt?
Gruß
Loddar
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lim 3/n+(1/n!)/n= 0
lim Wurzel(n)* n-te Wurzel von n= 0
und deshalb konvergent.....das vermute ich......
kann ich das irgendwie beweisen, anders aufschreiben?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Di 19.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Student!
> lim 3/n+(1/n!)/n= 0
Wie kommst Du denn auf diesen Ausdruck?
> lim Wurzel(n)* n-te Wurzel von n= 0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dieser Grenzwert lautet [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] \ = \ [mm] \red{1}$
[/mm]
> und deshalb konvergent.....das vermute ich......
Selbst wenn der Grenzwert für [mm] $a_n [/mm] \ = \ 0$ wäre, bedeutet das noch lange nicht automatisch die Konvergenz der Reihe.
Ich erhalte jedoch einen deutlich anderen Wert für [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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kann man das ausrechnen mit Qutientenkriterium oder Wurzelkriterium?
was kommt den raus?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Student!
Das hat hier nichts mit Quotienten- oder Wurzelkriterium zu tun, sondern lediglich mit der Anwendung der Grenzwertsätze:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3+\bruch{1}{n!}}{\wurzel{n}*\wurzel[n]{n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(3+\bruch{1}{n!}\right)}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}*\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n!}}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}*\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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ich versuchs mal.........
lim 1+lim3+lim 1/n!
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(Wurzel n)*(n-te Wurzel)
lim 1=1
lim 3=3
lim 1/n!= [mm] (1+1/n)^n
[/mm]
lim Wurzel n=unendlich
lim n-te Wurzel=1
[mm] 1+3+(1+1/n)^n
[/mm]
----------------------= 5/unendlich also divergent.............
unendlich*1
Gruß
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