Reihen - Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Reihen konvergieren, und berechnen Sie ggf. ihren Wert.
1. [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1+2^n+3^n}{5^n}$
[/mm]
2. [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1+2^n+5^n}{3^n}$
[/mm]
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Bei beiden Aufgaben habe ich versucht mit "geometrische Reihe" den GW zu bestimmen. (Hat das Verfahren eigentlich einen speziellen Namen?  )
Also mit der Formel [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}x^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x}$ [/mm] habe ich es versucht. Bin mir aber total unsicher ob ich es richtig gemacht habe, im Speziellen, ob ich die Summe so einfach auseinander ziehen darf.
1. [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1+2^n+3^n}{5^n}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{5^n}+\bruch{2^n}{5^n}+\bruch{3^n}{5^n} =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{5^n}+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{5^n}+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3^n}{5^n} [/mm] $
und nach der Formel (alles $< 1$)
[mm] =$\bruch{5}{4}+\bruch{5}{3}+\bruch{5}{2}$
[/mm]
schließe ich Konvergenz.
Zu
2. 2. [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1+2^n+5^n}{3^n}$
[/mm]
Konvergenz oder Divergenz?
Ich würde jetzt sagen, dass sich in Analogie zu 1. (falls da keine Fehler drin sind) nix sagen lässt weil der letzte Summand [mm] ($\bruch{5}{3} [/mm] > 1$) ist. Aber was heißt das?
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> Untersuchen Sie, ob die Reihen konvergieren, und berechnen
> Sie ggf. ihren Wert.
>
> 1. [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1+2^n+3^n}{5^n}[/mm]
>
> 2. [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1+2^n+5^n}{3^n}[/mm]
>
> Bei beiden Aufgaben habe ich versucht mit "geometrische
> Reihe" den GW zu bestimmen. (Hat das Verfahren eigentlich
> einen speziellen Namen? )
>
> Also mit der Formel [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^n = \bruch{1}{1-x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> habe ich es versucht. Bin mir aber total unsicher ob ich es
> richtig gemacht habe, im Speziellen, ob ich die Summe so
> einfach auseinander ziehen darf.
>
> 1.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1+2^n+3^n}{5^n}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{5^n}+\bruch{2^n}{5^n}+\bruch{3^n}{5^n} =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{5^n}+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{5^n}+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3^n}{5^n} [/mm]
>
> und nach der Formel (alles [mm]< 1[/mm])
>
> =[mm]\bruch{5}{4}+\bruch{5}{3}+\bruch{5}{2}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> schließe ich Konvergenz.
>
>
> Zu
>
> 2. 2. [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1+2^n+5^n}{3^n}[/mm]
>
> Konvergenz oder Divergenz?
>
> Ich würde jetzt sagen, dass sich in Analogie zu 1. (falls
> da keine Fehler drin sind) nix sagen lässt weil der letzte
> Summand ([mm]\bruch{5}{3} > 1[/mm]) ist. Aber was heißt das?
Das scheint mir etwas "schwammig". Was zieht schneller? [mm] \left(\frac{2}{3}\right)^n [/mm] gegen 0 oder [mm] \left(\frac{5}{3}\right)^n [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] ? Ich finde es nicht leicht, das so ohne weiteres zu beurteilen
Hallo Stefan,
zur ersten Reihe hast du m.E. alles perfekt,
die zweite Reihe würde ich mit dem Quotientenkriterium angehen,
dann im Zähler und Nenner die höchste gemeinsame Potenz, also [mm] 5^n [/mm] ausklammern.
Dann sieht man, dass [mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen [mm] q=\frac{5}{3}>1 [/mm] geht, also divergent ist.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Tea |
hi!
Hui! Mehr Glück als Verstand  dass ich das erste richtig habe.
Kannst du mir das Vorgehen bei der 2. Reihe etwas genauer beschreiben? Also wo (welcher Nenner welche Zähler? der von an oder an+1) ich das [mm] $5^n$ [/mm] ausklammern soll?
Ich hab zwar was probiert aber ich kann mit dem Quotientenkriterium nicht wirklich was anfangen ...
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Hi nochmal,
ja, kann's versuchen:
also [mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1+2^{n+1}+5^{n+1}}{3^{n+1}}\cdot{}\frac{3^n}{1+2^n+5^n}=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1+2^{n+1}+5^{n+1}}{1+2^n+5^n}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{3}\cdot{}\frac{5^n(5+2\cdot{}\left(\frac{2}{5}\right)^n+\left(\frac{1}{5}\right)^n)}{5^n(1+\left(\frac{2}{5}\right)^n+\left(\frac{1}{5}\right)^n)}=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{5+2\cdot{}\left(\frac{2}{5}\right)^n+\left(\frac{1}{5}\right)^n}{1+\left(\frac{2}{5}\right)^n+\left(\frac{1}{5}\right)^n}
[/mm]
[mm] \longrightarrow \frac{1}{3}\cdot{}\frac{5}{1}=\frac{5}{3}>1 [/mm] für [mm] n\rightarrow\infty [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Reihe ist nach dem QK divergent
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Tea |
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PDF) [nicht öffentlich]
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genau das meinte ich ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
hehe, schönen Abend noch
schachuzipus
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