Reihen + Kriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
und zwar beschäftige ich mich gerade mit Reihen und deren Kriterien. Ich habe große Schwierigkeiten mit dem Einsatz der Kriterien und es fehlt womöglich am generellen Verständnis.
Vielleicht schafft es jemand erneut mir "beim Durchblicken" zu helfen.
Ok, laut Script ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{x^n}{n!} [/mm] absolut konvergent. Als Beweis soll man sich das Quotientenkriterium zu nutze machen. gut das Quotientenkriterium habe ich schon mal gesehen. Nur wüsste ich das hier garnicht anzuwenden!??
Der Unterschied zwischen konvergent und absolut konvergent will mir auch nicht ganz klar werden.
Ein weiteres Beispiel ist: Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}a_n[/mm] mit [mm]a_n:=\bruch{1}{4^n}(1+\bruch{1}{n})^n*n [/mm] was mach dem Wurzelkriterium ebenfalls absolut konvergent sein soll..??
Ich wüsste das ganze nun garnicht anzupacken.
Danke schon mal.
Gruss
Fruchtsaft
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 So 17.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fruchtsaft!
> Ich habe große Schwierigkeiten mit dem Einsatz
> der Kriterien und es fehlt womöglich am generellen
> Verständnis.
Da hätte ich hier mal einige Links ...
-  Konvergenzkriterium
- ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzkriterium (Wikipedia)
- Quotientenkriterium (Wikipedia)
- Wurzelkriterium (Wikipedia)
> Vielleicht schafft es jemand erneut mir "beim Durchblicken" zu helfen.
Na, schauen wir mal  ...
> Ok, laut Script ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm]
> absolut konvergent. Als Beweis soll man sich das
> Quotientenkriterium zu nutze machen. gut das
> Quotientenkriterium habe ich schon mal gesehen. Nur wüsste
> ich das hier garnicht anzuwenden!??
Potenzreihen der Art [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n*x^n$ [/mm] setzen sich ja aus den Folgengliedern [mm] $a_n$ [/mm] sowie den aufsteigenden Potenzen zusammen.
Beim Quotientenkriterium betrachtet man nun diese Folgenglieder [mm] $a_n$ [/mm] bzw. [mm] $a_{n+1}$, [/mm] dividiert sie und betrachtet den entsprechenden Grenzwert für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] :
[mm] $\limsup_{n \rightarrow \infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|$
[/mm]
Wenn dieser Grenzwert nun echt kleiner 1 ist, konvergiert die betrachtete Reihe, bei Grenzwert > 1 liegt Divergenz (= keine Konvergenz!) vor.
Nur bei [mm] $\limsup_{n \rightarrow \infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ 1$ kann man keine Aussage treffen.
In Deinem Beispiel gilt ja: [mm] $\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{x^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \underbrace{\bruch{1}{n!}}_{= \ a_n}* [/mm] \ [mm] x^n$
[/mm]
Für das Quotientenkriterium mußt Du nun also untersuchen:
[mm] $\limsup_{n \rightarrow \infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limsup_{n \rightarrow \infty}\left|\bruch{\bruch{1}{(n+1)!}}{\bruch{1}{n!}}\right| [/mm] \ = \ ...$
Diesen Ausdruck nun etwas zusammenfassen und den Grenzwert berechnen.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Tipp: $(n+1)! \ = \ n! * (n+1)$
> Der Unterschied zwischen konvergent und absolut konvergent
> will mir auch nicht ganz klar werden.
- Absolute Konvergenz (Wikipedia)
Der Unterschied zwischen "normaler" Konvergenz und absoluter Konvergenz besteht lediglich in den Betragsstrichen. Dies scheint ja kein großer Unterschied zu sein, aber der ist entscheidend.
Ein klassisches Beispiel ist folgendes:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{1}{n}$ [/mm] ist zwar konvergent (Leibniz-Kriterium), die Reihe der entsprechenden Beträge ist jedoch divergent, da wir ja dann die (bekannte) harmonische Reihe erhalten:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left| \ (-1)^n*\bruch{1}{n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^n\right| [/mm] * [mm] \left|\bruch{1}{n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}1*\left|\bruch{1}{n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}$
[/mm]
Daher ist [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{1}{n}$ [/mm] konvergent, jedoch nicht absolut konvergent!
> Ein weiteres Beispiel ist: Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}a_n[/mm]
> mit [mm]a_n:=\bruch{1}{4^n}(1+\bruch{1}{n})^n*n[/mm] was mach dem
> Wurzelkriterium ebenfalls absolut konvergent sein soll..??
Wurzelkriterium heißt ja nun, einfach mal den Ausdruck [mm] $\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{\left| \ a_n \ \right|}$ [/mm] betrachten.
Dieses Kriterium bietet sich hier an, weil wir ja unsere Laufvariable $n_$ nun bei [mm] $a_n$ [/mm] jeweils im Exponenten haben, so daß man hier ziemlich schnell vereinfachen kann.
Wir haben also:
[mm] $\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{\left| \ a_n \ \right|} [/mm] \ = \ [mm] \limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{\left| \ \bruch{1}{4^n}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n*n \ \right|} [/mm] \ = \ [mm] \limsup_{n \rightarrow \infty} \left[\wurzel[n]{\bruch{1}{4^n}}*\wurzel[n]{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}*\wurzel[n]{n}\right] [/mm] \ = \ ...$
Kommst Du hier nun alleine etwas weiter?
Ich hoffe, ich konnte etwas zum Durchblick und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") beitragen ...
Gruß
Loddar
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Hallo,
viele Dank für die Ausführungen. Also bei wikipedia schaue ich schon regelmäßig rein, nur kann ich auch nicht immer mit den Erklärungen etwas anfangen. Im Zusammenhang mit ausführlichen Erläuterungen wie deiner schon eher 
ok, meine Weiterführungen:
[mm]\limsup_{n \rightarrow \infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| \ [/mm] =
[mm]\ \limsup_{n \rightarrow \infty}\left|\bruch{\bruch{1}{(n+1)!}}{\bruch{1}{n!}}\right| \[/mm]
= [mm]\limsup_{n \rightarrow \infty}\left|\bruch{\bruch{1}{n!(n+1)}}{\bruch{1}{n+1}}\right|
=\limsup_{n \rightarrow \infty}\bruch{1}{n!}= \limsup_{n \rightarrow \infty}\bruch{1}{n+1}[/mm]
So richtig? Und da [mm] a_n [/mm] gegen eine Zahl < 1 konvergiert, konvergiert es absolut.
Beim Wurzelkriterium und deren Weiterführung komme ich aber nicht wirklich weiter..
Gruss
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Hallo Loddar,
Danke für die Verbesserung.. Ich muss jetzt einfach mal die Frage los werden, -auch wenn man dies vielleicht wissen sollte- aber wofür steht eigentlich dieses n! oder (n+1)! ??
Wenn mich nicht alles täuscht, sollter der Grenzwert für die erste Aufgabe 0 sein?
Zum Wurzelkriterium. Ah, ok, erstmal die drei Produkte als einzelnes betrachten. Hätte man drauf kommen können.
Na gut, da habe ich die [mm] \bruch{1}{4}[/mm] und die 1. Das bleibt ja erstmal so stehen.
Bei [mm] 1+ \bruch{1}{n}[/mm] betrachte ich doch wieder das Folgeglied, sprich [mm] (1+ \bruch{1}{n})^n+1[/mm]. Das müsste monton fallend sein (zumindest meine ich das die tage auswendig gelernt zu haben). Und deshalb kann ich als nächstes sagen:
[mm] (1+ \bruch{1}{n})^n+1 \le (1+ \bruch{1}{2})^2+1=\bruch{27}{8})[/mm]
Das ist meiner Rechnung nach der Grenzwert dieses Produktes.
Wenn ich das mit den anderen beiden Produkten multipliziere habe ich [mm]\bruch{27}{32})[/mm]. Und [mm] \wurzel[n]{\left| \ a_n \ \right|}\le\bruch{27}{32})[/mm] würde schon mal das Wurzelkriterium erfüllen für [mm]n \ge 2 [/mm]...
Und da absolute Konvergenz ja vorrausgesetzt war bzw nur bewiesen werden musste, habe ich das doch damit getan...?
Ok, ich glaube ich befinde mich auf Irrwegen.. Aber ehrlich weiss ich nicht so genau, wie ich mit den einzelnen Produkten weiter machen soll.
Hmm.. Vielleicht noch ein Ansatz (oder war mein Ansatz garnicht mal so schlecht)?
Danke
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 17.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fruchtsaft!
> aber wofür steht eigentlich dieses n! oder (n+1)! ??
Bei dieser Darstellung mit dem Ausrufezeichen handelt es sich um die sogenannte Fakultät, die wie folgt definiert ist:
$n! \ := \ 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n$
Für 4! gilt also: $4! \ = \ 1 * 2 * 3 * 4 \ = \ 24$
> Wenn mich nicht alles täuscht, sollter der Grenzwert für
> die erste Aufgabe 0 sein?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sauber aufgeschrieben heißt das:
[mm] $\limsup_{n \rightarrow \infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ ... \ = \ 0 \ < \ 1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (absolute) Konvergenz von [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 So 17.07.2005 | | Autor: | Fruchtsaft |
Ok, ahbe ich mir schon gedacht..
Ja, dann ist wohl [mm] \limes_{n \rightarrow \infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right) \ = \ \limes_{n \rightarrow \infty}\bruch{n+1}{n}=1[/mm]
Und so passt dass Ergebnis
[mm] \limsup_{n \rightarrow \infty}\wurzel[n]{\left|a_n\right|} \ = \ \bruch{1}{4} \ \red{< \ 1}[/mm]
Gruss
Fruchtsaft
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:16 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Fruchtsaft |
Hallo,
ja vielen Danke. Auf jeden Fall hat mir die Hilfe, besonders die Art der Hilfe, weiter geholfen. Werden wohl nicht meine letzen Frage sein
Wieso es zu diesem Ergebnis kommt. Bei der Grenzwert für unendlich große n 1 ist, wie du auch schon mal geschrieben hast. Oder gibt es ne andere sinnvolle Begründung dafür.?
Gruss
Fruchtsaft
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:16 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Fruchtsaft!
> Wieso es zu diesem Ergebnis kommt. Bei der Grenzwert für
> unendlich große n 1 ist, wie du auch schon mal geschrieben
> hast. Oder gibt es ne andere sinnvolle Begründung dafür.?
In Deiner vorigen Antwort klang es etwas zweifelnd mit [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ 1$ , daher meine Rückfrage.
Begründen läßt sich das mit: [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ 1 + [mm] \limes_{n \rightarrow \infty}\bruch{1}{n} [/mm] \ =\ 1 + 0 \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Fruchtsaft |
Nein, das war eigentlich schon soweit klar..
Danke nochmal für die Ausführungen und Mühen.
Gruss
Fruchtsaft
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier denkst Du gerade viiieeel zu kompliziert.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Genau! Ist dieses Ergebnis auch klar, warum?
