Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Sa 25.12.2010 | | Autor: | christi |
Hallo!!
Ich muss eine divergente Reihe mit [mm] a_n\ge{0} [/mm] und mit [mm] a_n^{\bruch{1}{n}}<1 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und eine divergente Reihe mit [mm] a_n\ge{0} [/mm] und mit [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}<1 [/mm] konstruieren.
Also man muss ein Gegenebeispiel für Wurzelkriterium ausdenken und ein für Quotientenkriterium.
Für Quotienten kriterium habe ich harmonische Reihe genommen, denn [mm] \bruch{1}{n}\ge{0} [/mm] und n+1>n [mm] \gdw \bruch{1}{n+1}<\bruch{1}{n} \gdw\bruch{n}{n+1}<1 [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] aber wie allgemein bekannt ist die harmonische Reihe divirgent.
Es hackt bei mir bei der ersten Aussage. Ich finde keine Reihe, für die die Bedingungen gelten und sie nicht konvergent ist.
Vielleich könnte mir jemand von Euch helfen?
Ich freue mich auf eure Antwort!!
Beste Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Sa 25.12.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
ich hab nicht den blassesten Schimmer was du tust und was überhaupt die Aufgabe ist. Man kann sich schon ein bisschen mehr Mühe geben....
Zumindest einigermaßen vollständige Sätze, oder nicht?
Außerdem stimmen deine Äquivalenzen vorne und hinten nicht !
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Sa 25.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo ChopSuey,
> Hi,
>
> ich hab nicht den blassesten Schimmer was du tust und was
> überhaupt die Aufgabe ist. Man kann sich schon ein
> bisschen mehr Mühe geben....
> Zumindest einigermaßen vollständige Sätze, oder nicht?
>
> Außerdem stimmen deine Äquivalenzen vorne und hinten
> nicht !
das finde ich ein wenig übertrieben. Eigentlich ist aus der Aufgabenstellung heraus klar, was gesucht ist - in der Tat ist es ein wenig schlecht formuliert.
Gesucht sind
1.) Eine Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] mit [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ und [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] < 1$ für (fast?) alle [mm] $n\,,$ [/mm] die divergiert.
2.) Analog zu 1.): Eine Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] mit [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ und [mm] $a_n^{1/n} [/mm] < 1$ für (fast?) alle [mm] $n\,,$ [/mm] die divergiert.
Bei den Fehlern in den Äquivalenzen kann es sich durchaus um Verschreiber/Vertipper handeln.
Also: Ganz so krass schlimm ist's nun doch nicht. Aber dennoch gut, dass Du darauf hinweist, dass wenigstens die Aufgabenstellung klar(er) zu formulieren ist.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Sa 25.12.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Moin,
nun, jetzt ist es ja ordentlich ausformuliert. Man hätte sich das natürlich auch selbst zusammenreimen können, keine Frage. Das ist hier auch vielleicht kein Extremfall.
Aber manchmal werden irgendwelche unvollständigen Sätze bruchstückhaft irgendwie in die Tastatur gehämmert, um sich die wertvollen 30 Sekunden zu sparen, die der Helfende dann eben aufbringen und jeden Satz wieder und wieder lesen muss, um überhaupt das Problem zu erkennen.
Das ärgert mich manchmal.
Nichts für ungut ;)
Viele Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Sa 25.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!!
> Ich muss eine divirgente
divergent
> Reihe mit [mm]a_n\ge{0}[/mm] und mit
> [mm]a_n^{\bruch{1}{n}}<1[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] und eine divirgente
S.o.!
> Reihe mit [mm]a_n\ge{0}[/mm] und mit [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}<1.[/mm]
> Also man muss ein Gegenebeispiel für Wurzelkriterium
> ausdenken und ein für Quotientenkriterium.
Natürlich sollst Du nicht ein Gegenbeispiel für's Wurzelkriterium ausdenken. Vielmehr ist die Frage, ob man etwa die [mm] "$<1\,$-Bedingung" [/mm] zu einer [mm] "$\le$1-Bedingung" [/mm] verschärfen könnte (beachte aber: Gemeint ist das an der Stelle in der Formulierung wo steht: "... wenn ein [mm] $\blue{q < 1}\,$ [/mm] existiert mit [mm] $\ldots [/mm] < [mm] q\ldots$")
[/mm]
> Für Quotienten kriterium habe ich harmonische Reihe
> genommen, denn [mm]\bruch{1}{n}\ge{0}[/mm] und $n+1>n [mm] \gdw \red{\bruch{1}{n+1}>\bruch{1}{n}} \gdw\bruch{n}{n+1}<1$ [/mm]
> für alle [mm]n\in\IN,[/mm]
Soweit in Ordnung, nur in Deiner Rechnung sollte es so aussehen
[mm] $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1} [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
Denn es ist
[mm] $$\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} [/mm] > [mm] 1\,.$$
[/mm]
Bzw. in Deiner Rechnung:
[mm] $$\frac{1}{n+1} [/mm] < [mm] \frac{1}{n} \blue{\gdw \frac{n}{n+1} < 1 \gdw \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}< 1}\,.$$
[/mm]
> aber wie allgemein bekannt ist die
> harmonische Reihe divirgent.
> Es hackt bei mir bei der ersten Aussage. Ich finde keine
> Reihe, für die die Bedingungen gelten und sie nicht
> konvergent ist.
> Vielleich könnte mir jemand von Euch helfen?
Naja, [mm] $\sum \frac{1}{n}$ [/mm] ist doch, wie Du oben gesagt hattest, divergent, und wegen [mm] $\sqrt[n]{n} [/mm] > 1$ ($n > [mm] 1\,$) [/mm] gilt hier doch auch
[mm] $$\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n} <1\,.$$
[/mm]
Du kannst also bzgl. der Aufgabe das gleiche Bsp. wählen.
P.S.:
Falls [mm] $\sum a_n$ [/mm] divergent mit [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ und [mm] $a_n^{1/n} [/mm] < 1$ doch FÜR ALLE [mm] $n\,$ [/mm] gelten muss, dann ersetze halt
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$
[/mm]
durch
[mm] $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 25.12.2010 | | Autor: | christi |
Hallo, Marcel!!
Vielen Dank für deine Korrektur!!
Bei der Umformung habe ich mich wirklich vertippt.
Gibt es denn vielleich noch eine (außer harmonischen) Reihe, die das Wurzelkriterium erfüllt, aber nicht konvergent ist?
Ich habe mir mehrere divergente Reihen angeschaut, aber sie sind alle nach dem Wurzelkriterium divergent.
Vielen Dank noch mal!!!
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Sa 25.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, Marcel!!
> Vielen Dank für deine Korrektur!!
> Bei der Umformung habe ich mich wirklich vertippt.
>
> Gibt es denn vielleich noch eine (außer harmonischen)
> Reihe, die das Wurzelkriterium erfüllt, aber nicht
> konvergent ist?
>
> Ich habe mir mehrere divergente Reihen angeschaut, aber
> sie sind alle nach dem Wurzelkriterium divergent.
nochmal: Das Wurzelkriterium ist NICHT erfüllt. Denn es gibt ja keine Zahl $q < [mm] 1\,$ [/mm] derart, dass [mm] $(1/n)^{1/n} [/mm] < q$ für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$ wäre - denn wegen [mm] $(1/n)^{1/n} \to [/mm] 1$ ist das klar (letzteres folgt aus [mm] $n^{1/n} \to [/mm] 1$). Das Wurzelkriterium liefert daher keine Aussage, ob die Reihe [mm] $\sum [/mm] 1/n$ konvergiert.
Weil man aber auch nicht [mm] $(1/n)^{1/n} \ge [/mm] 1$ für unendlich viele [mm] $n\,$ [/mm] hat, sagt das Wurzelkriterium auch nichts direkt aus, ob die Reihe divergiert.
Was wir aber sehen ist: Wir sehen, dass der Satz
"Wenn ein $q < [mm] 1\,$ [/mm] existiert mit [mm] $|a_n|^{1/n} [/mm] < q$ für (fast) alle [mm] $n\,$, [/mm] dann konvergiert die Reihe [mm] $\sum a_n\,.$"
[/mm]
nicht zu
"Wenn ein $q [mm] \le 1\,$ [/mm] existiert mit [mm] $|a_n|^{1/n} [/mm] < q$ für (fast) alle [mm] $n\,$, [/mm] dann konvergiert die Reihe [mm] $\sum a_n\,.$"
[/mm]
umgeschrieben werden kann.
Weitere Beispiele kann man mithilfe der obigen Reihe und einem Satz, den Du im Heuser findest, leicht angeben. Dieser lautet etwa:
Sind [mm] $\sum a_n$ [/mm] und [mm] $\sum b_n$ [/mm] Reihen mit echt positiven Summanden und konvergiert [mm] $a_n [/mm] / [mm] b_n \to \gamma$ [/mm] mit einem [mm] $\gamma [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so weisen die beiden Reihen das gleiche Konvergenzverhalten auf.
Damit kann man sich nun leicht viele weitere Reihen konstruieren, die das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum [/mm] 1/n$ haben - und man testet dann dafür nach, ob die anderen Bedingungen dann auch erfüllt sind - oder schreibt sich hinreichende Bedingungen dafür hin.
P.S.:
Weil [mm] $\sum 1/n^\alpha$ [/mm] für jedes [mm] $\alpha [/mm] > 1$ konvergiert, kannst Du natürlich auch nicht "den Exponenten nach oben variieren", wenn Du so etwas wie [mm] $\sum n^{-\alpha}$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] > 0$ als "Ausgangsreihe" betrachtest. Wie sieht's denn noch mit den Reihen der Art [mm] $\sum n^{-\alpha}=\sum \frac{1}{n^{\alpha}}$ [/mm] mit einem $0 < [mm] \alpha [/mm] < 1$ aus?
Und was wäre mit [mm] $\sum n^{-\alpha}$ [/mm] und [mm] $\alpha \le [/mm] 0$? Wären derartige Reihen hier "sinnvoll"?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Sa 25.12.2010 | | Autor: | christi |
Danke für deine schnelle Antwort!!!
> P.S.:
> Weil [mm]\sum 1/n^\alpha[/mm] für jedes [mm]\alpha > 1[/mm] konvergiert,
> kannst Du natürlich auch nicht "den Exponenten nach oben
> variieren", wenn Du so etwas wie [mm]\sum n^{-\alpha}[/mm] mit
> [mm]\alpha > 0[/mm] als "Ausgangsreihe" betrachtest. Wie sieht's
> denn noch mit den Reihen der Art [mm]\sum n^{-\alpha}=\sum \frac{1}{n^{\alpha}}[/mm]
> mit einem [mm]0 < \alpha < 1[/mm] aus?
Ich nehme [mm] \alpha=1/2, [/mm] dann gilt es:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\sqrt{n}}=\infty, [/mm] aber
[mm] \bruch{1}{\sqrt{n}}\ge{0} [/mm] für [mm] \forall n\in\IN [/mm] und [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{\sqrt{n}}}=\pmat{ \bruch{1}{n^{\bruch{1}{2}} }}^\bruch{1}{n}=\bruch{1}{n^{\bruch{1}{2n}}}<1 [/mm] für [mm] \forall n\in\IN.
[/mm]
ist da srichtig so?
Vielen Vielen Dank für Deine Hilfe!!!
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Sa 25.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine schnelle Antwort!!!
>
> > P.S.:
> > Weil [mm]\sum 1/n^\alpha[/mm] für jedes [mm]\alpha > 1[/mm] konvergiert,
> > kannst Du natürlich auch nicht "den Exponenten nach oben
> > variieren", wenn Du so etwas wie [mm]\sum n^{-\alpha}[/mm] mit
> > [mm]\alpha > 0[/mm] als "Ausgangsreihe" betrachtest. Wie sieht's
> > denn noch mit den Reihen der Art [mm]\sum n^{-\alpha}=\sum \frac{1}{n^{\alpha}}[/mm]
> > mit einem [mm]0 < \alpha < 1[/mm] aus?
> Ich nehme [mm]\alpha=1/2,[/mm] dann gilt es:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\sqrt{n}}=\infty,[/mm] aber
> [mm]\bruch{1}{\sqrt{n}}\ge{0}[/mm] für [mm]\forall n\in\IN[/mm] und
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{\sqrt{n}}}=\pmat{ \bruch{1}{n^{\bruch{1}{2}} }}^\bruch{1}{n}=\bruch{1}{n^{\bruch{1}{2n}}}<1[/mm]
> für [mm]\forall n\in\IN.[/mm]
> ist da srichtig so?
ja. Also für [mm] $\alpha=1/2:$ [/mm]
Du hast nun quasi neben der Reihe [mm] $\sum [/mm] 1/n$ auch die Reihe [mm] $\sum \sqrt{1/n}=\sum 1/\sqrt{n}$ [/mm] gefunden, die die geforderten Bedingungen erfüllt. Allgemein kannst Du halt einfach mal
[mm] $$\sum 1/n^\alpha$$
[/mm]
mit festem $0 < [mm] \alpha [/mm] <1$ (bzw. auch [mm] $=1\,$) [/mm] betrachten. Soweit ich gerade (in der Eile) keinen gravierenden Denkfehler habe, sollten alle derartigen die von Dir geforderten Bedingungen erfüllen. Kontrolliere das aber vorsichtshalber nochmal.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Sa 25.12.2010 | | Autor: | christi |
ich hab alles verstanden!!
Hab Riesen Dank!!!
Beste Grüße
|
|
|
|
