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Reihe, Beschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Sa 19.05.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
Man zeige, dass die durch [mm] a_1 [/mm] =2 und
[mm] a_{n+1} [/mm] = 1/2 * [mm] (a_n [/mm] + [mm] \frac{5}{a_n} [/mm] ), n [mm] \in \IN [/mm]
definierte Folge gegen [mm] \sqrt(5) [/mm] konvergiert.

[mm] a_1 [/mm] = 2
[mm] a_2 [/mm] = 9/4
[mm] a_3 [/mm] = 161/72

angenommen [mm] a_n [/mm] >= 2
ZuZeigen: [mm] a_{n+1} [/mm] >=2
[mm] a_{n+1} [/mm] - 2 = 1/2 * [mm] (a_n [/mm] + [mm] \frac{5}{a_n} [/mm] ) - 2 = [mm] \frac{1}{2a_n} [/mm] * [mm] (a_n^2 [/mm] + [mm] 5-4a_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{2a_n} *((a_n -2)^2 [/mm] +1) >0
Also ist [mm] a_n [/mm] >= 2 und somit durch 2 nach unten beschränkt.



Da gilt [mm] \frac{a+b}{2} [/mm] >= [mm] \sqrt{a*b} [/mm]
für a= [mm] a_n [/mm] und [mm] b=\frac{5}{a_n} [/mm]

[mm] a_{n+1} [/mm] =1/2 * [mm] (a_n [/mm] + [mm] \frac{5}{a_n} [/mm] ) >= [mm] \sqrt{a_n * \frac{5}{a_n} }= \sqrt(5) [/mm]
Irgendwie ist hier das relationszeichen vekehrt rum, abe ich weiß nicht wieso.
Es sollte doch gelten [mm] a_n [/mm] <= [mm] \sqrt{5} [/mm]

Monotonie ist klar, wenn ich die Beschränktheit habe

        
Bezug
Reihe, Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Sa 19.05.2012
Autor: eddiebingel


> Man zeige, dass die durch [mm]a_1[/mm] =2 und
>  [mm]a_{n+1}[/mm] = 1/2 * [mm](a_n[/mm] + [mm]\frac{5}{a_n}[/mm] ), n [mm]\in \IN[/mm]
>  
> definierte Folge gegen [mm]\sqrt(5)[/mm] konvergiert.
>  [mm]a_1[/mm] = 2
>  [mm]a_2[/mm] = 9/4
>  [mm]a_3[/mm] = 161/72
>  
> angenommen [mm]a_n[/mm] >= 2
>  ZuZeigen: [mm]a_{n+1}[/mm] >=2
>  [mm]a_{n+1}[/mm] - 2 = 1/2 * [mm](a_n[/mm] + [mm]\frac{5}{a_n}[/mm] ) - 2 =
> [mm]\frac{1}{2a_n}[/mm] * [mm](a_n^2[/mm] + [mm]5-4a_n)[/mm] = [mm]\frac{1}{2a_n} *((a_n -2)^2[/mm]
> +1) >0
>  Also ist [mm]a_n[/mm] >= 2 und somit durch 2 nach unten
> beschränkt.

Korrekt

>
> Da gilt [mm]\frac{a+b}{2}[/mm] >= [mm]\sqrt{a*b}[/mm]
>  für a= [mm]a_n[/mm] und [mm]b=\frac{5}{a_n}[/mm]
>  
> [mm]a_{n+1}[/mm] =1/2 * [mm](a_n[/mm] + [mm]\frac{5}{a_n}[/mm] ) >= [mm]\sqrt{a_n * \frac{5}{a_n} }= \sqrt(5)[/mm]
>  

Was genau willst du hier zeigen?

> Irgendwie ist hier das relationszeichen vekehrt rum, abe
> ich weiß nicht wieso.
>  Es sollte doch gelten [mm]a_n[/mm] <= [mm]\sqrt{5}[/mm]
>  
> Monotonie ist klar, wenn ich die Beschränktheit habe

Die hast du oben schon gezeigt!!
Jede monoton wachsende nach oben beschränkte Folge konvergiert und jede monoton fallende nach unten beschränkte Folge.
Hier hast du eine monoton fallende du hast gezeigt dass sie nach unten beschränkt ist. Es hilft dir nichts wenn du zeigst dass sie nach oben beschränkt ist wenn sie es denn ist ;)
Zeige noch die Monotonie und berechne den Grenzwert in dem du [mm] a_{n+1} [/mm] gleich a setzt und mach dich nochmal mit der Definition der Beschränktheit vertraut

lg eddie

Bezug
                
Bezug
Reihe, Beschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Sa 19.05.2012
Autor: quasimo

$ [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] $ = 1/2 * $ [mm] (a_n [/mm] $ + $ [mm] \frac{5}{a_n} [/mm] $ ) - [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{a_n}{2} [/mm] + [mm] \frac{5}{2a_n} -a_n= \frac{a_n^2 + 5 - 2a_n^2}{2a_n} [/mm]
Der nenner ist >0
Was ist aber mit dem Zähler?
[mm] a_n^2 [/mm] + 5 - [mm] 2a_n^2 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Reihe, Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Sa 19.05.2012
Autor: Ana-Lena

[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_n [/mm] + [mm] \bucht{5}{a_n})$ [/mm]

[mm] $\gdw \sqrt{a_n*(2*a_{n+1}-a_n)} [/mm] = [mm] \sqrt{5}$ [/mm]

Da die Folge beschränkt und monoton wachsend ist, existiert ein Grenzwert und es gilt

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n$ [/mm]

Was heißt das dann für

$ [mm] \sqrt{a_n*(2*a_{n+1}-a_n)} [/mm] $ ?

Monotonie und Beschränktheit würde ich noch genauer erläutern.

Liebe Grüße,
Ana-Lena  


Bezug
                                
Bezug
Reihe, Beschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Sa 19.05.2012
Autor: quasimo

danke für die ANtwort aber ich möchte keinen neuen Lösungsweg sondern anknüpfen bei meinem Weg.

Bis jetzt habe ich eben gezeigt:
$ [mm] a_n [/mm] $ >= 2 und somit durch 2 nach unten beschränkt.

Und bei der Monotonie stecke ich.

Bezug
                                        
Bezug
Reihe, Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Sa 19.05.2012
Autor: leduart

Hallo
du hast uebersehen, dass ab a2 die folge, wie du ja gezeigt hast groesser [mm] \wurzel{5} [/mm] ist, also musst du nur fuer n>2 noch monoton fallend zeigen.
Gruss leduart

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