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Forum "Folgen und Reihen" - Reihe - Konvergenz/Divergenz
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Reihe - Konvergenz/Divergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Do 05.07.2012
Autor: Anazeug

Aufgabe
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert bzw. divergiert die Reihe?

[mm] \summe_{K=1}^{\infty} k^2x^k [/mm]

Kann man hier mit der geometrischen Reihe argumentieren und sagen, dass
[mm] \summe_{K=1}^{\infty} x^k [/mm] eine Minorante ist und für alle  x im offenen Intervall (-1,1) konvergiert und somit für x [mm] \ge [/mm] 1 und x [mm] \le [/mm] -1 divergiert?

        
Bezug
Reihe - Konvergenz/Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Do 05.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Anazeug,


> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert bzw. divergiert die
> Reihe?
>
> [mm]\summe_{K=1}^{\infty} k^2x^k[/mm]
>  Kann man hier mit der
> geometrischen Reihe argumentieren und sagen, dass
> [mm]\summe_{K=1}^{\infty} x^k[/mm] eine Minorante ist und für alle  
> x im offenen Intervall (-1,1) konvergiert und somit für x
> [mm]\ge[/mm] 1 und x [mm]\le[/mm] -1 divergiert?

Was hilft dir denn eine konvergente Minorante im Bezug auf eine Konvergenzaussage zur größeren Reihe? Nix ...

Rechne doch direktemeng mit einer der bekannten Formeln den Konvergenzradius zu [mm]\rho=1[/mm] aus. Dann hast du schon sicher Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>1[/mm]

Die Randpunkte [mm]x=\pm 1[/mm] setzt du in die Reihe ein und bekommst [mm]\sum\limits_{k\ge 1}k^2[/mm], respektive [mm]\sum\limits_{k\ge 1}(-1)^k\cdot{}k^2[/mm] - beide ersichtlich (?) divergent. (Warum? und warum ersichtlich?)

Also hast du mit dem Ergebnis recht, aber der Weg erscheint mir wenig plausibel...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Reihe - Konvergenz/Divergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:26 Do 05.07.2012
Autor: Anazeug

Trivialkriterium, da [mm] k^2 [/mm] keine Nullfolge ist und damit eine Reihe konvergiert, muss die Folge der Reihe zumindest eine Nullfolge sein.

Danke dir, für die schnelle Antwort. :)

Bezug
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