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Reihe - Konvergenz/Divergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Di 22.05.2012
Autor: Anazeug

Aufgabe
Untersuchung auf Konvergenz folgender Reihe: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^k} [/mm]

Hey, habe mal exemplarisch ein Beispiel gewählt und will nun für die Reihe bestimmen, ob sie absolut konvergiert.

Hab erstmal das Wurzelkriterium genommen und eingesetzt: [mm] \bruch{\wurzel[n]{n}}{(\wurzel[n]{n})^2} \to [/mm] 1 (ist nicht eindeutig, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] < 1 sein soll)

Wenn ich das Quotientenkriterium benutze bekomme ich wieder den Grenzwert 1 raus und da habe ich das selbe Problem wie beim Wurzelkriterium, wie zeige ich nun, dass die Reihe konvergiert?

Danke im Voraus! :)



        
Bezug
Reihe - Konvergenz/Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:22 Di 22.05.2012
Autor: fred97


> Untersuchung auf Konvergenz folgender Reihe:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^k}[/mm]
>  Hey, habe mal
> exemplarisch ein Beispiel gewählt und will nun für die
> Reihe bestimmen, ob sie absolut konvergiert.
>  
> Hab erstmal das Wurzelkriterium genommen und eingesetzt:
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{n}}{(\wurzel[n]{n})^2} \to[/mm] 1 (ist nicht
> eindeutig, da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
> < 1 sein soll)

Wenn ich das Wk nehme, bekomme ich:

           [mm] \bruch{\wurzel[n]{n}}{\wurzel[n]{2^n}} \to [/mm] 1/2<1

FRED

>
> Wenn ich das Quotientenkriterium benutze bekomme ich wieder
> den Grenzwert 1 raus und da habe ich das selbe Problem wie
> beim Wurzelkriterium, wie zeige ich nun, dass die Reihe
> konvergiert?
>
> Danke im Voraus! :)
>  
>  


Bezug
        
Bezug
Reihe - Konvergenz/Divergenz: Quotientenkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Di 22.05.2012
Autor: Roadrunner

Hallo Anazeug!


Auch beim Quotientenkriterium sollte als Grenzwert [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] \ < \ 1$ herauskommen.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Reihe - Konvergenz/Divergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:44 Di 22.05.2012
Autor: Anazeug

Na klar, danke euch, bin nicht von [mm] 2^k [/mm] ausgegangen, sondern dummerweise von [mm] k^2, [/mm] hab mich verguckt, danke :)

und das wäre ja [mm] \bruch{1}{k} [/mm] und das wäre die harmonische Reihe, die divergent ist :-)

Bezug
                        
Bezug
Reihe - Konvergenz/Divergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Di 22.05.2012
Autor: fred97


> Na klar, danke euch, bin nicht von [mm]2^k[/mm] ausgegangen, sondern
> dummerweise von [mm]k^2,[/mm] hab mich verguckt, danke :)

Die Reihe $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^2} [/mm] $ sollte Dir aber dennoch bekannt sein.

FRED


Bezug
                                
Bezug
Reihe - Konvergenz/Divergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Di 22.05.2012
Autor: Anazeug

Ja, siehe meine überarbeitete erste Mitteilung :)

Bezug
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