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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Steffy |
| Aufgabe | geg: Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] S_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k \cdot(k+1)}
[/mm]
zz: [mm] S_{n}=1-\bruch{1}{n} [/mm] |
Hallo Zusammen,
der Prof hat den Term zunächst in Partialbrüche zerlegt und kam schließlich auf:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k \cdot(k+1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2})+(\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3})+....+(\bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}) [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Ich versteh leider nicht, wie er auf das letzte Gleichheitszeichen kommt; mein folgendes.
[mm] (\bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}) [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Könnte mir das vielleicht bitte jemand erklären.
Vielen lieben Dank im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
es heben sich doch alle Terme weg, nur der erste (1) und der letzte [mm] (-\bruch{1}{n+1}) [/mm] bleiben übrig, also erhält man die gewünschte Formel.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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> geg: Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]S_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k \cdot(k+1)}[/mm]
>
> zz: [mm]S_{n}=1-\bruch{1}{n}[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> der Prof hat den Term zunächst in Partialbrüche zerlegt und
> kam schließlich auf:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k \cdot(k+1)} =
\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k} - \bruch{1}{k+1} =
(\bruch{1}{1} \red{- \bruch{1}{2}})+(\red{\bruch{1}{2}} -
\bruch{1}{3})+....+(\bruch{1}{n-1}\red{-\bruch{1}{n}})+(\red{\bruch{1}{n}} - \bruch{1}{n+1}) = 1 - \bruch{1}{n+1}[/mm]
Ich habe den Hinweis von Hund hier noch mit Farbe illustriert: die rot markierten Brüche aufeinanderfolgender Summanden heben sich auf.
> Ich versteh leider nicht, wie er auf das letzte
> Gleichheitszeichen kommt; mein folgendes.
Man hätte dies auch ohne "Pünktchen" alles mit Summenzeichen machen können:
[mm]\sum_{k=1}^n\Big(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Big) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{n=1}^n \frac{1}{k+1} = \frac{1}{1}+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k} = 1+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Steffy |
Vielen lieben Dank für die tolle Erklärung.
Gruß, Steffy
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