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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo Community,
die vorliegende Aufgabe entstammt einer Klausur aus einem vergangenen Semester. Allerdings wurden dazu keine Lösungen bereitgestellt, so dass ich meine eigenen Lösungsvorschläge kerne zur Korrekturlesung freigeben möchte:
zu a)
Gemäß [mm] \beta^{Dach}=(x^{|}x)^{-1}x^{|}y [/mm] erhalten wir
[mm] [(-2,-1,0,1,2)\vektor{-2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2}]^{-1}(-2,-1,0,1,2)\vektor{4 \\ 5 \\ -3 \\ -2 \\ -4}=\bruch{1}{10}*(-23)=-2,3
[/mm]
zu b)
Gemäß [mm] x^{|}(y-x\beta^{Dach}) [/mm] erhalten wir
[mm] (-2,-1,0,1,2)(\vektor{4 \\ 5 \\ -3 \\ -2 \\ -4}-\vektor{-2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2}(-2.3))=0
[/mm]
zu c)
[mm] \summe_{i=1}^{n}(y_{i}-y^{Dach}_{i})^{2} [/mm] liefert
[mm] (4-4.6)^{2}+(5-2.3)^{2}+(-3-0)^{2}+(-2+2.3)^{2}+(-4+4.6)^{2}=17.1
[/mm]
zu d)
Gemäß [mm] \sigma^{2}=\bruch{1}{n-p-1}\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-y^{Dach}_{i})^{2} [/mm] erhalten wir
[mm] \bruch{1}{5-1-1}*17.1=5.7
[/mm]
zu e)
[mm] 1-\bruch{\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-y^{Dach}_{i})^{2}}{\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}} [/mm] liefert
[mm] 1-\bruch{17.1}{70}=0.756
[/mm]
mit [mm] \overline{y}=\bruch{4+5-3-2-4}{5}=0 [/mm]
und [mm] 4^{2}+5^{2}+(-3)^{2}+(-2)^{2}+(-4)^{2}=70
[/mm]
zu f)
[mm] Var(\beta^{Dach})=\sigma^{2}(x^{´}x)^{-1} [/mm] liefert
[mm] 5.7*\bruch{1}{10}=0.57
[/mm]
zu g)
Gemäß [mm] t_{j}=\bruch{\beta^{Dach}_{j}}{\wurzel{Var(\beta^{Dach}_{j}})}\sim [/mm] t(n-p-1) erhalten wir
[mm] t_{1}=\bruch{-2.3}{\wurzel{\bruch{1}{10}}}=-7.27
[/mm]
zu h)
Zunächst benötigen wir noch den Residualstandardfehler:
Im Zuge von [mm] sd(u)=\wurzel{\sigma^{Dach}^{2}} [/mm] erhalten wir [mm] \sigma^{Dach}=\wurzel{5.7}=2.387
[/mm]
Ferner brauchen wir noch das Signifikanzniveau [mm] \alpha:
[/mm]
Gemäß [mm] 1-\alpha=0.9 [/mm] erhalten wir [mm] \alpha=0.1
[/mm]
Wir können nun gemäß [mm] \beta^{Dach}\pm\sigma_{\beta^{Dach}}t_{1-\bruch{\alpha}{2}}(n-2) [/mm] das gesuchte Intervall berechnen:
[mm] \beta^{Dach}\pm2.387*2.3534=\beta^{Dach}\pm5.6175
[/mm]
zu i)
(n-p-1) liefert uns die Anzahl der Freiheitsgrade für den t-Test:
(5-1-1)=3
zu j)
Gemäß [mm] |t_{j}|>t_{1-\bruch{\alpha}{2}}(n-p-1) [/mm] können wir Entscheidungen hinsichtlich der Hypothesenverwerfung treffen:
1.) Signifikanzniveau 1%:
[mm] t_{1-0.005}(3)=5.8409
[/mm]
2.) Signifikanzniveau 5%
[mm] t_{1-0.025}(3)=3.1829
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Beide Hypothesen können verworfen werden.
Meine Fragen:
1.) Stimmen meine Berechnungen? Wenn nein, wo sind die Fehler?
2.) Kann man in Aufgabe c) stillschweigend hinnehmen, dass es sich um ein Modell ohne Konstante handelt, oder sollte man dort zunächst noch ein Modell mit einer Konstanten berechnen?
3.) Wird ein Signifikanzniveau von 5% stets angenommen, wenn, beispielsweise wie in g), kein Signifikanzniveau bei einem durchzuführenden Test gegeben ist?
Über baldige Antworten würde ich mich sehr freuen.
Gruß, Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 05.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Mo 06.07.2009 | | Autor: | oLman |
Hi Marcel,
Die Ergebnisse kann ich soweit bestätigen. Lediglich bei Aufgabenteil g.) hab ich noch eine Frage:
> zu g)
>
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> Gemäß
> [mm]t_{j}=\bruch{\beta^{Dach}_{j}}{\wurzel{Var(\beta^{Dach}_{j}})}\sim[/mm]
> t(n-p-1) erhalten wir
>
>
> [mm]t_{1}=\bruch{-2.3}{\wurzel{\bruch{1}{10}}}=-7.27[/mm]
Wieso setzt du [mm] {\wurzel{\bruch{1}{10}}} [/mm] ein? Ich habe hier [mm] {\wurzel{0.57}} [/mm] eingesetzt.
LG
olman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Di 07.07.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Da habe ich mich wohl vertan. Ich würde deinem Ergebnis auch zustimmen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Mi 08.07.2009 | | Autor: | oLman |
Hab noch eine Frage zu deiner Berechnung bei j.)
Wie kommst du darauf dass beide Hypothesen verworfen werden können?
Bzw. meine Frage ist eigentlich wie du [mm] t_{j} [/mm] bestimmst ?
LG
olman
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Hi oLman!
Das [mm] t_{j} [/mm] ermittle ich, indem ich die t-Statistik des Regressionsparameters [mm] \beta^{Dach} [/mm] (siehe Aufgabenteil g)) errechne. Da du mich bei dieser Aufgabe auf einen Fehler hingewiesen hattest, ändern sich dadurch natürlich auch die Schlussfolgerungen in Aufgabenteil j).
Gemäß [mm] t_{j}=\bruch{\beta^{Dach}_{j}}{\wurzel{Var(\beta^{Dach}_{j}})}\sim [/mm] t(n-p-1) erhalten wir
[mm] t_{1}=\bruch{-2.3}{\wurzel{0.57}}=-3.046 [/mm]
Aus [mm] |t_{j}|>t_{1-\bruch{\alpha}{2}}(n-p-1) [/mm] ergibt sich nun
|-3.046|<3.8129<5.8409
Somit müssen offensichtlich beide Nullhypothesen angenommen werden. Was meinst du dazu? Hast du eventuell ein anderes Ergebnis?
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Mi 08.07.2009 | | Autor: | oLman |
> Hi oLman!
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> Das [mm]t_{j}[/mm] ermittle ich, indem ich die t-Statistik des
> Regressionsparameters [mm]\beta^{Dach}[/mm] (siehe Aufgabenteil g))
> errechne. Da du mich bei dieser Aufgabe auf einen Fehler
> hingewiesen hattest, ändern sich dadurch natürlich auch
> die Schlussfolgerungen in Aufgabenteil j).
>
>
>
> Gemäß
> [mm]t_{j}=\bruch{\beta^{Dach}_{j}}{\wurzel{Var(\beta^{Dach}_{j}})}\sim[/mm]
> t(n-p-1) erhalten wir
>
>
> [mm]t_{1}=\bruch{-2.3}{\wurzel{0.57}}=-3.046[/mm]
>
>
>
> Aus [mm]|t_{j}|>t_{1-\bruch{\alpha}{2}}(n-p-1)[/mm] ergibt sich nun
>
>
> |-3.046|<3.8129<5.8409
>
>
>
> Somit müssen offensichtlich beide Nullhypothesen
> angenommen werden. Was meinst du dazu? Hast du eventuell
> ein anderes Ergebnis?
>
>
>
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>
> Gruß, Marcel
Ne hab dann dasselbe, sollte so stimmen.
Hab aber glaube ich noch en Fehler beim Bestimmtheitsmaß e.) endeckt.
Wie kommst du darauf dass das Bestimmtheitsmaß mit $ [mm] 1-\bruch{\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-y^{Dach}_{i})^{2}}{\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}} [/mm] $ definiert ist?
Laut Skript (Regressionsanalyse Seite 7) steht:
R² = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}(y^{Dach}_{i}-\overline{y})^{2}}{\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}}
[/mm]
Dann ergibt sich bei mir 0 als Ergebnis, da [mm] y^{Dach}_{i} [/mm] und [mm] \overline{y} [/mm] = 0
lg
olman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Ja genau, ich habe das auch von der Seite 7. Deine Formel wird dort gleichgesetzt mit meiner. Es gilt:
[mm] 1-\bruch{\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-y^{Dach}_{i})^{2}}{\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}}\gdw1-\bruch{\summe_{i=1}^{n}(u^{Dach}_{i})^{2}}{\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}}, [/mm] mit [mm] \summe_{i=1}^{n}(y_{i}-y^{Dach}_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n}(u^{Dach}_{i})^{2}
[/mm]
Den rechten Teil der Äquivalenz findest du im Skript auf Seite 7. Die Gleichung ganz rechts habe ich von der drittletzten Zeile der Seite 6. Ich habe diese Form gewählt, da wir jenen Zähler bereits im Aufgabenteil c) berechnet haben. Wie siehst du das Ganze?
Gruß, Marcel
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