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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Krull |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich möchte eine Regression durchführen und benutze dafür die folgende Funktion:
[mm] y_{i}=ax_{i}^b*e^{-cx_{i}}
[/mm]
Das ist ja eine nichtlineare Funktion. Durch logarithmieren erhalte ich:
ln [mm] y_{i} [/mm] = ln a + b*ln [mm] x_{i} [/mm] - [mm] cx_{i}
[/mm]
Es soll möglich sein, diesen Ansatz in ein "quasi-lineares Modell" zu überführen. Nur wie soll ich substituieren?
Hat jemand eine Idee?
Außerdem suche ich nach Literatur zu diesem Thema ("Regression - Quasilineare Regression"). Hat da jemand einen Link bzw. einen guten Buchtipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mi 09.07.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Krull,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> ich möchte eine Regression durchführen und benutze dafür
> die folgende Funktion:
>
> [mm]y_{i}=ax_{i}^b*e^{-cx_{i}}[/mm]
>
> Das ist ja eine nichtlineare Funktion. Durch logarithmieren
> erhalte ich:
> ln [mm]y_{i}[/mm] = ln a + b*ln [mm]x_{i}[/mm] - [mm]cx_{i}[/mm]
>
> Es soll möglich sein, diesen Ansatz in ein "quasi-lineares
> Modell" zu überführen. Nur wie soll ich substituieren?
> Hat jemand eine Idee?
Setze [mm] $z_i=\ln y_{i}$, $\beta_1=\ln [/mm] a$, [mm] $x_{i1}=1$, $\beta_2=b$,
[/mm]
[mm] $x_{i2}=\ln x_{i}$, $\beta_3=c$ [/mm] und [mm] $x_{i3}= x_{i}$. [/mm] Dann kann das
Gleichungssystem
[mm] $\ln y_{i} [/mm] = [mm] \ln [/mm] a + [mm] b*\ln x_{i} [/mm] - [mm] cx_{i} [/mm] $
in der Form [mm] $\mathbf{z}=\mathbf{X}\mathbf{\beta}$ [/mm] geschrieben, eine
Vorform eines linearen Regressionsmodells.
Dabei ist [mm] $\mathbf{z}=(z_1,\dots,z_n)'$, $\mathbf{X}=(x_{ij})$ [/mm] und [mm] $\mathbf{\beta}=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)'$. [/mm]
> Außerdem suche ich nach Literatur zu diesem Thema
> ("Regression - Quasilineare Regression"). Hat da jemand
> einen Link bzw. einen guten Buchtipp?
![[]](/images/popup.gif) Da schau her.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 10.07.2008 | | Autor: | Krull |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
Aber wie rechne ich dann weiter? "z" (Dimension: n) und [mm] "\beta" [/mm] (Dimension: 3) sind ja Vektoren, "X" ist eine (nx3)-Matrix.
Wie kann ich diese Schreibweise in den "Gauß'schen Ansatz"
[mm] \summe_{i=1}^{n} [y_{i} [/mm] - [mm] (ax_{i}^b [/mm] * [mm] e^{-cx_{i}})]^2 [/mm] -> min
überführen?
Viele Grüße
Krull
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Do 10.07.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Aber wie rechne ich dann weiter? "z" (Dimension: n) und
> [mm]"\beta"[/mm] (Dimension: 3) sind ja Vektoren, "X" ist eine
> (nx3)-Matrix.
Du kannst [mm] $\boldsymbol{\beta}$ [/mm] in dem "neuen" System gemaess [mm] $\hat{\boldsymbol{\beta}}=(\hat\beta_1,\hat\beta_2, \hat\beta_3)'=(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{z}$
[/mm]
schaetzen. Dann rechnest du um [mm] $\hat\beta_1=\ln \hat [/mm] a [mm] \iff \hat a=\exp(\hat\beta_1)$, $\hat b=\hat\beta_2$ [/mm] und [mm] $\hat c=\hat \beta_3$.
[/mm]
> Wie kann ich diese Schreibweise in den "Gauß'schen
> Ansatz"
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} [y_{i}[/mm] - [mm](ax_{i}^b[/mm] * [mm]e^{-cx_{i}})]^2[/mm] ->
> min
> überführen?
Dieser Ansatz ist eine zweite Moeglichkeit. Es handelt sich um ein
nichtlineares Optimierungsproblem, welches mit heutiger (frei
verfuegbarer) Software leicht loesbar ist.
Vielleicht liest du dich erst einmal etwas ein ...
vg Luis
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