Regel von Bernoulli-l'Hospital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von Bernoulli-l'Hospital
[mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}}) [/mm] |
Hallo,
meine Lösung schaut hier wie folgt aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{x-1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{2x})=\bruch{1}{0}=\infty
[/mm]
Laut Musterlösung kommt kein Grenzwert raus :/
Wo liegt denn hier mein Fehler?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Do 05.01.2017 | | Autor: | Omega91 |
Hallo,
> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von
> Bernoulli-l'Hospital
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})[/mm]
>
> Hallo,
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> meine Lösung schaut hier wie folgt aus:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{x-1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{2x})=\bruch{1}{0}=\infty[/mm]
1) Welche Form muss vorliegen, damit du l'Hospital verwenden kannst ?
>
> Laut Musterlösung kommt kein Grenzwert raus :/
2) Laut deiner Lösung aber auch nicht, oder bezeichnest du [mm] $\infty$ [/mm] als Grenzwert ?
> Wo liegt denn hier mein Fehler?
>
> LG
LG
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Hey danke dir!
> Hallo,
>
> > Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von
> > Bernoulli-l'Hospital
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})[/mm]
> >
>
> > Hallo,
> >
> > meine Lösung schaut hier wie folgt aus:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{x-1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{2x})=\bruch{1}{0}=\infty[/mm]
>
> 1) Welche Form muss vorliegen, damit du l'Hospital
> verwenden kannst ?
> >
l'Hospital wird bei den folgenden nicht definierten Formen verwenden:
[mm] 0*\infty [/mm] ; [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ; [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] ; [mm] \infty-\infty [/mm] ; [mm] 0^{0} [/mm] ; [mm] 1^{\infty} [/mm] ; [mm] \infty^{0}
[/mm]
Ich kann dann anschließend den Satz von Bernouli anwenden, wenn der Term Form eines Bruches dargestellt ist bzw. du dahin durch Umformen gebracht wurde.
Bei der gestellten Aufgabe [mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}}) [/mm] ist dies noch nicht der Fall.
Hier habe ich ja durch elementars Umformen den Term in Form von [mm] \bruch{x-1}{x^{2}} [/mm] gebracht.
Dann anschließend einmal den Satz angewendet und ich sehe, dass bei [mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{2x}) [/mm] die Funktion gegen unendlich strebt.
Habe ich soweit alles korrekt verstanden?
> > Laut Musterlösung kommt kein Grenzwert raus :/
> 2) Laut deiner Lösung aber auch nicht, oder bezeichnest
> du [mm]\infty[/mm] als Grenzwert ?
Das stimmt. Die Funktion strebt ja nur gegen unendlich. Damit müsste doch mein Ergebnis ausreichen, um in der Klausur zu zeigen, dass kein Grenzwert für den Term bei [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] existiert.
> > Wo liegt denn hier mein Fehler?
> >
> > LG
>
> LG
Lieben Gruß und nochmals Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Do 05.01.2017 | | Autor: | Stala |
Hallo,
du schreibst ja richtig, dass l'Hospital bei Grenzwerten der Form [mm] \frac{0}{0} [/mm] angewendet werden kann. In deinem Fall ist der Bruch aber von der Form:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{x-1}{x^{2}})= (\bruch{-1}{0}).
[/mm]
L'Hospital geht also gar nicht, man aber direkt ablesen, dass die Funktion gegen - [mm] \infty [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 strebt und somit der Grenzwert nicht existiert
VG
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> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von
> Bernoulli-l'Hospital
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{x-1}{x^{2}})[/mm]
Wie schon andere gesagt haben, kannst du l'Hospital gar nicht anwenden, da der Zähler x-1 gegen -1 geht, der Nenner aber gegen 0, also nicht beide gegen 0.
Es ist aber [mm] (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}}) =\bruch{1}{x}(1-\bruch{1}{x}).
[/mm]
Dabei ist [mm] \limes_{x\rightarrow0} (1-\bruch{1}{x})=1, [/mm] und somit geht [mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}}) [/mm] gegen [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{1}{x}.
[/mm]
Tatsächlich gibt es hier aber keinen Grenzwert, denn es ist
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \left\{\begin{matrix} \infty, falls \ x > 0 \\ - \infty, falls \ x<0 \end{matrix}\right}
[/mm]
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