Reelles Integral mit Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier einen Satz, der mir sagt, wie ich ein reelles Integral mit Residuen berechnen kann.
Der Satz lautet:
Es sei R eine rationale Funktion, die keine reellen Pole hat. Der Grad des Nenners von R sei um mindestens zwei größer als der Grad des Zählers. Dann gilt:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{R(x) dx}=2i\pi*\summe_{Im(z)>0}^{}res_z(R)
[/mm]
Also wenn ich das richtig verstehe, muss ich sie Singularitäten von R suchen (die sind dann in der Summe die z), von denen die nehmen, deren Imaginärteil größer 0 ist und von denen dann die Residuen berechnen, richtig?
So, jetzt hab ich hier ein Beispiel:
[mm] I=\integral_{-\infty}^{+\infty}{\bruch{1}{1+t^6} dt}
[/mm]
So, [mm] \bruch{1}{1+t^6} [/mm] ist ja eine rationale Funktion, der Nennergrad ist auch mindestens 2 größer als der Zählergrad.
Nun die Frage nach den Polstellen. Sind das bei rationalen Funktionen immer die Nennernullstellen? Bzw. sind die Nennernullstellen bei rationalen Funktionen immer Polstellen?
So, wenn ich also die Nennernullstellen suche, dann hätte ich ja [mm] $1+t^6=0 \Rightarrow t^6=-1 \Rightarrow t=\wurzel[6]{-1}$
[/mm]
So, und hier komme ich irgendwie nicht weiter. Mit dieser Nullstellenangabe kann ich irgendwie nix anfangen. Man kann ja [mm] \wurzel{-1}=i [/mm] setzen, aber irgendwie komme ich da nicht hin. Hab es auch schon über Substitution versucht, aber auch damit komme ich nicht weiter.
Wie kann ich hier die Nullstellen bestimmen?
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mo 12.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Nadine!
> Ich habe hier einen Satz, der mir sagt, wie ich ein reelles
> Integral mit Residuen berechnen kann.
>
> Der Satz lautet:
>
>
> Es sei R eine rationale Funktion, die keine reellen Pole
> hat. Der Grad des Nenners von R sei um mindestens zwei
> größer als der Grad des Zählers. Dann gilt:
> [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}{R(x) dx}=2i\pi*\summe_{Im(z)>0}^{}res_z(R)[/mm]
>
>
> Also wenn ich das richtig verstehe, muss ich sie
> Singularitäten von R suchen (die sind dann in der Summe
> die z), von denen die nehmen, deren Imaginärteil größer
> 0 ist und von denen dann die Residuen berechnen, richtig?
Ja.
> So, jetzt hab ich hier ein Beispiel:
>
> [mm]I=\integral_{-\infty}^{+\infty}{\bruch{1}{1+t^6} dt}[/mm]
>
> So, [mm]\bruch{1}{1+t^6}[/mm] ist ja eine rationale Funktion, der
> Nennergrad ist auch mindestens 2 größer als der
> Zählergrad.
>
> Nun die Frage nach den Polstellen. Sind das bei rationalen
> Funktionen immer die Nennernullstellen? Bzw. sind die
> Nennernullstellen bei rationalen Funktionen immer
> Polstellen?
Wenn Nenner und Zaehler teilerfremd sind (was hier der Fall ist, da der Zaehler 1 ist), ja. Andernfalls kann es sein, dass sich Nullstellen von Zaehler und Nenner wegkuerzen und sich ein potentieller Pol als gar keiner entpuppt (oder sogar als Nullstelle).
Aber jeder Pol ist immer Nullstelle des Nenners. Und wenn er nicht gleichzeitig Nullstelle des Zaehlers ist, ist es ein echter Pol.
> So, wenn ich also die Nennernullstellen suche, dann hätte
> ich ja [mm]1+t^6=0 \Rightarrow t^6=-1 \Rightarrow t=\wurzel[6]{-1}[/mm]
>
> So, und hier komme ich irgendwie nicht weiter. Mit dieser
> Nullstellenangabe kann ich irgendwie nix anfangen. Man kann
> ja [mm]\wurzel{-1}=i[/mm] setzen, aber irgendwie komme ich da nicht
> hin. Hab es auch schon über Substitution versucht, aber
> auch damit komme ich nicht weiter.
>
> Wie kann ich hier die Nullstellen bestimmen?
Nun, eine Nullstelle hat eindeutig Betrag 1 (warum?).
Mit der ![[]](/images/popup.gif) Eulerformel kannst du jedes Element aus [mm] $\IC$ [/mm] mit Betrag 1 eindeutig in der Form [mm] $e^{i t}$ [/mm] schreiben mit $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi)$.
[/mm]
Damit also $z = [mm] e^{i t}$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] t < 2 [mm] \pi$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $t^6 [/mm] + 1$ ist, muss also [mm] $z^6 [/mm] = -1 = [mm] e^{\pi i}$ [/mm] sein. Jetzt ist [mm] $z^6 [/mm] = [mm] e^{6 i t}$. [/mm] Es muss also $6 i t = [mm] \pi [/mm] i + k 2 [mm] \pi$ [/mm] sein mit $k [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Damit $0 [mm] \le [/mm] t < 2 [mm] \pi$ [/mm] ist, welche Moeglichkeiten hast du fuer $t$ damit dies erfuellt ist?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Felix!
> Nun, eine Nullstelle hat eindeutig Betrag 1 (warum?).
Hmm, ehrlich gesagt, weiß ich das nicht.
Ich wusste auch bis grade gar nicht, dass das überhaupt so ist.
> Mit der
> Eulerformel kannst
> du jedes Element aus [mm]\IC[/mm] mit Betrag 1 eindeutig in der Form
> [mm]e^{i t}[/mm] schreiben mit [mm]t \in [0, 2 \pi)[/mm].
Achso?
Ich kenne die Eulerformel zwar, aber das die Ergebnisse der Zahl [mm] e^{it} [/mm] alle den Betrag 1 haben (wenn t zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] ist) wie auf dem Bild zu sehen ist, hab ich irgendwie noch gar nicht bemerkt...
Das gilt aber nicht mehr, wenn t nicht zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] ist, oder?
> Damit also [mm]z = e^{i t}[/mm] mit [mm]0 \le t < 2 \pi[/mm] eine Nullstelle
> von [mm]t^6 + 1[/mm] ist, muss also [mm]z^6 = -1 = e^{\pi i}[/mm] sein. Jetzt
> ist [mm]z^6 = e^{6 i t}[/mm]. Es muss also [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi[/mm]
> sein mit [mm]k \in \IZ[/mm].
Also ich komme soweit mit:
[mm] z^6=e^{6it}=e^{i\pi}
[/mm]
Also [mm] e^{6it}=e^{i\pi}, [/mm] also muss ja auch [mm] 6it=i\pi [/mm] sein.
Woher kommt jetzt bei dir noch das [mm] k2\pi [/mm] ?
Also ich weiß schon, dass wenn ich bei [mm] e^z [/mm] im Exponenten noch ein [mm] 2ik\pi [/mm] addiere, dass ich dann wieder die gleiche Zahl bekomme, aber ich bin halt doch grad was irritiert, dass es in der einen Gleichung dabei steht und in der anderen nicht.
> Damit [mm]0 \le t < 2 \pi[/mm] ist, welche Moeglichkeiten hast du
> fuer [mm]t[/mm] damit dies erfuellt ist?
Hmm, also ich hab jetzt mal [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi[/mm] genommen und das einfach nach t aufgelöst:
[mm] t=\bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3i}
[/mm]
Aber irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter. Aber ich hab sonst keine Ahnung, wie ich ein t zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] finde, damit die Gleichung erfüllt ist, ich kann ja nicht alle Zahlen dazwischen ausprobieren...
Steh ich jetzt grad völlig auf'm Schlauch ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mo 12.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Felix!
>
>
>
> > Nun, eine Nullstelle hat eindeutig Betrag 1 (warum?).
>
> Hmm, ehrlich gesagt, weiß ich das nicht.
> Ich wusste auch bis grade gar nicht, dass das überhaupt
> so ist.
>
>
>
> > Mit der
> > Eulerformel kannst
> > du jedes Element aus [mm]\IC[/mm] mit Betrag 1 eindeutig in der Form
> > [mm]e^{i t}[/mm] schreiben mit [mm]t \in [0, 2 \pi)[/mm].
>
> Achso?
> Ich kenne die Eulerformel zwar, aber das die Ergebnisse
> der Zahl [mm]e^{it}[/mm] alle den Betrag 1 haben (wenn t zwischen 0
> und [mm]2\pi[/mm] ist) wie auf dem Bild zu sehen ist, hab ich
> irgendwie noch gar nicht bemerkt...
> Das gilt aber nicht mehr, wenn t nicht zwischen 0 und [mm]2\pi[/mm]
> ist, oder?
doch: es ist [mm] $|e^{it}| [/mm] = [mm] \wurzel{cos^2(t)+sin^2(t)}=1$ [/mm] füe jedes t [mm] \in \IR
[/mm]
>
>
>
> > Damit also [mm]z = e^{i t}[/mm] mit [mm]0 \le t < 2 \pi[/mm] eine Nullstelle
> > von [mm]t^6 + 1[/mm] ist, muss also [mm]z^6 = -1 = e^{\pi i}[/mm] sein. Jetzt
> > ist [mm]z^6 = e^{6 i t}[/mm]. Es muss also [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi[/mm]
> > sein mit [mm]k \in \IZ[/mm].
>
> Also ich komme soweit mit:
> [mm]z^6=e^{6it}=e^{i\pi}[/mm]
> Also [mm]e^{6it}=e^{i\pi},[/mm] also muss ja auch [mm]6it=i\pi[/mm] sein.
> Woher kommt jetzt bei dir noch das [mm]k2\pi[/mm] ?
Hast Du noch niemals davon gehört, dass die Exponentialfunktion [mm]2\pi i[/mm] - periodisch ist ?
FRED
> Also ich weiß schon, dass wenn ich bei [mm]e^z[/mm] im Exponenten
> noch ein [mm]2ik\pi[/mm] addiere, dass ich dann wieder die gleiche
> Zahl bekomme, aber ich bin halt doch grad was irritiert,
> dass es in der einen Gleichung dabei steht und in der
> anderen nicht.
>
>
>
> > Damit [mm]0 \le t < 2 \pi[/mm] ist, welche Moeglichkeiten hast du
> > fuer [mm]t[/mm] damit dies erfuellt ist?
>
> Hmm, also ich hab jetzt mal [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi[/mm]
> genommen und das einfach nach t aufgelöst:
>
> [mm]t=\bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3i}[/mm]
>
> Aber irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter. Aber
> ich hab sonst keine Ahnung, wie ich ein t zwischen 0 und
> [mm]2\pi[/mm] finde, damit die Gleichung erfüllt ist, ich kann ja
> nicht alle Zahlen dazwischen ausprobieren...
>
> Steh ich jetzt grad völlig auf'm Schlauch
>
>
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred!
> > Das gilt aber nicht mehr, wenn t nicht zwischen 0 und
> > [mm]2\pi[/mm]
> > ist, oder?
>
> doch: es ist [mm]|e^{it}| = \wurzel{cos^2(t)+sin^2(t)}=1[/mm] füe
> jedes t [mm]\in \IR[/mm]
Ah, ok 
> > Woher kommt jetzt bei dir noch das [mm]k2\pi[/mm] ?
>
> Hast Du noch niemals davon gehört, dass die
> Exponentialfunktion [mm]2\pi i[/mm] - periodisch ist ?
Doch, hab ich doch hier geschrieben:
> > Also ich weiß schon, dass wenn ich bei [mm]e^z[/mm] im Exponenten
> > noch ein [mm]2ik\pi[/mm] addiere, dass ich dann wieder die gleiche
> > Zahl bekomme, aber ich bin halt doch grad was irritiert,
> > dass es in der einen Gleichung dabei steht und in der
> > anderen nicht.
Zu den anderen Fragen:
Warum hat denn eine Nullstelle eindeutig Betrag 1?
Und:
> > > Damit [mm]0 \le t < 2 \pi[/mm] ist, welche Moeglichkeiten hast du
> > > fuer [mm]t[/mm] damit dies erfuellt ist?
> >
> > Hmm, also ich hab jetzt mal [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi[/mm]
> > genommen und das einfach nach t aufgelöst:
> >
> > [mm]t=\bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3i}[/mm]
> >
> > Aber irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter. Aber
> > ich hab sonst keine Ahnung, wie ich ein t zwischen 0 und
> > [mm]2\pi[/mm] finde, damit die Gleichung erfüllt ist, ich kann ja
> > nicht alle Zahlen dazwischen ausprobieren...
> >
> > Steh ich jetzt grad völlig auf'm Schlauch
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 12.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zu den anderen Fragen:
>
> Warum hat denn eine Nullstelle eindeutig Betrag 1?
Wenn [mm] t_0 [/mm] eine Nullstelle von [mm] $t^6+1$ [/mm] ist , dann ist [mm] $t_0^6=-1$, [/mm] also [mm] $|t_0|^6=1$ [/mm] und somit [mm] $|t_0|=1$
[/mm]
FRED
>
>
>
> Und:
>
> > > > Damit [mm]0 \le t < 2 \pi[/mm] ist, welche Moeglichkeiten hast du
> > > > fuer [mm]t[/mm] damit dies erfuellt ist?
> > >
> > > Hmm, also ich hab jetzt mal [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi[/mm]
> > > genommen und das einfach nach t aufgelöst:
> > >
> > > [mm]t=\bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3i}[/mm]
> > >
> > > Aber irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter. Aber
> > > ich hab sonst keine Ahnung, wie ich ein t zwischen 0 und
> > > [mm]2\pi[/mm] finde, damit die Gleichung erfüllt ist, ich kann ja
> > > nicht alle Zahlen dazwischen ausprobieren...
> > >
> > > Steh ich jetzt grad völlig auf'm Schlauch
>
>
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
> Wenn [mm]t_0[/mm] eine Nullstelle von [mm]t^6+1[/mm] ist , dann ist
> [mm]t_0^6=-1[/mm], also [mm]|t_0|^6=1[/mm] und somit [mm]|t_0|=1[/mm]
Ah, ok.
Das eine Nullstelle den Betrag 1 hat, gilt aber nur hier in dem Beispiel, oder, das ist keine allgemein gültige Aussage (hatte ich nämlich erst so verstanden)?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:30 Di 13.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> > Wenn [mm]t_0[/mm] eine Nullstelle von [mm]t^6+1[/mm] ist , dann ist
> > [mm]t_0^6=-1[/mm], also [mm]|t_0|^6=1[/mm] und somit [mm]|t_0|=1[/mm]
>
> Ah, ok.
>
> Das eine Nullstelle den Betrag 1 hat, gilt aber nur hier in
> dem Beispiel, oder, das ist keine allgemein gültige
> Aussage (hatte ich nämlich erst so verstanden)?
Richtig, das gilt nur in diesem Beispiel.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Di 13.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
>
> > > Wie kann ich hier die Nullstellen bestimmen?
>
> > Nun, eine Nullstelle hat eindeutig Betrag 1 (warum?).
> >
> > Mit der
> > Eulerformel kannst
> > du jedes Element aus [mm]\IC[/mm] mit Betrag 1 eindeutig in der Form
> > [mm]e^{i t}[/mm] schreiben mit [mm]t \in [0, 2 \pi)[/mm].
> >
> > Damit also [mm]z = e^{i t}[/mm] mit [mm]0 \le t < 2 \pi[/mm] eine Nullstelle
> > von [mm]t^6 + 1[/mm] ist, muss also [mm]z^6 = -1 = e^{\pi i}[/mm] sein. Jetzt
> > ist [mm]z^6 = e^{6 i t}[/mm]. Es muss also [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi[/mm]
> > sein mit [mm]k \in \IZ[/mm].
Da hat Felix einen Tippfehler. Es ist [mm] $1=e^{2\pi i k}$, [/mm] daher muss es
[mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi \red{i}[/mm]
sein.
> > Damit [mm]0 \le t < 2 \pi[/mm] ist, welche Moeglichkeiten hast du
> > fuer [mm]t[/mm] damit dies erfuellt ist?
>
> Hmm, also ich hab jetzt mal [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi[/mm]
> genommen und das einfach nach t aufgelöst:
>
> [mm]t=\bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3i}[/mm]
[mm] t= \bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3} [/mm]
und diese Werte sind alle reell. Zwischen 0 und [mm] $2\pi$ [/mm] liegen 6 Stück.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:54 Di 13.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Rainer,
> Da hat Felix einen Tippfehler. Es ist [mm]1=e^{2\pi i k}[/mm], daher
> muss es
>
> [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi \red{i}[/mm]
>
> sein.
ja, da hast du Recht! Danke fuer den Hinweis :)
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Di 13.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Da hat Felix einen Tippfehler. Es ist [mm]1=e^{2\pi i k}[/mm], daher
> muss es
>
> [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi \red{i}[/mm]
>
> sein.
Ah, ok.
Trotzdem verstehe ich noch nicht, warum das [mm] 2ki\pi [/mm] nur auf der einen Seite der Gleichung auftaucht.
Wir hatten ja
[mm] z=e^{it} [/mm] (1)
[mm] z^6=-1=e^{i\pi} [/mm] (2)
Wenn man (1) mit 6 potenziert bekommt man [mm] z^6=e^{6it} [/mm] (3)
Wenn man (2) und (3) gleichsetzt, erhält man [mm] e^{6it}=e^{i\pi} [/mm] und weil dort dann die Exponenten gleich sein müssen, bekommt man [mm] 6it=i\pi.
[/mm]
So, jetzt habt ihr auf der rechten Seite der Gleichung noch [mm] 2ki\pi [/mm] stehen, also [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi i[/mm], ich denke mal, weil ja [mm] e^{i\pi}=e^{i\pi+2ki\pi}, [/mm] oder?
Aber genauso gut kann ich ja auch schreiben [mm] e^{6it}=e^{6it+2ki\pi}
[/mm]
Und dann hätte ich [mm]6 i t + k 2 \pi i= \pi i + k 2 \pi i[/mm], das [mm] 2ki\pi [/mm] würde sich aufheben und nach Auflösen der Gleichung bleibt nur noch [mm] t=\bruch{pi}{6}.
[/mm]
Oder ich mache es nur auf der linken Seite: [mm]6 i t + k 2 \pi i= \pi i [/mm]
Hmm...
> [mm]t= \bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3}[/mm]
>
> und diese Werte sind alle reell. Zwischen 0 und [mm]2\pi[/mm] liegen
> 6 Stück.
Und die bekomme ich, wenn ich für k verschiedene Werte einsetze?
Für k=0 bis k=5 bekomme ich alles Ergebnisse zwischen 0 und [mm] 2\pi, [/mm] für größere k sind die Ergebisse größer als [mm] 2\pi.
[/mm]
Und das sind jetzt alle meine Nullstellen?
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Di 13.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer!
>
>
>
> > Da hat Felix einen Tippfehler. Es ist [mm]1=e^{2\pi i k}[/mm], daher
> > muss es
> >
> > [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi \red{i}[/mm]
> >
> > sein.
>
> Ah, ok.
>
> Trotzdem verstehe ich noch nicht, warum das [mm]2ki\pi[/mm] nur auf
> der einen Seite der Gleichung auftaucht.
>
> Wir hatten ja
>
> [mm]z=e^{it}[/mm] (1)
>
> [mm]z^6=-1=e^{i\pi}[/mm] (2)
>
> Wenn man (1) mit 6 potenziert bekommt man [mm]z^6=e^{6it}[/mm]
> (3)
>
> Wenn man (2) und (3) gleichsetzt, erhält man
> [mm]e^{6it}=e^{i\pi}[/mm] und weil dort dann die Exponenten gleich
> sein müssen, bekommt man [mm]6it=i\pi.[/mm]
>
> So, jetzt habt ihr auf der rechten Seite der Gleichung noch
> [mm]2ki\pi[/mm] stehen, also [mm]6 i t = \pi i + k 2 \pi i[/mm], ich denke
> mal, weil ja [mm]e^{i\pi}=e^{i\pi+2ki\pi},[/mm] oder?
>
> Aber genauso gut kann ich ja auch schreiben
> [mm]e^{6it}=e^{6it+2ki\pi}[/mm]
Korrekt.
> Und dann hätte ich [mm]6 i t + k 2 \pi i= \pi i + k 2 \pi i[/mm],
> das [mm]2ki\pi[/mm] würde sich aufheben und nach Auflösen der
> Gleichung bleibt nur noch [mm]t=\bruch{pi}{6}.[/mm]
Vorsicht! Denn diese beiden Faktoren [mm] $1=e^{2ki\pi}$ [/mm] auf der rechten bzw. linken Seite sind doch völlig unabhängig voneinander. Das heisst, du kannst rechts und links verschiedene Werte von k nehmen, und die Gleichung ist immer noch richtig. Deswegen ist es besser, zum Beispiel links [mm] $k_1 2\pi [/mm] i$ zu schreiben und rechts [mm] $k_2 2\pi [/mm] i$.
Das heisst:
[mm]6 i t + k_1 2 \pi i= \pi i + k_2 2 \pi i \gdw 6 i t =\pi i +(k_2-k_1)2 \pi i [/mm],
und da [mm] $k_1$ [/mm] und [mm] $k_2$ [/mm] beliebige ganze Zahlen sind, ist auch [mm] $(k_2-k_1)\in \IZ$. [/mm] Wenn du das mit [mm] $k=k_2-k_1$ [/mm] abkürzt, bist du wieder beim ursprünglichen Ergebnis.
Letzten Endes heisst das doch nur, dass in der Polardarstellung der gesuchten Zahl z der Winkel nur bis auf Vielfache von [mm] $2\pi$ [/mm] bestimmt ist. Für die Zahl z nacht das aber keinen Unterschied.
>
>
>
> > [mm]t= \bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3}[/mm]
> >
> > und diese Werte sind alle reell. Zwischen 0 und [mm]2\pi[/mm] liegen
> > 6 Stück.
>
> Und die bekomme ich, wenn ich für k verschiedene Werte
> einsetze?
>
> Für k=0 bis k=5 bekomme ich alles Ergebnisse zwischen 0
> und [mm]2\pi,[/mm] für größere k sind die Ergebisse größer als
> [mm]2\pi.[/mm]
>
> Und das sind jetzt alle meine Nullstellen?
Nein das sind die Winkel in der Polardarstellung. Die Länge in der Polardarstellung, der Betrag $|z|$ ist 1. Alle möglichen Werte von k führen über
[mm]z=e^{it} = \exp\left(i\left(\bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3}\right)\right)[/mm]
zu Nullstellen. Aber wegen der Mehrdeutigkeit des Winkels sind alle Werte von t außerhalb des Intervalls [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] nur Wiederholungen.
Die 6 Werte von t innerhalb dieses Intervalls ergeben die 6 möglichen Nullstellen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Nein das sind die Winkel in der Polardarstellung. Die
> Länge in der Polardarstellung, der Betrag [mm]|z|[/mm] ist 1. Alle
> möglichen Werte von k führen über
>
> [mm]z=e^{it} = \exp\left(i\left(\bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3}\right)\right)[/mm]
>
> zu Nullstellen. Aber wegen der Mehrdeutigkeit des Winkels
> sind alle Werte von t außerhalb des Intervalls [mm][0,2\pi)[/mm]
> nur Wiederholungen.
>
> Die 6 Werte von t innerhalb dieses Intervalls ergeben die 6
> möglichen Nullstellen.
Oh, Polarkoordinaten, die gabs ja auch noch...
Die hab ich ja gar nicht erkannt!
Ok, ich hab ja [mm] z=|z|*e^{it} [/mm] mit t Winkel.
Für k=0 bis k=5 hab ich folgende Werte von t berechnet:
[mm] \bruch{1}{6}\pi [/mm] , [mm] \bruch{1}{2}\pi [/mm] , [mm] \bruch{5}{6}\pi [/mm] , [mm] \bruch{7}{6}\pi [/mm] , [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] , [mm] \bruch{11}{6}\pi
[/mm]
Und wenn ich die jetzt in [mm] z=e^{it} [/mm] einsetze, dann erhalte ich
[mm] e^{\bruch{1}{6}i\pi} [/mm] , [mm] e^{\bruch{1}{2}i\pi} [/mm] , [mm] e^{\bruch{5}{6}i\pi} [/mm] , [mm] e^{\bruch{7}{6}i\pi} [/mm] , [mm] e^{\bruch{3}{2}i\pi} [/mm] , [mm] e^{\bruch{11}{6}i\pi}
[/mm]
Und das sind jetzt meine Nullstellen?
So, jetzt brauche ich erstmal eine Zusammenfassung
Um den Satz anzuwenden, um das Integral zu berechnen, muss ich erstmal gucken, ob meine Funktion auch nur nicht reelle Pole hat.
Und Pole waren die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist, richtig?
Also muss ich von der Funktion erstmal die Nunnernullstellen bestimmen, was ich ja oben gemacht habe.
So, jetzt muss ich ja gucken, ob die Nullstellen alle Pole sind, ob sie alle nicht reell sind, und ob sie alle in der oberen Halbebene liegen.
Also [mm] z_1=e^{\bruch{1}{6}i\pi} [/mm] ist ja ein Pol, wenn [mm] |f(z_1)|=+\infty [/mm] für $z [mm] \to z_1$.
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] z_1 [/mm] mal in die Funktion einsetze, also quasi direkt in den Punkt reingehe bei der Grenzwertbetrachtung, erhalte ich [mm] |f(z_1)|=|\bruch{1}{1+e^{3i\pi}}|=|\bruch{1}{1+e^{i(3\pi})}|=|\bruch{1}{1+(cos(3\pi)+i*sin(3\pi))}|=|\bruch{1}{1+(-1+i*0)}|=|\bruch{1}{0}|=\bruch{1}{0}
[/mm]
Kann ich [mm] \bruch{1}{0} [/mm] jetzt als "ich teile 1 durch eine ganz ganz kleine Zahl und das gibt ein ganz ganz großes Ergebnis" interpretieren und damit ist [mm] z_1 [/mm] ein Pol?
LG Nadine
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Hallo Pacapear,
> Hallo Rainer!
>
>
>
> > Nein das sind die Winkel in der Polardarstellung. Die
> > Länge in der Polardarstellung, der Betrag [mm]|z|[/mm] ist 1. Alle
> > möglichen Werte von k führen über
> >
> > [mm]z=e^{it} = \exp\left(i\left(\bruch{\pi}{6}+\bruch{k\pi}{3}\right)\right)[/mm]
>
> >
> > zu Nullstellen. Aber wegen der Mehrdeutigkeit des Winkels
> > sind alle Werte von t außerhalb des Intervalls [mm][0,2\pi)[/mm]
> > nur Wiederholungen.
> >
> > Die 6 Werte von t innerhalb dieses Intervalls ergeben die 6
> > möglichen Nullstellen.
>
> Oh, Polarkoordinaten, die gabs ja auch noch...
>
> Die hab ich ja gar nicht erkannt!
>
> Ok, ich hab ja [mm]z=|z|*e^{it}[/mm] mit t Winkel.
>
> Für k=0 bis k=5 hab ich folgende Werte von t berechnet:
>
> [mm]\bruch{1}{6}\pi[/mm] , [mm]\bruch{1}{2}\pi[/mm] , [mm]\bruch{5}{6}\pi[/mm] ,
> [mm]\bruch{7}{6}\pi[/mm] , [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm] , [mm]\bruch{11}{6}\pi[/mm]
>
> Und wenn ich die jetzt in [mm]z=e^{it}[/mm] einsetze, dann erhalte
> ich
>
> [mm]e^{\bruch{1}{6}i\pi}[/mm] , [mm]e^{\bruch{1}{2}i\pi}[/mm] ,
> [mm]e^{\bruch{5}{6}i\pi}[/mm] , [mm]e^{\bruch{7}{6}i\pi}[/mm] ,
> [mm]e^{\bruch{3}{2}i\pi}[/mm] , [mm]e^{\bruch{11}{6}i\pi}[/mm]
>
> Und das sind jetzt meine Nullstellen?
>
Ja.
>
>
> So, jetzt brauche ich erstmal eine Zusammenfassung
>
> Um den Satz anzuwenden, um das Integral zu berechnen, muss
> ich erstmal gucken, ob meine Funktion auch nur nicht reelle
> Pole hat.
>
> Und Pole waren die Stellen, an denen die Funktion nicht
> definiert ist, richtig?
Richtig.
>
> Also muss ich von der Funktion erstmal die
> Nunnernullstellen bestimmen, was ich ja oben gemacht habe.
>
> So, jetzt muss ich ja gucken, ob die Nullstellen alle Pole
> sind, ob sie alle nicht reell sind, und ob sie alle in der
> oberen Halbebene liegen.
>
>
>
> Also [mm]z_1=e^{\bruch{1}{6}i\pi}[/mm] ist ja ein Pol, wenn
Hier muss doch
[mm]z_1=e^{\bruch{\red{3}}{6}i\pi}[/mm]
sein.
> [mm]|f(z_1)|=+\infty[/mm] für [mm]z \to z_1[/mm].
>
> Wenn ich jetzt [mm]z_1[/mm] mal in die Funktion einsetze, also quasi
> direkt in den Punkt reingehe bei der Grenzwertbetrachtung,
> erhalte ich
> [mm]|f(z_1)|=|\bruch{1}{1+e^{3i\pi}}|=|\bruch{1}{1+e^{i(3\pi})}|=|\bruch{1}{1+(cos(3\pi)+i*sin(3\pi))}|=|\bruch{1}{1+(-1+i*0)}|=|\bruch{1}{0}|=\bruch{1}{0}[/mm]
>
> Kann ich [mm]\bruch{1}{0}[/mm] jetzt als "ich teile 1 durch eine
> ganz ganz kleine Zahl und das gibt ein ganz ganz großes
> Ergebnis" interpretieren und damit ist [mm]z_1[/mm] ein Pol?
>
Ja.
>
>
> LG Nadine
Gruss
MathePower
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