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Reelle coth-/ tanh Funktion: Funktion auflösen/ Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 Di 24.02.2015
Autor: smoot

Aufgabe
Funktion nach x auflösen.

y = [mm] \bruch{coth(x)-tanh(x)}{coth(x)+tanh(x)} [/mm]

Hallo, ich hab bei dieser Aufgabe ein Problem und finde den Fehler nicht.
Meine Rechnung dazu, jedoch mit einem falschen Ergebnis:


    y = [mm] \bruch{coth(x)-tanh(x)}{coth(x)+tanh(x)} [/mm]



<=> (coth(x)+tanh(x)) [mm] \times [/mm] y = coth(x) -tanh(x)

<=> y [mm] \times [\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}+ \bruch{sinh(x)}{cosh(x)}] [/mm] = [mm] \bruch{cosh(x)}{sinh(x)}- \bruch{sinh(x)}{cosh(x)} [/mm]

<=> y [mm] \times [/mm] cosh(2x) + y [mm] \times [/mm] sinh(2x) = cosh(2x) - sinh(2x)

<=> y [mm] \times [/mm] cosh(2x) + y [mm] \times [/mm] sinh(2x) = [mm] \bruch{e^{-2x}}{2} [/mm]

<=> y [mm] \times [\bruch{1}{4} \times(e^{2x}+e^{-2x}+e^{2x}-e^{-2x})] [/mm] = [mm] \bruch{e^{-2x}}{2} [/mm]

<=> y [mm] \times \bruch{e^{2x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{e^{-2x}}{2} [/mm]

    y = [mm] \bruch{e^{-4x}}{2} [/mm]


Danke schon mal für eure Hilfe.



*Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*


        
Bezug
Reelle coth-/ tanh Funktion: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Di 24.02.2015
Autor: Roadrunner

Hallo smoot!


>  Meine Rechnung dazu, jedoch mit einem falschen Ergebnis:

Wie sollte denn das Ergebnis lauten?

  

> y = [mm]\bruch{coth(x)-tanh(x)}{coth(x)+tanh(x)}[/mm]

> <=> (coth(x)+tanh(x)) [mm]\times[/mm] y = coth(x) -tanh(x)

> <=> y [mm]\times [\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}+ \bruch{sinh(x)}{cosh(x)}][/mm]  = [mm]\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}- \bruch{sinh(x)}{cosh(x)}[/mm]

[ok]


> <=> y [mm]\times[/mm] cosh(2x) + y [mm]\times[/mm] sinh(2x) = cosh(2x) -  sinh(2x)

[aeh] Wie kommst Du auf diese Zeile? Was hast Du hier gerechnet?
Das sieht mir doch ziemlich falsch aus.

Bedenke:

[mm] $\left[ \ \sinh(x) \ \right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \sinh^2(x) [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \sinh(2x)$ [/mm]

[mm] $\left[ \ \cosh(x) \ \right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \cosh^2(x) [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \cosh(2x)$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Reelle coth-/ tanh Funktion: Reelle arcoth-Funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Di 24.02.2015
Autor: smoot

Ich habe diese Aufgabe nochmals durchgerechnet und gelöst.
Laut Wolframalpha stimmt das Ergebnis nun mit meinem überein [mm] (y=\bruch{2e^{2x}}{1+e^{4x}}). [/mm]
Nur diesmal habe ich zum Lösen eins der Additionstheoreme verwendet und anschließend mit Hilfe der binomischen Formeln aufgelöst.

Nun bin ich aber auf ein weiteres Problem gestoßen und zwar:

    y = [mm] arcoth(\bruch{x}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x}) [/mm]

mit: arcoth = [mm] (coth(x))^{-1} [/mm]

<=> y = [mm] \bruch{1}{\bruch{e^{2\times(\bruch{x}{4}+\bruch{1}{x})}+1}{e^{2\times(\bruch{x}{4}+\bruch{1}{x})}-1}} [/mm]

<=> y [mm] \times (\bruch{e^{\bruch{x}{2}+\bruch{2}{x}}+1}{e^{\bruch{x}{2}+\bruch{2}{x}}-1})= [/mm] 1

<=> y [mm] \times (e^{\bruch{x}{2}+\bruch{2}{x}}+1) [/mm] = [mm] e^{\bruch{x}{2}+\bruch{2}{x}}-1 [/mm]

<=> y = [mm] \bruch{e^{\bruch{x^{2}-2x+4}{2x}}}{e^{\bruch{x^{2}+2x+4}{2x}}} [/mm]

y = [mm] e^{\bruch{2x}{x}} [/mm]

Jedoch funktioniert diesmal die Ergebnisausgabe über Wolframalpha nicht.
Wäre nett wenn jemand einmal meinen Rechenweg überprüfen könnte.

*ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*

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Bezug
Reelle coth-/ tanh Funktion: kleine Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 Di 24.02.2015
Autor: smoot

y = [mm] \bruch{e^{\bruch{x^{2}+4}{4x}}-1}{e^{\bruch{x^{2}+4}{4x}}+1} [/mm]

y = [mm] e^{0} [/mm] -1 = 1 - 1

y = 0

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Bezug
Reelle coth-/ tanh Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Di 24.02.2015
Autor: Al-Chwarizmi

arcoth = [mm](coth(x))^{-1}[/mm]       [haee]   [kopfschuettel]    [haee]


Das ist natürlich ziemlicher Unsinn, falls du es so gemeint hast.

arcoth  ist die Umkehrfunktion von coth , es gilt also:


y = arcoth(x)  [mm] \Rightarrow [/mm]  x = coth(y)


Mit der Schreibweise   arcoth(x) = [mm] coth^{-1}(x) [/mm]  ist nicht gemeint, dass  arcoth(x) = [mm] (coth(x))^{-1} [/mm]  !

LG  ,  Al-Chw.






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Reelle coth-/ tanh Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Di 24.02.2015
Autor: smoot

Jetzt bin ich total durcheinander..

Könntest du mir bitte einmal die ersten beiden Rechenschritte schreiben, damit ich das nochmals durchrechnen kann ?

Bezug
                                        
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Reelle coth-/ tanh Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Di 24.02.2015
Autor: Chris84


> Jetzt bin ich total durcheinander..
>  
> Könntest du mir bitte einmal die ersten beiden
> Rechenschritte schreiben, damit ich das nochmals
> durchrechnen kann ?  

Schreibe deine Gleichung als (da [mm] $\coth$ [/mm] und arcoth gerade Funktion und Umkehrfunktion sind)

[mm] $\coth(y) [/mm] = [mm] \bruch{x}{4} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $

Setze nun fuer [mm] $\coth(y) [/mm] = [mm] \bruch {\cosh(y)}{\sinh(y)}$ [/mm] und fuer [mm] $\cosh$ [/mm] und [mm] $\sinh$ [/mm] die Exponentielfunktion ein. Dann bekommst du eine Gleichung, die [mm] $e^{y}$ [/mm] und [mm] $e^{-y}$ [/mm] enthaelt. Die kannst du nach $y$ aufloesen!

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Reelle coth-/ tanh Funktion: kleine Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Di 24.02.2015
Autor: Roadrunner

Hallo smoot!


Bitte eröffne in Zukunft für neue Aufgaben auch einen neuen / eigenständigen Thread.
Anderenfalls kann da schnell der Übergang zur Chaostheorie entstehen. Danke.


Gruß vom
Roadrunner


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